《群基本知识》PPT课件.ppt

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1、第二章 群的基本知识,群论是研究系统对称性的数学工具。,a,A,B,C,D,定义：在元素集合G（A,B,C,）中，定义一种结合法则（群乘）（combination,composition），满足：（1）封闭性：AG，BG，则ABG（2）结合律：A,B,CG,则(AB)C=A(BC)（3）集合中有单位元素EG，使得对于任何AG，恒有EA=A（4）对于任何的AG，均存在逆元A-1G，使得A-1A=E,2.1 群的概念2.1.1 群的定义,例如：构成一个群,可以证明：AE=A；AA-1=E证明：1）（若EA=A，必有AE=A）若，,证明：2）左逆=右逆，假定：设,证明：3），且,证明：4）群中的单位

2、元素是唯一的。假定有两个单位元E1 和E2，由，得 or,证明：5）（逆元）且（单位元）,证明：6）,试讨论以下集合是否构成群：1 全体整数对于数的加法 2 全体实数对于数的乘法 3 模（绝对值）为1的复数全体对于数的乘法 4 么正矩阵的全体对于矩阵的乘法 5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘,2.1.2 群的种类,定义：有限群中元素的数目称为群的阶（order）,有限群（finite group），群元个数有限,离散群（discrete group）可数,连续群（continuous group）不可数,群,无限群（infinite group），群元个数无限多,定义：若群元素之间的结合满

3、足交换律：，则该群称为Abel群，或对易群（commutation Group）。,1重排定理（rearrangement theorem）（它对无限群不成立）设群 的阶为h.若，则（Ai为G中任意元素）,2.1.3 有限群的性质,即：AiG和GAi中每一元素不能相同且又是G中的元素，而共有h个群元，不能超过G的元素，则AiG就是G。,证明：(1)必出现,(2)x不能出现两次 若，得：,例：群 符合四条群公理。用其中任意一个元素乘整个群，所得到的仍然为原来的群，只是次序有变。,r为满足此式的最小整数,2群元素的级 有限群G，AG 由于有限，必有，即，r称为该元素的级 级和阶是两个概念，但有时值

4、可相等，如 中 就是如此,定义：若有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到（不一定要求每一个元素，只要找到一个便可），则该群称为循环群（cyclic group）。Ai 该群的生成元,定义：由群G的一个最小的群元的集合（如Ai,Aj,）及乘法关系就可以构造出一个群。这个最小的群元的集合中的元就称为群G的生成元（generator）。群乘关系称作生成关系。,2.1.4 群的乘法表,约定：表中元素是竖元素乘横元素，即,（右因子）,（左因子）,例：矩阵组,按矩阵乘法构成一个群其乘法表为：,2.1.5 群的实例,1）一阶群：E，满足，单位元素,2）二阶群：，如 所有二阶群的构造均一样 如宇称变换；全

5、同粒子交换（费米）生成元：A；A,A2,3）三阶群：,一阶、二阶、三阶群均是Abel群，也是循环群。,三阶群唯一可能的乘法表为：,生成元：A；A,A2,A3 B；B,B2,B3,唯一可能 A2=B；同理 B2=A,A2=A？不行，否则 A=E,又 A2=E？不行，否则 A=A-1=B,唯一可能 AB=E，即 A=B-1,B=A-1（互逆）,AB=B？也不行，否则 A=E,讨论：AB=A？不行，否则 B=E 是一个两阶群了。,例：的三个根 1，组成三阶群（一般乘法）,例；对称操作（即绕一固定轴转）也构成三阶群,4）四阶群:,Abel群(四阶循环群）,生成元：A；A,A2,A3,A4 C；C,C2

6、,C3,C4,）A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，C。乘法表示：,绕某固定轴转,）A,B,C均为自逆，（注意，不可能有两个自逆）乘法表为：Klein四阶群,证明：（若 或，则 或）同理 V Abel群（四阶反演群）,生成元：A,B；A,A2,B,AB,5）转动群：所有旋转轴相交于一点的全部连续转动，构成 连续群,例：共 3！个群元素,注意：置换是先进行右边的置换，再进行左边置换，即从右到左。,例如：,置换不满足交换律，是非Abel群,坐标系上取固定的三点A,B和C，变换前正三角形三顶点A1,B1和C1分别与A,B和C重合。经变换，A1,B1和C1 的位置发生变化，但总是分别和 A,B和C

7、 中的某一点重合。,7）正三角形对称群 共有六个元素：恒等变换E，绕三角形中0点顺时针转2/3和4/3角的变换D和F，三角形分别对三条中线的反射变换A，B，C。,C3v的乘法表和S3一样 例如：等 可以证明：C3v是非Abel群,8）四元数群（guatermon）8阶群 对复数：，有两个单位，二元素。定义四元素：且规定：,2.2 子群（subgroup），陪集（coset），共厄元素（conjugate）和类（class）2.2.1 子群,定义：若某群中的一部分元素的集合按原来的给合法则也构成群，子群。任何群的单位元素构成子群 G的全体也构成G的子群,非真子群（平庸子群）,真子群的条件:1 存

8、在单位元 2 任意元素的逆元素也在这一子集内 3 任意两元素的乘积也在这一子集内,例：C3v群中，中 构成真子群。,沿A轴反演,顺时针赚120,例：实数（加法），单位元为：0 有理数（加法），单位元为：0 子群 整数（加法），单位元为：0 子群 子群链 偶数（加法），单位元为：0 子群,2.2.2 陪集,定义：群中G有一个子群gH1,H2,Hh，有一群元xG，集合xg=xH1,xH2,xHh称为g的左陪集（left coset），gx=H1x,H2x,Hhx称为的右陪集（right coset）.注：如果 xg，则 xg=gx=g为子群本身。陪集可能是G的一个子群，也可能不够成群。,例：C3v

9、群中，子群E,D,F只有一个陪集A,B,C 子群E,A对的右陪集为B,D，左陪集为B,F 对C的右陪集为C,F，左陪集为C,D,定理:(1)子群g的两个左（右）陪集，或者包含相同的一组元素，或者没有共同元素。证：假如：，则有（作），即,(2)若x不是g的一个元，那么gx(xg)不是一个群。,（3）G中的每一个元必然落在子群或某一个左（右）陪集中。,(4)若子群g的阶为h，G的阶为H，则每一个左（右）陪集包含h个不同的元，即在集合gx(xg)的h个元中，没有相同的元存在。,(5)若y是gx(xg)的元，那么，gy(yg)与 gx(xg)是相同的。,Lagrange定理：子群g的阶(h)必定能够整

10、除整个群G的阶(H)。证：若g遍举群G的全部元素，则h=H，故H/h=1；若不能遍举,作A1g，且A1g与g无共同元素。若g+A1g遍举G所有元素，则H/h=2。若不能，作A2g，且它与g,A1g无共同元素，若g+A1g+A2g能遍举G，则H/h=3。因为是有限群，总有G=g+A1g+A2g+Al-1g H/h=i(i为子群的指数）例：证明：若群的阶为素数，则该群必为循环群。证明：设群的阶为h，若某元素A：Ar=E，若 rh，则 h/r=整数，但h为素数，故必有r=h。注意：陪集并不构成群。,2.2.3 共厄元素和类,定义：A,B,xG，若xAx-1=B，则称B是A的共轭元素（conjuate

11、）。性质：1）共厄关系是相互的 2）共厄关系具有传递性 A,B,CG，若A,B分别与C共厄，即 则A和B共厄：由 3）任何元素与自身共厄：,定义：群G中互相共轭的元素所形成的集合称为类（class），类中元素的数目称为类的阶。（相似变换的 x()x-1 中的 x 对类中不同元素是可以不一样的，x要取遍整个G）只要给出类中任意一个元素就可求得类中所有元素。单位元素单独成一类，这是因为xEx-1=E 普遍地，若A1,A2,Ai,Aj,An是一类，对任一xG，xAix-1必定在A1,An内，但它不构成群。,任意x,例：三点对称群有三个类：1）E自成一类，因为它与所有元素可对易 2）D、F组成一类，因

12、 3）A，B，C组成一类，因为：,性质：1）单位元素E自成一类 2）Abel群的每个元素自成一类 3）同一类中的所有元素都具有相同的级。（n是A元素的级，若An=E）证：若An=E，则 4）群G的阶h可以被共厄元素类的阶l所整除：即 h/l=整数。,5）不同的类中没有共同的元 6）除单位元这一类外，其余各类都不是子群（因为无单位元）7）对于矩阵群，同一类中的各元互为相似矩阵，因此，同类中各元具有相同的迹。8）若C是群G的一个类，C是C中所有元的逆的集合，那么，C也是群G的一个类，称为C的逆类。,定理：若g为G的子群，A为G的任意元素，则AgA-1也是一个子群，称作群g的共轭子群（A 可以g）。

13、证：H1,H2 g，作，1）封闭性：2）单位元素：3）逆元：由于g中必有，g和AgA-1至少有一个单位元是共同的,2.2.4 共轭子群（conjugate subgroup）和正规子群（不变子群：nomal divisor）,例：其中，E，B构成子群，且：构成子群,指包含有相同的元素,定义：g是G的子群，对任意AiG,恒有AigAi-1=g，则g称为G的不变子群或正规子群（即子群所有的左陪集和相应的右陪集相等）。例：,是它的不变子群，这是因为：,同理,例：其中，E，D，F构成正规子群,阿贝尔群的所有子群都是不变子群。指数为2的子群一定是不变子群。,2.2.5 同构（isomorphism）和同

14、态(homomorphism）,定义：若群G和G的所有元素间均按某种规律存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规律一一对应，则称两群同构。即：若R,SG;R,SG;RR,SS,必有RSRS，则GG。“”一一对应，“”同构 对G的所有定理，对G也成立，因此，在群论中，所有同构的群均被看作同一群。,例：所有二阶群都同构于二阶反演群V2例：正三角形对称群C3V和S3有相同乘法表，因此互相同构。,例：其中，E，B构成子群，共轭子群AgA-1为 两者同构,子群g和它的共轭子群AgA-1是同构的,定义：如果群G的任一个元素A都唯一地对应于群G的一个元素 A,而群G中的一个元素对应于群G的元素不只一个，并且如

15、果对应于AB=C，就有AB=C，则称G同态于G，记为 GG。即,例：,其中 称为同态对应的核core,G中与G中单位元E对应的那些元称为这一同态关系的同态核。,同态定理：若GG，分别与G中单位元相对应的G中元素的集合H构成群G不变子群，H称为同态对应的核。,证明：（1）若 则，即对，因此是群G的子群。（2）若 则,这就是说,所以P是G的正规/不变子群。,2.2.6 商群（quotient group）,定义：对于集合S（不一定是群）分成集合 若，则恒有，这种分解称为正则分解（regular resolution）,定理：群G按照正规子群g及其陪集的分解是一种正则分解。证：定义：将群G按照正规子

16、群g进行正则分解（陪集）,所得到的元素集合（即g及其所有陪集）当作元素，则称这样元素的集合为G按g分解所得的商群。,正规子群左右陪集相等,证明：商群也构成群证：设群G按g划分成商群的元素：1封闭性：2单位元：3逆元：令，则 4组合律：同理：,例：,C6群同态于C2，g为 是同态的核，且可以证明：g是一个正规子群。如果以g来划分G，得两阶商群：且 同构。,绕6次轴：不转和转2为E，转2/6为C6，转2/3为C62，转为C63，转4/3为C64，转5/3为C65。,G,G,映照f,C2,直积封闭性要求,2.3 群的直（接乘）积,定义：设ga（阶为h）和gb（阶为k）为群G的两个子群，它们之间元素之积可对易，即：aiga,bjgb，有 那么按群G的乘法得到的hk个元素aibj也构成一个群，称为ga和gb的直积群，记为：，ga和gb称为直积因子。证：封闭性：逆元：单位元：显然：并是G的一个子群。,*直积群的不同直积因子（如ai,bi等）的元素是相互对易的，但同一个直积因子中的元素可不对易（如ai,aj等）。*直积因子ga和gb都是直积群 的正规子群 取其共轭元 令 则 gb是 的正规子群 同理，ga也是 的正规子群,