【教学课件】第2章测试信号的时域分析与处理.ppt

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1、2023/8/6,1,第2章 测试信号的时域分析与处理,教学目标 了解信号的时域特征 掌握确定性信号的建模方法 掌握随机信号的建模方法 了解信号的数值微积分运算方法,2.1 信号时域特征的获取方法2.2 信号与数据的插值方法及实现2.3 信号与数据的拟合方法及实现2.4 数值微分和数值积分及实现2.5 时域信号的平滑与建模方法及实现2.6 MATLAB在时域分析与处理中的应用,2023/8/6,2,信号时间特征：上升沿、下降沿：突变位置、时延峰值：极值、上冲/下冲；二阶系统峰值比 阻尼拐点：特征点过零点：脉冲反射计峰高宽比、半高峰宽度：峰型导函数、高阶导数：一阶、高阶频率分量不动点、不变矩：克

2、服背景变化、优化、特征提取、上包络、下包络：信号最大值、背景波动光滑性、增量表达：与函数导数有关（增量调制表达）周期性：频率波动性：纹波系数短时平均幅度：（中值/均值滤波）,2023/8/6,3,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.1 采样信号的主要特点,量化,用数字量表示模拟量是有误差的量化误差,量化误差的大小与量化的粗细及具体测试点的位置有关，而与实现量化的具体装置没有直接关系,最大量化误差与分辨率直接关联,最大量化误差,最大量化误差,2023/8/6,4,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.1 采样信号的主要特点,被测试信号是随机的,量化误差是随机的,设被测模拟量 各测试点出现的

3、概率均匀分布，即概率 为常数。量化系统采用 偏置措施，其量化误差的变化范围为：根据随机变量均值的定义有：,2023/8/6,5,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.1 采样信号的主要特点,以正弦信号为例计算该信号被采样和数字化而产生的信噪比SNR,2023/8/6,6,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.2 时域信号的特征值获取方法1、零线的读取方法,测试信号=被测信号+干扰信号,被测信号实际的输出电平大小,被测信号的初始电平值,对测试信号起始段取足够多的采样点算其算术平均值,被测信号的参考电平,干扰信号是随机的，其均值=0,2023/8/6,7,2.1 信号时域特征的获取方法,2、峰

4、值的获取方法,逐点比较搜索最值,精度差，但方法简单,原因：1、峰值出现在两个采样点之间；2、干扰毛刺叠加在被测信号上。,（1）采样率与峰值判读的误差关系,2023/8/6,8,2.1 信号时域特征的获取方法,（2）干扰噪声对峰值判读的影响,3、信号周期、上升时间和脉冲宽度的获取,峰值检测的精度受到严重影响,数据拟合，或先平滑再判读即滑动平均处理,过零点：测试数据与零平的交点,方法：给定容许的误差带，x0-xn x0+。当q时，过零点找不到。,过零点的精确判读与分辨率q和采样率fs有关。,2023/8/6,9,2.1 信号时域特征的获取方法,3、信号周期、上升时间和脉冲宽度的获取,2023/8/

5、6,10,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取,与确定性信号相比，随机信号有：随机信号的任何一个实现，都只是随机信号总体中的一个样本，任何一个样本信号都不能代表该随机信号。在任一时间点上随机信号的取值都是一个随机变量，随机信号是随机变量的时间过程，它们随时间而变化，从而随机信号的描述与随机变量一样，只能用概率函数和集平均数字特征来描述。平稳随机信号不能用通常的频谱来表示。,随机信号在时域和频域上的数学描述：平均（均值、方差及均方差）概率密度函数、概率分布函数 相关函数和协方差 功率谱密度,2023/8/6,11,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号

6、统计特性的获取1 均值,对各态历经的随机过程，可以用单个样本按时间历程来求平均，即对于样本长度为N的离散随机信号，其均值估计为：,对某个随机过程进行观测和记录得到一个样本函数。在同样的条件下若对该过程反复观测得到许多样本函数。那么全体样本函数的集合称为随机过程。这种情况下按集合平均来计算，即将集合中所有的样本对某个时刻 的观测值取平均：,数学期望，表征信号的静态分量,2023/8/6,12,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取2 方差及标准差 对样本长度为N的离散随机信号，其方差（variance）估计为：,标准差是方差的正平方根，既均方差：,是xn相对与均值波动

7、的动态分量，反映随机信号的分散程度,2023/8/6,13,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取3 自协方差及自相关系数,对各态历经的随机过程，自相关函数为：,2023/8/6,14,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取3 自协方差及自相关系数,协方差函数为x(t)在t和t+时刻对均值的偏差乘积的平均，即：,白噪声：纯随机过程，既是由无关的随机变量组成，相当于“无记忆”过程，即t时刻过程的值与所有过去的直到t-1时刻的值（也包括过程的未来值）都不相关。自协方差函数为：,纯随机过程是理想的，在实际中过程前后往往都存在“记忆”，即x(k)

8、随着k增大而趋于零的速度减小。,2023/8/6,15,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取3 自协方差及自相关系数,归一化的自协方差,白噪声有：,2023/8/6,16,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取4 概率分布,随机信号的概率分布函数表示随机信号的瞬时值小于或等于某一指定值的概率，是概率密度函数从-到x的积分。对于样本长度为N的离散随机信号，其概率分布函数为：,工程中测得的随机信号多数服从或近似服从正态分布，所以随机信号的许多分析方法是以其服从正态分布为前提的。对于确定性信号，也常进行概率密度函数分析，但确定性信号不呈正态分

9、布，有自己特有的分布特性。,2023/8/6,17,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取5 统计特征计算的MATLAB实现（1）均值计算,函数mean返回的均值,信号序列,序列x维数的标量,例：计算5列，每列包含100个样本，并服从标准正态分布的随机数的均值。MATLAB源程序：%to test mean function;clear all;x=normrnd(0,1,100,5);x_mean=mean(x);运行结果：X_mean=0.25770.0436-0.01350.04190.0761,2023/8/6,18,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.

10、3 随机信号统计特性的获取5 统计特征计算的MATLAB实现（2）方差计算 y=var(x)若x为向量则返回向量的样本方差值。若x为矩阵则返回矩阵列向量的方差行向量（3）标准差计算y=std(x)函数返回向量（矩阵）x的样本标准差（置前因子1/n-1）,2023/8/6,19,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取5 统计特征计算的MATLAB实现,函数std返回的标准方差值,离散随机序列,序列x维数的标量,标准方差计算算法控制量,2023/8/6,20,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取5 统计特征计算的MATLAB实现,例：计算6

11、列，每列包含100个样本，并服从标准正态分布的随机数的标准差。MATLAB源程序：%to test std function;clear all;x=normrnd(0,1,100,6);X_std=std(x);运行结果：X_std=1.06320.96010.93070.98270.87800.9851,2023/8/6,21,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取5 统计特征计算的MATLAB实现（4）自协方差计算 c=cov(x)=cov(x,y)当x为矢量时，cov(x)求出矢量x的协方差c（标量）；当x为矩阵时，x的每一行为一观察值，每一列为一变量，这样

12、cov(x)就得到协方差矩阵。cov（x，y）中，x，y为长度相等的列矢量，相当于cov（x，y）。,2023/8/6,22,2.1 信号时域特征的获取方法,2.1.3 随机信号统计特性的获取5 统计特征计算的MATLAB实现（5）相关系数计算 R=corrcoef(x，y)例：产生两个正弦信号和白噪声的样本数据，并估计其相关系数矩阵值 MATLAB源程序：%to test corrcoef function;clear all;N=256;f=.1;a1=5;a2=3;x=a1*sin(2*pi*f*(0:N-1)+2*randn(1,N);y=a2*sin(2*pi*f*(0:N-1)+r

13、andn(1,N);%求数据向量x，y的相关系数矩阵；R=corrcoef(x，y）运行结果：R=1.0000.80630.80631.0000,2023/8/6,23,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.1 代数插值法概述,被测信号,测试系统,测试数据,1、测试结果是一些数据，很难获得函数的解析式；2、即使有函数表达式，但复杂不便做运算。,设：f是a，b上的实值函数，已知离散数据（xi，yi）满足yi=f(xi)(i=0,1,2,3,n)其中x0，x1，x2，xn是 a，b中包含a，b在内的n+1个相异实数。,寻求一个次数尽可能低的多项式p满足p(xi)=yi(i=0,1,2,3,n)从几

14、何上看，就是寻求一个最低次的多项式，其几何曲线通过给的n+1个点（xi，yi），p与f在n+1点上有相同的值，则p是f的插值多项式，x0，x1，x2，xn 称为插值基点，a，b 为插值区间。,2023/8/6,24,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.1 代数插值法概述,2023/8/6,25,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,解线性方程组，确定插值多项式的系数,计算量大，且得出的多项式不便于应用,其他方法来构造插值多项式,1.线性插值（Lagrange）,2023/8/6,26,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）

15、插值,记,线性函数,线性插值基函数,利用插值基函数，线性插值,2.二次（抛物线）插值,2023/8/6,27,仿照线性插值求 的表达式，设,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,二次插值基函数二次函数,由二次插值函数的特点，可设,2023/8/6,28,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,3.Lagrange插值多项式,设,K次插值基函数,2023/8/6,29,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,4.插值公式的余项,且满足,2023/8/6,30,2.2 信号与数据的插值方法

16、,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,4.插值公式的余项,余项,使得,若令,特别地当n=1时，取 则余项,2023/8/6,31,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,例3-1 在物理学和工程中一个误差函数 的函数值已造成函数表,例3-1 在物理学和工程中一个误差函数 的函数值已造成函数表,假设在 之间用线性插值计算 的近似值，会有多大误差？,解：作线性插值多项式，取 据余项估计式有,2023/8/6,32,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,例3-2 假设函数 在n+1个等距点 的值列表给出，其中，若，且

17、以 为基点作二次插值，则据 有,2023/8/6,33,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.2 Lagrange（拉格朗日）插值,对插值多项式余弦进行一些分析：在余项中出现因子，对余项影响很大，往往高阶导数随n的增加变化甚快。对余项的影响。与插值基点 的分布有关，而与 无关。当 给定时，直接影响余项 的大小。是以 为零点的n+1次多项式，在区间 上交替地取极值（假设基点 自小到大的排列），因此，若插值点x靠近 有较大极值的一些点，插值误差就较大，反之就较小。,2023/8/6,34,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.3 Newton（牛顿）插值法,Lagrange插值多项式含义直观，形式

18、对称，结构紧凑，便于记忆和编程计算。当精度不高需要增加插值点时，插值多项式就要重新构造以前的计算结果就不能在新的公式中起作用计算工作必须从头做起。,Newton插值多项式使用灵活当增加插值点时，只要在原有的基础上增加部分计算原来的计算结果仍能得到应用。,假设函数 在取定的n+1互异点 处分别取值为 构造一个插值多项式 为,2023/8/6,35,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.3 Newton（牛顿）插值法,根据插值法的基本原则,下三角形方程组系数行列式的主对角元素皆不为零解是唯一的系数有不变性。即假设增加一个与 不同的基点 对插值点 构造一个不高于n+1次的插值多项式,2023/8/6

19、,36,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.3 Newton（牛顿）插值法,Newton插值多项式系数的确定由线性方程组的第一个方程，代入第二个方程,再将a0,a1代入第三个方程,差商 关于基点 的一阶均差,表示 在区间 上的平均变化率,关于基点 的二阶均差,2023/8/6,37,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.3 Newton（牛顿）插值法,一般地 关于基点 的n阶均差为,确定Newton插值多项式系数a0,a1,an:,P40【例3-2】,2023/8/6,38,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.4 多项式插值的误差,选取的节点越多插值多项式次数越高逼近 的效果就越好？,在区

20、间a,b上作出的插值多项式，并用,龙格现象,图36 1/的项式插值（a）7点插值；（b）11点插值,解决的方法：分段低次插值；在插值区间的中间减少数据点且在边上适当加密,2023/8/6,39,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.4 多项式插值的误差,如果数据点不是等距的，而是在区间的端点附近放在n+1次切比雪夫多项式的零点上，则龙格现象就会消失，所得的插值多项式 对在区间-5,5内的任何一点x，当n时都收敛与,通过变量代换,在（-1，1）中有n个相异的实零点,2023/8/6,40,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.4 多项式插值的误差,如果插值在区间a,b，则可通过变量代换，令,表明

21、用 的零点作插值点得到的插值多项式误差很小，并且,P43 图37 切比雪夫点插值,2023/8/6,41,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,在区间上用插值多项式近似函数，适当提高插值多项式的次数提高逼近的精度。但次数太高不良的效果：次数 计算工作量 积累误差；在整个区间上作高次多项式，当局部插值点的值有微小的偏差 函数值具有很大的变化计算很不稳定。并且对等距的插值基点，当n 时，不一定收敛于,分段低次插值设在a,b上给定n+1个节点且相应的函数值为 在每个小区间 上进行低次插值,线性插值：,几何意义：用折线代替曲线,2023/8/6,42,2.2 信号与数据的插值方

22、法,2.2.5 分段插值和样条函数,1.样条插值函数的形成原理,从数学上看，满足 的三次样条函数自然三次样条函数，而且可以证明它是所有插值函数中最小曲率和平方可积二阶导数的唯一函数。最光滑函数,样条 表示，斜率很小 二阶导数 就近似为曲率 弧长的微分近似为 且这种线性化的样条能量同 成正比。当给定基点 时，线性化的样条函数 满足：,2023/8/6,43,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,在区间a,b上取n+1个数据点 若函数 满足：在整个区间上具有二阶连续导数；在每个区间 上是三次多项式；在数据点 给定函数值 且 则称 为 的三次样条插值函数。,设：三次样条插值函

23、数 在每个小区间 上是三次多项式：,而在整个区间上是由n个多项式“装配”起来 4n个待定系数,2023/8/6,44,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,2023/8/6,45,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,例3-3 已知 在基点 的函数值：，端点的二阶导数值求 的三次样条插值函数,2023/8/6,46,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,2.三次样条插值函数的Matlab实现,在Matlab里有两类一维数据的插值方法：多项式插值法和基于快速傅里叶变换（FFT)的插值法。（1）调用interp1 函数inte

24、rp1用多项式插值法来平滑已知数据。它用多项式拟合已知数据，然后在插值点上用多项式算出相应的值。调用格式：yi=interp1(x,y,xi,method)其中：xi需要插值的位置组成的向量；yi根据插值的算法求出的数据xi的值；x,y已知的数据；method具体的插值方法，有4种,2023/8/6,47,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,2.三次样条插值函数的Matlab实现,nearest：最近点插值法。根据已知两点间的插值点和这两点间的位置的远近来进行插值。当插值点离前点较近时，插值点取前点的值；反之，插值点取后点的值。linear:线性插值法。把相邻的数据点

25、用直线相连，按所生成的直线进行插值。spline：样条插值法。利用已知数据求出样条函数，按照样条函数进行插值。cubic：三次多项式插值。用已知数据构造出三次多项式进行插值。要求已知数据按x的升序排列或降序排列。除了样条插值法外，其余三种插值法都只能进行内插。,2023/8/6,48,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,2.三次样条插值函数的Matlab实现,（2）调用spline函数等同于interp1(x,y,xi,spline)格式：yi=spline(x,y,xi)用三次样条插值法利用数据x,y在xi处进行插值，函数返回插值的结果。其中：x原始数据的第一坐标；

26、y函数值；xi向量或矩阵；（3）Matlab样本工具箱中提供的 函数名称 简单介绍 csapi 插值生成三次样条函数 csape 生成给定约束条件下的三次样条函数 csaps 平滑生成三次样条函数,2023/8/6,49,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,2.三次样条插值函数的Matlab实现,a.csape函数 利用csape函数生成给定数据x,y满足s(x(j)=y(j)的三次样条函数格式：pp=csape(x,y)pp=csape(x,y,conds)pp=csape(x,y,conds,valconds)两端点的约束条件由参数conds和valconds确定

27、。其中，conds是字符串，有一下几种含义：complete：给定第一点与最后一点的切矢量（一阶导数）。此时，当参数valconds也给出时，用做默认值。not-a-knot:使第二个节点与倒数第二个点成为不活动节点，即忽略这两个节点。此时，忽略参数valconds的作用。,2023/8/6,50,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,2.三次样条插值函数的Matlab实现,periodic：给定第一点与最后一点的一阶与二阶导数。second:给定最后一个节点的二阶导数。当参数valconds也给出，且其默认值0 0时，相当于variational。variationa

28、l:使最后一个点的二阶导数=0，此时忽略参数valconds的作用。default：用所给定的4个点通过Lagrange插值法生成三次样条曲线。b.csapi 函数 给定节点数组x，利用csapi函数生成满足s(x(j)=y(j)的三次样条曲线s.此函数的功能与csape函数在conds=“not-a-knot”约束条件下的功能相同。调用格式：pp=csapi(x,y)返回满足s(x(j)=y(j)的三次样条曲线s,结果存放在pp中，pp可以作为fnval,fnder等操作器类函数的输入参数。,2023/8/6,51,2.2 信号与数据的插值方法,2.2.5 分段插值和样条函数,2.三次样条插

29、值函数的Matlab实现,values=csapi(x,y,xx)首先生成满足s(x(j)=y(j)的三次样条曲线s,然后求出在给定节点数组xx下的函数值s(xx)，结果存放在输出数组values中。c.csaps函数 用csaps函数生成平滑的三次样条函数，其调用格式为：values,p=csaps(x,y,p,xx)values,p=csaps(x,y,p,xx,w)pp,p=csaps(x,y)pp,p=csaps(x,y,p)pp,p=csaps(x,y,p,w),给定平滑参数p（取值区间为0 1和可选参数w(权重），对数据x,y进行平滑处理，生成三次样条曲线。如果平滑参数p是负数，或

30、者没有给出，该函数会自动选择有效的p，此时p会作为第二个输出变量返回。,2023/8/6,52,2.3 信号与数据的拟合方法,2.3.1 最小二乘拟合曲线,缺陷：1、试验数据有误差，若要求近似函数通过全部数据点保留所有数据误差。2、数据点较多次数较高的插值多项式计算麻烦，插值多项式的收敛性和 稳定性难以得到保证逼近效果较差，若采用分段低次插值不能很好的从 总体上描述离散数据内涵的特征。,测试试验,测试数据,自变量与因变量之间的函数关系,插值法,选取符和数据分布特征的某类曲线,曲线拟合的途径：1、对研究各变量之间的物理概念及专业知识的深入了解后，确定函数的基本类型。2、根据试验数据进行直接作图后

31、，观察大致趋势，确定函数的类型。,2023/8/6,53,2.3 信号与数据的拟合方法,2.3.1 最小二乘拟合曲线,残差0，其大小是衡量拟合好坏的重要标志,标准？,度量：1、使残差的绝对值中最大的能达到最小最大误差2、使残差的平均为最小平均误差3、使残差的均方根为最小均方根误差,2023/8/6,54,2.3 信号与数据的拟合方法,2.3.1 最小二乘拟合曲线,1.最小二乘直线拟合,则可求出当残差平方和为最小时的A、B值,设数据 适合曲线，则残差,最小二乘直线的正规方程,2023/8/6,55,2.3 信号与数据的拟合方法,2.3.1 最小二乘拟合曲线,2.最小二乘多项式拟合,先考虑如何求解

32、最小二乘抛物线拟合。设最小二乘抛物线的方程为,设数据 函数 为K阶多项式,则残差平方和为,则可求出当残差平方和为最小时的A、B、C值,2023/8/6,56,2.3 信号与数据的拟合方法,2.3.1 最小二乘拟合曲线,对K阶多项式 的最小二乘解也就是求多元函数,的极小值点 从而 必满足,2023/8/6,57,2.3 信号与数据的拟合方法,2.3.1 最小二乘拟合曲线,相应的正规方程组,得到方程组求解方程组拟合多项式,2023/8/6,58,2.3 信号与数据的拟合方法,2.3.2 多项式拟合的Matlab实现,在Matlab中，用函数polyfit()对数据进行定阶数的多项式拟合，其基本用法

33、：1.P=polyfit(x,y,k)用最小二乘法对输入数据x,y用k阶多项式进行逼近，函数返回多项式的系数，为一个长度=k+1的向量。2.P,E=polyfit(x,y,k)函数不仅返回多项式系数向量P，还返回用函数polyval()获得的误差分析报告，保存在结构体变量E中。Y=polyval(P,x)其中：P多项式的系数向量 x需要计算的自变量向量 Y多项式在x处的值 Y,DELTA=poly(P,x,E)使用选项输出E。E由polyfit函数生成，得到误差估计YDELTA。若数据输入的误差是独立正态的，方差是常数，则YDELTA将至少包含50%的预测值。,2023/8/6,59,2.4

34、数值微分和数值积分,2.4.1 差分近似微分,设函数，将a,bn等分，得分点即离散点,步长,考虑任一点 点处的导数值，有,三个基本的数值微分公式，即,向前差分向后差分中心差分,2023/8/6,60,2.4 数值微分和数值积分,2.4.1 差分近似微分,若 有,二阶差分近似,例：求 在 处的微分。,解：,用中心差分除以步长的商作为微分的近似，即,2023/8/6,61,设已知数据 在a,b内的插值多项式为,2.4 数值微分和数值积分,2.4.2 插值多项式的导数,过节点 的插值多项式,1.两点数值微分公式（n=1),求导再分别代入 有,用 的导数近似代替 的导数，即,过节点 的二阶插值多项式,

35、2.三点数值微分公式（n=1),2023/8/6,62,求导得,2.4 数值微分和数值积分,2.4.2 插值多项式的导数,3.二阶微分公式,分别代入 有,例：根据数据点 x=0.1 0.8 1.3 1.9 2.5 3.1 3.3 3.4 3.6 3.8 y=1.2 1.6 2.7 2.0 1.3 0.5 0.6 0.8 1.0 0.9求x=1处的函数值与一阶、二阶导数值。,2023/8/6,63,没有具体的解析表达式，是测试数据或图形给出的观测点的函数值 Newton-Leibniz 公式 失效。的原函数无法用初等函数的形式表达，如尽管有些函数的原函数能用初等函数表示，但在应用Newton-L

36、eibniz 公式 时，涉及大量函数值的计算，同时这些计算也是近似的，如,定积分 的Newton-Leibniz 公式，存在的问题,2.4 数值微分和数值积分,2.4.3 数值积分法,2023/8/6,64,4.除一些特殊的无穷积分外，通常很难求出无穷积分的值,2.4 数值微分和数值积分,2.4.3 数值积分法,积分方法源于曲边梯形的面积,积分中值定理,平均高度,梯形公式中矩形公式Simpson公式,2023/8/6,65,1.Newton-Cotes公式,2.4 数值微分和数值积分,2.4.3 数值积分法,设取 为基点 的Lagrange插值多项式,插值型求积公式,其中,只与节点有关，与被积

37、函数无关求积系数,2023/8/6,66,在等距节点的情况下，即,2.4 数值微分和数值积分,2.4.3 数值积分法,则Newton-Cotes公式,柯斯特系数,Simpson公式,2023/8/6,67,2.4 数值微分和数值积分,2.4.3 数值积分法,2.组合积分方法,在等距分区间上用分段一次插值多项式代替被积函数,2023/8/6,68,2.4 数值微分和数值积分,2.4.3 数值积分法,则有,将积分区间a,b分成m=2n等分，步长 节点,在每个小区间 用,用几个梯形面积和近似积分值，即,求和得,组合的Simpson公式,2023/8/6,69,2.4 数值微分和数值积分,2.4.3

38、数值积分法,Matlab命令：trapz(x,y)功能：用组合梯形公式计算定积分。变量：x积分变量在被积区间上的分点向量；y被积函数在x处对应的函数值向量；x,y必须是同维的列（行）向量，结果是标量，是y相对x的积分值；当y是（mn)维矩阵时，x必须是（m1)维列向量，积分对y各列分别进行，计算所得（1n)维的元素是对应列函数对于x的积分。若x缺省，则认为y为单位步长等距采样所得的函数阵。【例3-8】P56,2023/8/6,70,2.5 时域信号的平滑与建模,预处理：采样数据的标定转换；消除趋势项；对原始数据进行适当的平滑处理。,测试数据偏离真实值,测试中存在的干扰,对测试数据预处理,动态测

39、试数据,确定性成分y(t),随机性成分u(t),随机误差为了消除其影响，常对测试数据作平滑和滤波,将非平稳的数据在适当的小区间上视为平稳的，而作局部平均，以减少随机成分所造成的随机误差。显示出平滑的变化趋势随机误差的变换过程其统计特征量：均值、方差、幅值分布规律等。,2023/8/6,71,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,测试信号建模,y(t)的建模,u(t)的建模,建模目的的不同，建模的模型也不同。在干扰中提取信号则求满足信号的非参模型或参数模型 关注信号的随机部分，则要消除确定性成分,对于N个非平稳数据xn，视之为每m个相邻数据的小区

40、间内是接近平稳的，即其均值接近于常量。取每m个相邻数据的平均值来表示该m个数据中任一个的取值，并视其抑制了随机误差的测试结果或消除了噪声的信号。,其随机误差因平均的作用而比原始数据减小了，即更加平滑了平滑数据,2023/8/6,72,对于同样的拟合函数，参与拟合的测试数据点越多，得到的是平滑程度较强的平滑值，在数据序列两端丢失的平滑值就越多。在对某个数据点进行平滑时，离该数据点越远对该数据的影响越小，若采用简单的平均来进行平滑取平均的点越多平滑得越快动态测试曲线失真。,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,滑动平均要求测试数据是等间距的对n个相

41、邻的测试点以给定的较简单的函数形式拟合某种算术平均关系在整个测试过程逐点移动计算测试数据的平滑值。递推算法节省数据的存储和计算量。按前一平滑数据同时增加一个新数据来递推后一个平滑数据，即,将简单平权加权平均，即,2023/8/6,73,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,一般考虑在平滑点取权值最大，然后在前后数据点的权值递减。递减可以是线性的，也可以是非线性。,以三角分布（线性递减）有：,例：在每个数据点的左、右两侧各取2个相邻的数据作5点平滑处理，即5个相邻的数据点为：（以5点中的中间点为坐标原点）,2023/8/6,74,2.5 时域信号

42、的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,设用最小二乘法拟合的二次曲线为，则误差的平方和为,求关于系数a0,a1,a2求极小，即 得正规方程：,2023/8/6,75,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,解方程组得,目的是要校正中心点 上xn的值,xn的校正值,2023/8/6,76,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,如果测得的数据相当密，可以作7点平滑，即对每个数据点加上它的左右个3个相邻点，要求一条二次抛物线,根据最小二乘原理与这7点的数据相拟合，有,权系

43、数，如教材P60表3-5所示,以此类推，有,2023/8/6,77,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,根据Z变换性质，有,3点平均的Z变换函数,频响函数,5点平均的Z变换函数,频响函数,7点平均的Z变换函数,频响函数,2023/8/6,78,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.1 滑动平均（Moving Average）模型,滑动平均光滑处理相当于低通滤波器。随着平均点数的增加，频带变窄，对高频分量的光滑作用越明显，但是随着点数增加，通频带内的幅频特性并不理想频率失真越严重。,频响曲线,2023/8/6,79,2.5 时域信号的平滑与建模

44、,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,统计回归模型,作适当修改,静态数据模型同一总体y的不同次独立随机抽样值,动态数据模型yn,yn-1,yn-p是序列中不同时刻的随机变量，它们彼此间有一定的相互关系,描述的是序列yi自身某一时刻和前p时刻之间的相互关系，因此，当模型参数满足一定条件时，称为p阶自回归模型AR（p)。,表示观测值yt对另一组数据（x1t,x2t,xrt)的相关性,因变量（x1t,x2t,xrt)，代表已知的可变化因素非随机因素,是残量，由不可捉摸的因素及测量误差产生，通常假定为零均值的独立序列,2023/8/6,80,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2

45、 自回归（Auto Regresive）模型,1.AR(1)模型,回归模型（yn,xn)之间的相关性，它把yn与xn,xn-1等连续起来自回归模型（yn,yn-1)之间的相关性,从而把yn和yn-1,yn-1和yn-2等联系起来，即变量回归到它本身一阶自回归模型AR(1)。,一阶系统输入n，输出yn,输出n，输入yn是一个把相关数据转换为独立数据的“装置”,？通过n的平方和最小，求得条件最小二乘估计,2023/8/6,81,当 时，认为AR(1)模型合适，否则继续计算二步、三步互相关系数,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,为了检验具有这些参数

46、的模型是否合适，必须检验n对n-1，n对yn的相关性，即检验n的自相关系数和n与yn互相关系数。,n的一步自相关系数（n对n-1）,当 时，认为AR(1)模型合适，否则进一步计算二步、三步自相关系数,n与yn的互相关系数,2023/8/6,82,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,2.高阶自回归模型,对于平稳、正态、零均值的时间序列yn,若yn的取值与其前i步的各个取值yn-1)，yn-2，yn-i有关，就要用AR(p)(p=2,3,)模型来描述yn。,若2n经检验是独立的随机序列，则认为AR(2)模型适合yn。否则继续建立AR(3)，AR(4

47、)，直到适合yn为止。,白噪声,2023/8/6,83,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,由于n为白噪声序列，其频域特征是功率谱密度函数=常数，即,白噪声可以理解为一种均匀谱，其功率谱密度函数是一条水平线,白噪声过程在数学上描述为：如果随机过程(t)的自相关函数为其中 白噪声的方差。,则称该随机过程为白噪声过程,2023/8/6,84,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,3.AR模型的参数估计,对白噪声序列n输入系统H(z)的情形，输出yn的各种数字特征除一常数因子 外，仅与系统本身的特性 和

48、H(z)有关，而与其他因素无关。,根据测试数据建立系统或过程的数学模型，一般需要解决：确定模型的类型与结构；估计模型的参数。,2023/8/6,85,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,AR模型参数估计方法,直接估计法,递推估计法,最小二乘法,自相关+最小二乘法,Yule-Walker法,Ulrych-Clayton法,矩阵递推估计法,参数递推估计法,实时递推估计法,LUD法,BSMF法,Levinson法,Burg法,Marple法,递推最小二乘法,渐消记忆法,限定记忆法,振荡记忆法,2023/8/6,86,2.5 时域信号的平滑与建模,2.

49、5.2 自回归（Auto Regresive）模型,最小二乘法估计模型AR（p)参数的基本原理是：自回归系数 的估计值应使n各项平方和取最小值，即,设平稳序列yn的AR(p)模型为,最小二乘法的正规方程 待估参数ai的最小二乘估计,将AR(p)模型两边同乘yn-k,并取均值,2023/8/6,87,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,除以yn的方差,注意到自协方差是偶函数的性质，有 线性方程组,2023/8/6,88,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,令,一般取kpT不是方阵，可用最小二乘估计

50、参数：,不再是测试数据所构成，而是由测试数据的自相关系数组成自相关系数的最小二乘估计,若取k=1,2,p,则 所示方程的个数=未知数a的个数，即,Yule-Walker方程,特点：比自相关+最小二乘法简单，计算量小，但参数估计精度较前低，在实际应用中还会发现用估计的参数计算AR(p)谱时，可能出现谱峰漂移、谱线分裂等问题。,2023/8/6,89,2.5 时域信号的平滑与建模,2.5.2 自回归（Auto Regresive）模型,Ulrych-Clayton法认为，最小二乘估计法只使用了测试数据一次，并没有充分利用数据中所含的信息，若能在参数估计的过程中多使用几次测试数据，则能充分利用数据中