【教学课件】第3章解析函数的积分.ppt

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1、第3章 解析函数的积分,By 付小宁,一、积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,第一节 复变函数积分的概念,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.,设在复平面

2、C上有一条连接 及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。,把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从 到Z的次序排列的。,如果 是 到 的弧上任意一点，那么考虑和式,2.积分的定义:,复变函数的积分,复变函数的积分,分实部与虚部，有,或,在这里 分别表示的实部与虚部。,复变函数的积分,按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点个数无穷增加，而且,时，上面的四个式子分别有极限：,这时，我们说原和式有极限,复变函数的积分,这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为,因此，我们有,

3、复变函数的积分,如果C是简单光滑曲线：，并且，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成,因此，我们有,复变函数的积分,我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有,当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。,例1,解,直线方程为,这两个积分都与路线C 无关,例2,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,(2)积分路径的参数方程为,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,例3,解,积分路径的参数方程为,例4,解,积分路径的参数方程为,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,三、积分的性质,复积分与

4、实变函数的定积分有类似的性质.,估值不等式,性质(4)的证明,两端取极限得,证毕,例5,解,根据估值不等式知,注意,即为一元实函数的定积分.,一、问题的提出,观察上节例1,此时积分与路线无关.,观察上节例4,第二节 柯西古萨基本定理,观察上节例5,由于不满足柯西黎曼方程,故而在复平面内处处不解析.,由以上讨论可知,积分是否与路线有关,可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.,二、基本定理,柯西古萨基本定理,定理中的 C 可以不是简单曲线.,此定理也称为柯西积分定理.,关于定理的说明:,(1)如果曲线 C 是区域 B 的边界,(2)如果曲线 C 是区域 B 的边界,定理仍成立.,三、典型例题,

5、例1,解,根据柯西古萨定理,有,例2,证,由柯西古萨定理,由柯西古萨定理,由上节例4可知,例3,解,根据柯西古萨定理得,(1)注意定理的条件“单连通域”.,(2)注意定理的不能反过来用.,一、问题的提出,根据本章第一节例4可知,由此希望将基本定理推广到多连域中.,第三节 基本定理的推广,复合闭路定理,解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.,闭路变形原理,说明:在变形过程中曲线不经过函数 f(z)的不解析的点.,二、复合闭路定理 1.闭路变形原理,2.复合闭路定理,那末,三、典型例题,例1,解,依题意知,根据复合闭路定理,例2,解,圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭

6、路复合定理,例3,解,由上例可知,一、主要定理和定义,定理一,由定理一可知:,解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关,(如下页图),1.两个主要定理:,第四节 原函数与不定积分,定理二,证,利用导数的定义来证.,由于积分与路线无关,由积分的估值性质,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似.,证毕,2.原函数的定义:,原函数之间的关系:,证,那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知:,证毕,3.不定积分的定义:,定理三,(类似于牛顿-莱布尼兹公式),证,根据柯西-古萨基本定理,证毕,说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,二、典型例题,例1,

7、解,由牛顿-莱布尼兹公式知,例2,解,(使用了微积分学中的“凑微分”法),例3,解,此方法使用了微积分中“分部积分法”,例4,(Morera定理),证,依题意可知,参照本章第四节定理二,可证明,因为解析函数的导数仍为解析函数,解析函数在单连通域内积分的牛顿莱布尼兹公式与实函数定积分的牛顿莱布尼兹公式有何异同?,两者的提法和结果是类似的.,两者对函数的要求差异很大.,一、问题的提出,第五节 柯西积分公式,二、柯西积分公式,定理,证,上不等式表明,只要 R 足够小,左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分

8、公式,关于柯西积分公式的说明:,(1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(这是研究解析函数的有力工具),(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,三、典型例题,例1,解,由柯西积分公式,例2,解,由柯西积分公式,例3,解,根据柯西积分公式知,比较两式得,四、小结与思考,柯西积分公式是复积分计算中的重要公式,它的证明基于柯西古萨基本定理,它的重要性在于:一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示,所以它是研究解析函数的重要工具.,

9、柯西积分公式:,一、问题的提出,问题:,(1)解析函数是否有高阶导数?,(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?,回答:,(1)解析函数有各高阶导数.,(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.,解析函数高阶导数的定义是什么?,第六节 高阶导数,二、主要定理,定理,证,根据导数的定义,从柯西积分公式得,再利用以上方法求极限,至此我们证明了一个解析函数的导数仍然是解析函数.,依次类推,利用数学归纳法可证,证毕,高阶导数公式的作用:,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.,三、典型例题,例1,解,根据复合闭路定理,例2,解,根据复合闭路定理和

10、高阶导数公式,例3,证,不等式即证.,一、调和函数的定义,定义,调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.,第七节 解析函数与调和函数的关系,二、解析函数与调和函数的关系,1.两者的关系,定理,任何在区域 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数.,证,根据解析函数高阶导数定理,证毕,2.共轭调和函数的定义,区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.,3.偏积分法,如果已知一个调和函数 u,那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.,解,例1,得一个解析函数,这个函数可以化为,答案,课堂练习,4.不定积分法,不定积分法的实施过程:,将上两式积分,得,例2,解,根据调和函数的定义可得,所求解析函数为,用不定积分法求解例1中的解析函数,例3,解,已知 求解解析函数,注意：利用偏积分方法也能得到相同的结果。,例4,解,三、小结与思考,本节我们学习了调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念.,应注意的是:1.任意两个调和函数u与v所构成的函数u+iv不一定是解析函数.,2.满足柯西黎曼方程ux=vy,vx=uy,的v称为u的共轭调和函数,u与v注意的是次序不能颠倒.,放映结束，按Esc退出.,