一节定积分概念.ppt

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1、第一节 定积分的概念,一、引入定积分概念的实例二、定积分的概念三、定积分的存在定理四、定积分的基本性质,一、引入定积分概念的实例,引例1 曲边梯形的面积曲边梯形 设函数f(x)在区间a,b(ab)上非负且连续,由曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧y=f(x)称为曲边,线段ab称为底边.,问题 求由x=a,x=b,y=0与y=f(x)所围成的曲边梯形的面积.,求曲边梯形的面积A的具体做法：,(1)分割 在(a,b)内插入n1个分点,过每个分点xi(i=1,2,n)作y轴的平行线，将曲边梯形分割成n个小曲边梯形.,记每一个小区间 的长度为,把区间a,b分成

2、n个小区间,(2)近似、求和.,在每一个小区间xi-1,xi上任取一点i,以xi为底边,以f(i)为高作小矩形,其面积为f(i)xi.以此作相应的小曲边梯形面积的近似值,即,n个小矩形面积的和即为整个曲边梯形的近似值,我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变力作功的问题.,(3)取极限,记所有小区间长度的最大值为,当0时和式(n个小矩形面积之和)的极限存在,则定义极限值为曲边梯形面积,即,引例2 变力做功,设一物体作直线运动,受到与运动方向平行的力的作用,当力F是恒力时,物体位移为s,力F所做的功就是,w=Fs.,但实际问题中,物体在运动中受力常常不是恒力,此时不能直接用上述

3、公式计算变力所做的功.如果已知F(s)是位移s的连续函数,物体位移区间为a,b(即位移s从a变到b).则所求功显然取决于位移区间及定义在这个区间上的函数F(s).如果把位移区间分成许多小区间，总功应等于对应于各小区间上变力所做功之总和.,计算步骤(1)分割,以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念.,在每个小区间 任取一点 作和式,二、定积分的概念,定义5.1 设函数f(x)在区间a,b上有界,在(a,b)内插入n1个分点,各小区间的长度为,把区间a,b分为n个小区间,定积分(简称积分),其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达

4、式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间.,根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：,曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间a,b上的定积分，即,物体在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对物体所做之功等于函数F(s)在a,b上的定积分，即,如果函数f(x)在区间a,b上的定积分存在，则称函数f(x)在区间a,b上可积.,关于定积分的概念，还应注意两点:(1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值,定积分值只与被积函数f(x)及积分区间a,b有关,而与积分变量的记法无关.即有,(2)

5、在定积分 的定义中,总假设,为了今后使用方便，对于 的情况作如下规定：,定积分的几何意义：,如果在a,b上，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积.,如果在a,b上,此时由曲线y=f(x),直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数.,如果在a,b上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.,三、定积分的存在定理,定理5.1,定理5.2,例1 用定义计算,解(1)分割.插入n1个分点把区间0,1分成n等分,

6、各分点的坐标依次是,每个小区间的长度均为,(2)近似、求和.取每各小区间 右端点为i,即,作乘积,这里用了正整数平方和公式,(3)取极限.当,时取极限,得,所以所求的定积分,性质1 函数的和(或差)的定积分等于它们的定积分的和(或差),证明,设各性质中涉及的函数都是可积.,四、定积分的基本性质,推论 有限个函数的代数和的定积分等于各函数的定积分的代数和，即,性质 2 被积函数中的常数因子可以提到积分号前面,即,证明,性质 3 如果积分区间a,b被分点c分成区间a,c和c,b,则,性质6.3表明定积分对积分区间具有可加性，这个性质可以用于求分段函数的定积分.,按定积分的补充规定有:不论a,b,c

7、的相对位置如何(如abc,cab等),总有等式,利用定积分的几何意义，可分别求出,例2 已知,解,性质 4,性质 5,推论1,性质 6(估值定理),证明,由性质6.2和性质6.4,可得,曲边梯形的面积小于由y=M，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积，而大于由y=m，x=a，x=b及x轴所围成的矩形面积.,性质6的几何意义：,例3,解,性质 7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则在积分区间a,b上至少存在一个点,使下式成立,证明 因为函数f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f(x)在a,b上一定有最大值M和最小值m，由定积分的性质 6，有,即数值 介于f(x)在a,b上的最大值M和最小值m之间.,性质 7的几何意义：,如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，我们称 为函数f(x)在a,b上的平均值.,