《简正振动声子杨》PPT课件.ppt

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1、3.2 三维晶格的振动本节讨论三维晶格振动，得到晶格振动的基本特征和一些普遍的结论。,一、运动方程及其解设晶体原胞的基矢为a1、a2、a3；,沿基矢方向晶体各有N1、N2、N3个原胞，即晶体一共有NN1N2N3个原胞；,每个原胞内有n个原子，质量为,个原胞第p个原子的平衡点位置矢量为,第,原胞内第p个原子的位置矢量。,每个原胞中，n个不同原子平衡位置的相对坐标为,该原子相对于平衡点的位移为,它沿坐标轴的分量为,上式是3nN个相耦合的运动方程组。,是原子（l,p）与原子（l,p）之间的准弹性力系数,把一维晶格动力学方程的试解加以推广，设三维晶格行波试解为：,将试解代入运动方程，可得到3n个线性齐

2、次联立方程（由于晶格的平移对称性，使得3nN个联立方方程组减少到3n个）：,使,有非零解的条件是系数行列式等于零：,由此可得到3n个色散关系,每个色散关系代表一支格波，共有3n支格波。,格波的色散关系中，有3支当,另外，3n-3支是描述原胞内各个原子之间的相对运动，称为光学支。,这三支称为声频波，它们是描述原胞与原胞之间的相对运动，其色散关系在长波近似下与弹性波类似，称为声学支；,波矢空间以,二、周期性边界条件确定模式数目,波矢q为,为倒基矢，则,根据波恩卡门边界条件,或写成,由（6）式，得,即,也就是说,应用到关系,为整数。代回（4）式,代表q空间均匀分布的点子.,若,是倒格矢，则,不变。,

3、因此q的取值可限制在第一布里渊区之内。,个q值。,倒空间原胞体积：,原胞体积,第一布里渊区里共有,波矢q的点在布里渊区中的密度为,如果q改变一个倒格子矢量,从三维晶格行波试解：,可以看出，q的作用只在于确定不同原胞之间振动位相的联系，具体表现在位相因子：,由于,不影响位相因子，因而对格波的描述没有任何区别。,晶格的一种振动模式，由此可知三维晶体中振动模式数目为3nN个。,对于有N个原胞的三维晶体，每个原胞有n个原子，每个原子有3个自由度，所以晶体的总自由度数也是3nN。,波矢q增加一个倒格矢，原子的位移保持不变。第一布里渊区。,晶格振动的波矢数目等于晶体的原胞数N；格波振动模式数目等于晶体中所

4、有原子的自由度数之和3nN。,概括起来，我们得到以下结论：,3.3 简正振动 声子理论考虑：前面我们根据牛顿定理用直接解运动方程的方法，求解一维链的振动模，得出如下结论：晶体中原子的集体振动-格波，可展开成简谐平面波的线性迭加。对微弱振动（简谐近似），每个格波就是一个简谐波，格波之间的相互作用可忽略，形成独立格波模式。在玻恩-卡门周期性边界条件下，得到分立的独立格波模式，可用独立简谐振子来表述。下面我们根据分析力学原理，引入简正坐标，直接过渡到量子理论，并引入声子概念晶格振动中的简谐振子的能量量子。,一、简谐近似和简正坐标,数学处理：通过引入简正坐标，将晶格振动总能量（哈密顿量）=动能+势能（

5、化成）=独立简谐振子能量之和,从经典力学的观点，晶格振动是一个典型的小振动问题，凡是力学体系自平衡位置发生微小偏移时，该力学体系的运动都是小振动。上一节关于晶格的运动方程之所以能够化成线性齐次方程组，是简谐近似的结果，即忽略原子相互作用的非线性项得到的。处理小振动问题的理论方法和主要结果做为晶格振动这部分内容的理论基础。,在第二章我们已经讨论过，当原子处于平衡位置时，原子间的相互作用势能,取最小值。,相互作用势能是原子偏离平衡位置位移的函数。N个原子的位移矢量共有3N个分量，写成,原子相互作用势能是这些位移分量的函数，即,将,在平衡位置展开成泰勒级数,因在平衡位置势能取极小值，所以上式右端第二

6、项为零，若取U0为能量零点，并略去二次以上的高次项，得到,上式即为简谐近似下，势能的表示式，包含了位移交叉项。,处理小振动问题一般都取简谐近似。,对于一个具体的物理问题是否可以采用简谐近似，要看在简谐近似条件下得到的理论结果是否与实验相一致。在有些物理问题中就需要考虑高阶项的作用，称为非谐作用。,为了消去势能中的交叉项，使问题简化，引入简正坐标,N个原子体系的动能函数为,简正坐标与原子的位移坐标之间的正交变换关系：,在简正坐标中，势能和动能化成,由上式可得出正则动量,振动系统的拉格朗日函数为：,于是系统的哈密顿函数化成,将上式代入正则方程,得到,这是3N个相互无关的谐振子的运动方程，表明各简正

7、坐标描述独立的简正振动。,借助简正坐标，将N个相互耦合关联的原子组成的晶格的振动转化为3N个独立的谐振子的简谐振动。,其中，任意简正坐标的解为,：振动的圆频率,原子的位移坐标和简正坐标间存在着正交变换关系：,上式表明，每一个原子都以相同的频率作振动。,当只考虑某一个Qj的振动时，位移坐标可表示为,一个简正振动与位移坐标不同，不再只和个别原子相联系，而是表示整个晶体所有原子都参与的振动，而且它们振动频率相同。,二、一维简单晶格,说明二个问题：,（1）简正坐标的引入前面根据牛顿定理得到的原子运动方程的试解为,晶格振动等价于N个谐振子的振动，谐振子的振动频率就是晶格的振动频率；根据牛顿定理用直接解运

8、动方程的方法，求链的振动模，与根据分析力学原理，引入简正坐标是等效的。,表示第q个格波引起第n个原子的位移，而第n个原子的总位移应为所有格波引起的位移的叠加,在简谐近似和最近邻近似下，一维单原子晶格的振动总能量为,势能项,势能项,中出现了交叉项，为了消去势能中的交叉项，把原子总位移的表达式变换一下形式，写成：,则,与简正坐标和原子位移坐标的定义关系式,其中Q(q)就是简正坐标，它表示了格波的振幅，而线性变换系数为,Q(q)是否就是简正坐标，需要证明经过上面的变换后，动能和势能都具有平方和的形式。,比较，得,为了证明这一点，需要利用以下两个关系式：,第二个关系式，实际就是线性变换系数的正交条件,

9、第一个关系式可以从原子位移为实数的条件得到，因为,也可以写成,因为原子位移un为实数，所以,比较上面两式，可得,把上式两端取共轭,第二个关系式，线性变换系数的正交条件,当qq时，,当q=q时，,显然成立。,s为整数，故有,利用上述证明的两个关系式，我们可化简系统动能和位能的表达式。,利用等比级数前n项求和公式,晶格动能：,有,同理可求出晶格势能：,其中,是一维简单格子的色散关系。,这样可以写出晶格振动总能量如下：,至此，晶格的动能和势能都化成了平方和的形式，这说明Q(q)确实是系统的简正坐标。,引入简正坐标以后：晶格振动的总能量可以表示为N个独立简谐振子的能量之和。这里所引入的线性变换可与量子

10、力学中的表象变换类比考虑:,实际坐标空间的N个相互作用的原子体系的微振动和,简正坐标所构成的态空间中N个独立谐振子,等效,三、声子根据量子力学对谐振子的处理，频率为q的谐振子的能量本征值是,所以晶格的总能量,上述结论可直接推广到三维情况，三维晶格的振动总能量为,引入声子的概念：由于格波的能量是以为单位量子化的，通常把这个能量量子称为声子。,声子是玻色子：声子既具有能量又具有动量，即具有粒子的属性，所以我们可以把声子看成是一种“准粒子”。由于同种声子（和q都相同的声子）之间不可区分而且自旋为零，声子是玻色子。,平均声子数：由于对每个声子能级，声子的占据数没有限制，声子遵从玻色统计，对能级的平均占

11、据数由普朗克公式给出：,声子的准动量声子不仅是一个能量子，它还具有“动量”。,波矢q的方向代表格波的传播方向，引入声子概念后它就是声子的波矢，其方向代表声子的运动方向，类似光子，称为声子的准动量。,引入声子概念后，给处理有关晶格振动问题带来极大方便：（1）简谐近似下晶格振动的热力学问题就可看做由3nN种不同声子组成的理想气体系统处理，如果考虑非谐效应，可看成有相互作用的声子气体。（2）光子、电子、中子等与晶格振动相互作用，就可看成是光子、电子、中子等与声子的碰撞作用，这样就使得问题的处理大大简化。（3）元激发：声子反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元，固体中微观粒子在特定相互作用下产生的集体

12、运动状态的的激发单元常称为元激发。相互作用性质不同，对应不同的元激发，但处理这些元激发的理论方法是相类似的。,3.4 晶格振动谱的实验测定方法,除了少数几个极简单模型，其晶格振动谱可以从理论上导出外，绝大部分实际晶体的晶格振动谱需要实验测定。,一、定义：晶格振动谱就是格波的色散关系（q），也称声子谱。,实验测定（q）:粒子与晶格振动的非弹性散射,中子、光子等与声子的碰撞。,当中子、光子入射到晶体，可以和晶格振动交换能量，总是以,为单元交换能量。使谐振子从一个激发态跃迁到另一个激发态。用声子概念说，就是产生或者消灭了一个声子，发射或吸收一个声子。,晶格振动谱的实验测定方法，主要有两类：光子散射方

13、法，中子散射方法。,二、光子散射,设入射光子的频率为，波矢为k，与频率为、波矢为q的声子碰撞后，光子的频率和波矢分别变成,碰撞过程中，能量守恒和准动量守恒。,两种过程：吸收声子过程：,以上四式可化成以下两式,产生（又称发射）声子过程：,当入射光的频率及波矢k一定，在不同方向(k的方向)测出散射光的频率，由与的差值求出声子频率，由k与k的方向及大小求出声子波矢q的大小及方向，即可求出晶格振动频谱。,实验方法：,测定长声学格波的部分频谱，实验还可进一步简化:光被长声学波的散射称为布里渊散射。由于长声学波的能量非常小，q 0（不会超出第一布里渊区），因此，散射光的频率和波矢的改变非常小，可以近似认为

14、,即右图中三角形近似为等腰三角形，声子波矢的模可由下式求得,波矢q的方向由光子入射方向与散射方向决定，即由,方向决定。由此即可确定出传播方向上长声学波的频谱,其中是晶体中的声速。,喇曼散射：光子和长光学波声子相互作用，称这类光子的散射为光子的喇曼散射。由于长光学波声子能量较大，其频率基本与波矢无关，（可由光学波的色散关系曲线非常平缓看出），所以喇曼频移相当大。,三、中子散射方法中子与声子相互作用满足能量守恒及动量守恒定律。,设中子的质量：m，入射中子的动量：P，散射后中子的动量：,由散射过程中能量守恒，得,由动量守恒，得,号对应吸收一个声子的过程，,的两声子是等价的条件。,动量守恒中利用了波矢q与波矢,倒逆散射过程或U过程。,正常散射过程。,号对应发射一个声子的过程。,由（10）式求出波矢的模,由（9）式求出频率，即可确定出某方向上的振动谱,对于正常散射过程，由（7）和（8）两式分别得,