《维向量教学》PPT课件.ppt

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1、第一节 n维向量,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义1,分量全为复数的向量称为复向量.,分量全为实数的向量称为实向量，,一、维向量的概念,例如,二、维向量的表示方法,维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；,行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.,向量,三、向量空间,空间,叫做 维向量空间,时，维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的 维超平面,确定飞机的状态，需要以下6个参数：,飞机重心在空间的位

2、置参数P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,课堂讨论,在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明,向量的表示方法：行向量与列向量；,向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的概念；,向量在生产实践与科学研究中的广泛应用,四、小结,维向量的概念，实向量、复向量；,若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,思考题,如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分等，维

3、数还将增加,思考题解答,答36维的,第二节 向量组的线性相关性,扬州大学数学科学学院,线性代数,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,向量组,，称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,定义,线性组合,向量 能由向量组 线性表示,定理1,定义,从而,注意,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,定理向量组（当 时）线性相关的充分必要条件是 中至少有一个向量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比

4、如）能由其余向量线性表示.,即有,三、线性相关性的判定,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理2,下面举例说明定理的应用.,证明（略）,解,例,解,例,分析,证,定理3,证明,说明,说明,.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,.线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）,.线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理（难点）,四、小结,思考题,证明（）、（）略,（

5、）充分性,必要性,思考题解答,第二节 向量组的秩,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义,一、最大线性无关向量组,定理,二、矩阵与向量组秩的关系,结论,说明,事实上,定理,三、向量组秩的重要结论,推论1,推论2,思考,证一,证二,注意,最大线性无关向量组的概念：最大性、线性无关性,矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩,关于向量组秩的一些结论：一个定理、三个推论,求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换,四、小结,比较教材例7的证法一、二、三，并总结这类题的证法,思考题,证法一根据向量组等价的定义，寻找两向量组相互

6、线性表示的系数矩阵；,思考题解答,证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价”这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；,证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组的最大线性无关组等价这一结论,第四节 向量空间,扬州大学数学科学学院,线性代数,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作.,一、向量空间的概念,定义1设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 为向量空间,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,例2 判别下列集合是否为向量空间.,解,解,试判断集合是否为向量空间.,定义2 设有向量空间 及，若向量空间，就说

7、是 的子空间,实例,二、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,三、向量空间的基与维数,定义3 设 是向量空间，如果 个向量，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.,向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法,四、小结,思考题,思考题解答,第五节 线性方程组解的结构,扬州大学数学科学学院,线性代数,解向量的概念,设有齐次线性方

8、程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解，为实数，则 也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组 的解空间,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的解.,

9、所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的基础解系,若 是 的基础解系，则其通解为,定理1,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组

10、 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法,例4 求解方程组,解,解,例5 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化

11、为最简形,由于,令,（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,第四章 习题课,扬州大学数学科学学院,线性代数,分量全为实数的向量称为实向量,分量全为复数的向量称为复向量,向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法,向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合叫做向量组,定义,线性组合,定义,线性表示,定理,定义,定义,线性相关

12、,定理,定理,定义,向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论（最大无关组的等价定义）,设向量组是向量组的部分组，若向量组线性无关，且向量组能由向量组线性表示，则向量组是向量组的一个最大无关组,向量空间,定义,子空间,定义,基与维数,向量方程,齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程,非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系,线性方程组的解法,

13、第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,（）求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为特解的第 个分量，其余 个分量全部取零，于是得,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量空间的判定,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典型例题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1从定义出发,整理得线性方程组,方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关系判定,例研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证

14、明向量组的一个部分组构成最大线性无关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，而且可以求出最大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵，则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的线性相关性,解,判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构成向量空间；否则，不构成向量空间,

15、解,三、向量空间的判定,例证明与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系,四、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组的基础解系，需要证明三个结论:,证明,注 当线性方程组有非零解时，基础解系的取法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,五、解向量的证法,证明,注意(1)本例是对非齐次线性方程组的解的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方程组一定存在着个线性无关的解，题中(2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组，有时也把如题中所给的个解称为的基础解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性方程组，当时，有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性表示,第四章测试题,一、填空题(每小题5分，共40分),二、计算题,(每小题8分，共24分),三、证明题,(每小题8分，共24分),四、向量组 线性无关,问常数 满足什么条件时,向量组线性无关,(12分),测试题答案,