《阶行列式》PPT课件.ppt

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1、线性代数课件 hty,1,1.2 n阶行列式,线性代数课件 hty,2,一、排列与逆序,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,线性代数课件 hty,3,问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,线性代数课件 hty,4,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规

2、定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,线性代数课件 hty,5,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,线性代数课件 hty,6,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,线性代数课件 hty,7,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这

3、每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,线性代数课件 hty,8,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,线性代数课件 hty,9,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,线性代数课件 hty,10,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,线性代数课件 hty,11,解,当 为偶数时，排列

4、为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,线性代数课件 hty,12,二、n阶行列式的引入,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有 项，即 项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,线性代数课件 hty,13,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,线性代数课件 hty,14,三、n阶行列式的定义,定义,线性代数课件 hty,15,线性代数课件 hty,16,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是 项的代数和;,3、阶行列

5、式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积;,4、一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,线性代数课件 hty,17,例3计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以 只能等于,同理可得,解,线性代数课件 hty,18,即行列式中不为零的项为,例4 计算上三角行列式,线性代数课件 hty,19,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,线性代数课件 hty,20,例5,线性代数课件 hty,21,同理可得下三角行列式,线性代数课件 hty,22,例6 证明对角行列式,线性代数课件 hty,23,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,线性代数课件 hty,24,例7,设,证明,证,由行列式定义有,线性代数课件 hty,25,线性代数课件 hty,26,由于,所以,故,线性代数课件 hty,27,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、阶行列式共有 项，每项都是位于不同行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,线性代数课件 hty,28,思考题,已知,线性代数课件 hty,29,思考题解答,解,含 的项有两项,即,对应于,线性代数课件 hty,30,