【教学课件】第4章光的衍射(Diffraction).ppt

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1、,第4章 光的衍射(Diffraction),在基尔霍夫标量衍射理论的基础上，研究两种最基本的衍射现象和应用：,光的衍射现象(Diffraction phenomena),定义:光的衍射是指光波相传播过程中遇到障碍物时，所发生的偏离直线传播的现象。,光可统过障碍物;在障碍物后呈现出光强的不均匀分布。,光的衍射现象(Phenomena of diffraction),光的衍射现象(Phenomena of diffraction),变小模糊同心圆环圆环增大,当使用单色光源时，这是一组明暗相间的同心环带，当使用白色光源时，这是一组色彩相间的彩色环带。,光的衍射现象与光的干涉现象就其实质来讲，都是相

2、干光波叠加引起的光强的更新分布，所不同之处在于:(1)干涉现象是有限个相干光波的叠加;(2)衍射现象则是无限多个相干光波的叠加结果。,光的衍射现象(Phenomena of diffraction),衍射现象约特殊性，在数学上遇到了很大的困难，以至许多有实际意义的问题得不到严格的解，因而，实际的衍射理论都是一些近似解法。,光的衍射现象(Phenomena of diffraction),下面介绍的基尔霍夫衍射理论就是一种适用于标量波的衍射，是能够处理大多数衍射问题的基本理论。,光的衍射现象(Phenomena of diffraction),4.1.2 惠更斯菲涅耳原理(Huygens-Fre

3、snel principle),惠更斯原理:,根据惠更斯菲涅耳原理:可以看作是 S 和 P 之间任一波面上各点发出的次波在 P 点相干叠加的结果。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle),则 d 面元上的次波源对 P 点光场的贡献为,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle),C 是比例系数，K()称为倾斜因子，它是与元波面法线和 的夹角(称为衍射角)有关的量,按照菲涅耳的假设：当0 时，K 有最大值；随着 的增大，K 迅速减小，当/2 时，K0。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理(Huygens-Fresnel

4、principle),所以 P 点的光场复振幅为,这就是惠更斯菲涅耳原理的数学表达式，称为惠更斯菲涅耳公式。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle),当S 是点光源时，Q 点的光场复振幅为,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle),由于 K()的具体形式未知，不可能由(1)式确切地确定 值。因此，从理论上来讲，这个原理是不够完善的。,4.1.2 惠更斯菲涅耳原理(Huygens-Fresnel principle),4.1.3 基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula),基

5、尔霍夫从微分波动方程出发,利用格林定理,给出了惠更斯菲涅耳原理较完善的数学表达式。,1构成封闭曲面；1 围成空间区域；,4.1.3 基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula),他将空间 P点的光场与其周围任一封闭曲面上的各点光场建立起了联系，得到了倾斜因子K()的具体表达式，建立起了光的衍射理论。,4.1.3 基尔霍夫衍射公式(Kirchhoff diffraction formula),这个理论将光场当作标量来处理，只考虑电场或磁场的一个横向分量的标量振幅，而假定其它有关分量也可以用同样方法独立处理，完全忽略了电磁场矢量分量间的耦合特性，因此称为标量衍射理

6、论。,1.基尔霍夫积分定理,假设有一个单色光波通过闭合曲面 传播，在 t 时刻、空间 P 点处的光电场为,1.基尔霍夫积分定理,若P 是无源点，该光场应满足如下的标量波动方程：,1.基尔霍夫积分定理,将(3)式代入，可得,式中，k=/c，该式即为亥姆霍兹方程。,1.基尔霍夫积分定理,现在假设有另一个任意复函数，它也满足亥姆霍兹方程,且在 面内和 面上有连续的一、二阶偏微商(个别点除外)。,1.基尔霍夫积分定理,如果作积分,表示在 上每一点沿向外法线方向的偏微商。,1.基尔霍夫积分定理,则由格林定理，有,式中，V 是 面包围的体积。利用亥姆霍兹方程关系，左边的被积函数在 V 内处处为零。,1.基

7、尔霍夫积分定理,这个函数除了在 r=0 点外，处处解析。,因而,根据 所满足的条件，可以选取 为球面波的波函数：,1.基尔霍夫积分定理,(6)式中的 应选取图所示的复合曲面+，其中 是包围 P 点、半径为小量的球面。该积分为,1.基尔霍夫积分定理,由(7)式，有,1.基尔霍夫积分定理,对于 面上的点，cos(n,r)1，r，所以，,1.基尔霍夫积分定理,因此,的球面积为,时,1.基尔霍夫积分定理,这就是亥姆霍兹基尔霍夫积分定理。,故有,1.基尔霍夫积分定理,它将 P 点的光场与周围任一闭合曲面 上的光场联系了起来：,2.基尔霍夫衍射公式,现在将基尔霍夫积分定理应用于小孔衍射问题，在某些近似条件

8、下，可以化为与菲涅耳表达式基本相同的形式。,2.基尔霍夫衍射公式,如图所示，有一个无限大的不透明平面屏，其上有一开孔，用点光源 S 照明，并设 的线度 满足,2.基尔霍夫衍射公式,围绕 P 点作一闭合曲面。该闭合曲面由三部分组成：开孔，不透明屏的部分背照面1，以 P 点为中心、R 为半径的大球的部分球而2。,2.基尔霍夫衍射公式,在这种情况下，P 点的光场复振幅为,下面确定这三个面上的 和。,2.基尔霍夫衍射公式,在上，和 的值由入射波决定，与不存在屏时的值完全相同。因此,A 是离点光源单位距离处的振幅，cos(n,l)表示外向法线 n 与从 S 到 上某点Q 的矢量 l 之间夹角的余弦。,2

9、.基尔霍夫衍射公式,在不透明屏的背照面l 上，。,通常称这两个假定为基尔霍夫边界条件。应当指出，这两个假定都是近似的，因为屏的存在必然会干扰 处的场，特别是开孔边缘附近的场。,2.基尔霍夫衍射公式,对于2 面，rR，cos(n,R)1，且有,2.基尔霍夫衍射公式,因此，在2 上的积分为,是2 对 P 点所张的立体角，d 是立体角元。,2.基尔霍夫衍射公式,扇形面积的计算公式：,2.基尔霍夫衍射公式,(索末菲辐射条件)，而当 R时，(eikR/R)R 是有界的，所以上面的积分在 R时(球面半径 R 取得足够大)为零。,索末菲指出，在辐射场中,2.基尔霍夫衍射公式,通过上述讨论可知，在(11)式中

10、，只需要考虑对孔径面 的积分，即,2.基尔霍夫衍射公式,将(12)式代入上式，略去法线微商中的 l/r 和 1/l(它们比 k 要小得多)项，得到,此式称为菲涅耳基尔霍夫衍射公式。,2.基尔霍夫衍射公式,与(1)式进行比较，可得,2.基尔霍夫衍射公式,P 点的光场是 上无穷多次波源产生的，次波 源的复振幅与入射波在该点的复振幅 成正 比，与波长 成反比。,2.基尔霍夫衍射公式,因子(-i)表明，次波源的振动相位超前于入射波/2；,2.基尔霍夫衍射公式,倾斜因子 K()表示了次波的振幅在各个方向上是不同的，其值在 0 与 1 之间。,2.基尔霍夫衍射公式,如果一平行光垂直入射到 上，则 cos(

11、n,l)=1，cos(n,r)=cos，因而,2.基尔霍夫衍射公式,当0 时，K()1，这表明在波面法线方向上的次波贡献最大；当 时，K()0。这一结论说明，菲涅耳在关于次波贡献的研究中假设 K(/2)0 是不正确的。,3.基尔霍夫衍射公式的近似,菲涅耳基尔霍夫衍射公式，因被积函数形式复杂而得不到解析形式的积分结果。为此，必须根据实际条件进一步作近似处理。,1)傍轴近似,对于傍轴光线，如图所示的开孔 的线度和观察屏上的考察范围都远小于开孔到观察屏的距离。,的线度 Z1,1)傍轴近似,cos(n,r)1，于是 K()1；r z1。,因此,下面的两个近似条件通常都成立：,1)傍轴近似,在这里，指数

12、中的 r 未用 z1 代替。,这样，(14)可以简化为,2)距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似,若在离 很近的 K1 处观察透过的光，可以看作是圆孔的投影,这时光的传播大致可以看作是直线传播。,2)距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似,若距离再远些，如在 K2 面上观察时，随着观察平面距离的增大，环纹中心表现出从亮到暗，又从暗到亮的变化。,2)距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似,当观察平面距离很远时，如在 K4 位置，观察距离再增大，只是光斑扩大，但光斑形状不变。,2)距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似,在 K2、K3 及其前后的范围内的衍射现象称为菲涅耳衍射，而在很远处(如 K4 面上)的衍射现象称为

13、夫朗和费衍射。,2)距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似,用基尔霍夫衍射公式计算近场和远场衍射时，可以按照离衍射孔的距离将衍射公式进行简化。,当然，近场、远场的划分是相对的，对一定波长的光来说，衍射孔径愈大，相应的近场与远场的距离也愈远。,(1)菲涅耳近似,如图所示，设，则由几何关系有,(1)菲涅耳近似,(1)菲涅耳近似,当 z1 大到满足,时，,上式第三项及以后的各项都可略去，,(1)菲涅耳近似,这一近似称为菲涅耳近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫菲涅耳衍射。,简化为,(1)菲涅耳近似,在菲涅耳近似下，P 点的光场复振幅为,当观察屏离孔的距离很大，满足,时，,(2)夫朗相费近似,可将 r 进一步简化为,(2)夫朗相费近似,这一近似称为夫朗和费近似，在这个区域内观察到的衍射现象叫夫朗和费衍射。,(2)夫朗相费近似,在夫朗和费近似下，P 点的光场复振幅为,菲涅耳衍射和夫朗和费衍射是傍轴近似下的两种衍射情况，二者的区别条件是观察屏到衍射屏的距离 z1 与衍射孔的线度(x1，y1)之间的相对大小。,2)距离近似菲涅耳近似和夫朗和费近似,