第1章时域离散信号和.ppt

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1、第1章 时域离散信号和时域离散系统,1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统1.4 时域离散系统的输入输出描述法 线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法,1.1 引言,信号通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果仅有一个自变量，则称为一维信号；如果有两个以上的自变量，则称为多维信号。本书仅研究一维数字信号处理的理论与技术。关于信号的自变量，有多种形式，可以是时间、距离、温度、电压等，本书一般地把信号看作时间的函数。,本章作为全书的基础，主要学习时域离散信号的表示方法和典型信号、线性时不变系统的因果性和稳定性，以及系统的输入输出描述法，线性常系数差分方程的解法。最后介绍

2、模拟信号数字处理方法。,1.2 时域离散信号,对模拟信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 其中抽样频率Fs=1/T，单位：周期每秒。,离散时间信号的表示：1.x(n)表示一个离散时间信号（或序列），n取整数，取值范围：-n。当n为某个具体值时，表示序列的一个样本值。2、枚举法表示序列 x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.13、图形表示4、公式,Matlab：x k=1,1,2,-1,1;k=-1,0,1,2,3,序列的基本知识点,1.实序列和复序列 例如：2.离散时间信号分有限长序列和无限长序列（1）x(n),N1nN2，序列长度：N=？（2）补零或零填充：通过加入零

3、值样本来延长序列的运算（3）无限长序列分：左边序列、右边序列和双边序列,理由：复杂信号常常是表示成基本信号的线性组合后再进行分析。是信号分析的基础。1.单位采样序列(n)它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)，但不同的是(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对时间t的积分为1。单位采样序列和单位冲激信号如图1.2.1所示。,1.2.1 常用的典型序列,图1.2.1单位采样序列和单位冲激信号(a)单位采样序列；(b)单位冲激信号,2.单位阶跃序列u(n)单位阶跃序列如图1.2.2所示。(n)与u(n)之间的关系如下式所示：(n)=u(n)-u(n-1),图1.2.2 单位阶跃序列,

4、3.矩形序列RN(n)1,0nN-1 0，其它n(1.2.8)上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的波形如图1.2.3所示。矩形序列可用单位阶跃序列表示，如下式：RN(n)=u(n)-u(n-N)(1.2.9),RN(n)=,图1.2.3 矩形序列,4.实指数序列 x(n)=anu(n)，a为实数 如果|a|1，则称为发散序列。其波形如图1.2.4所示。,图1.2.4 实指数序列,5.实正弦序列 x(n)=Acos(0n+)式中称为正弦序列的数字域频率，单位是弧度，它表示序列变化的速率，或者说表示相邻两个序列值之间变化的弧度数。如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么

5、xa(t)=sin(t)xa(t)|t=nT=sin(nT)x(n)=sin(n),因为在数值上，序列值与采样信号值相等，因此得到数字频率与模拟角频率之间的关系为=T(1.2.10)(1.2.10)式具有普遍意义，它表示凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率fs与采样周期T互为倒数，也可以表示成下式：,(1.2.11),6.复指数序列 x(n)=e(+j0)n 式中0为数字域频率，设=0，用极坐标和实部虚部表示如下式：x(n)=e j0n x(n)=cos(0n)+jsin(0n)由于n取整数，下面等式成立：e j(0+2M)n=e j0n,M=0,

6、1,2,7.周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立：x(n)=x(n+N),-n(1.2.12)则称序列x(n)为周期性序列，周期为N，注意N要取整数。例如：上式中，数字频率是/4，由于n取整数，可以写成下式：,上式表明 是周期为8的周期序列，也称正弦序列，如图1.2.5所示。下面讨论一般正弦序列的周期性。设 x(n)=Asin(0n+)那么 x(n+N)=Asin(0(n+N)+)=Asin(0n+0N+)如果 x(n+N)=x(n),图1.2.5 正弦序列,则要求N=(2/0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周

7、期的周期序列。具体正弦序列有以下三种情况：(1)当2/0为整数时，k=1，正弦序列是以2/0为周期的周期序列。例如sin(/8)n，0=/8，2/0=16,该正弦序列周期为16。,(2)2/0不是整数，是一个有理数时，设2/0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。例如sin(4/5)n，0=(4/5)，2/0=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列。(3)2/0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。例如，0=1/4,sin(0 n)即不是周期序列。对于复指数序列ej0 n的周期性也有同样的分析

8、结果。,正弦序列例子,例 试确定余弦序列xn=cosw0n 当(a)w0=0(b)w0=0.1p(c)w0=0.2p(d)w0=0.8p(e)w0=0.9p(f)w0=p 时的基本周期。,解：(a)w0/2p=0/1，N=1。(b)w0/2p=0.1/2=1/20，N=20。(c)w0/2p=0.2/2=1/10，N=10。(d)w0/2p=0.8/2=2/5，N=5。(e)w0/2p=0.9/2=9/20,N=20。(f)w0/2p=1/2,N=2。,xn=cosw0 n,w0=0.2p,xn=cosw0 n,w0=0.8p,xn=cosw0 n,w0=p,xn=cosw0 n,w0=0,当

9、w0从p增加到2p时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。,即两个余弦序列的角频率相差2p的整数倍时，所表示的是同一个序列。,cos(2p-w0)n=cos(w0 n),w0 在p 附近的余弦序列是 高频信号。w0 0或2p 附近的余弦序列是 低频信号。,用matlab产生序列,matlab中常用来产生信号的函数：exp,sin,cos,square,sawtoothexam21：复指数序列的产生exam22：实指数序列的产生,以上介绍了几种常用的典型序列，对于任意序列，常用单位采样序列的移位加权和表示，即,(1.2.13),式中,(n-m)=,1,n=m0，nm,这种任意序列的表示方法，在信号分

10、析中是一个很有用的公式。例如：x(n)的波形如图1.2.6所示，可以用(1.2.13)式表示成：x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6),图1.2.6 用单位采样序列移位加权和表示序列,1.2.2 序列的运算 在数字信号处理中，序列有下面几种运算，它们是乘法、加法、移位、翻转及尺度变换。多数情况下，特定的离散时间系统就是由一些基本运算组成的。1.乘法和加法 序列之间的乘法和加法，是指它的同序号的序列值逐项对应相乘和相加。积运算也称为调制。积运算的一个应用：根据一个无限长序列产生一个有限长序列。如有限长序列为窗函数，

11、运算过程称为加窗。,图1.2.7 序列的加法和乘法,如果进行积、加运算的两个序列长度不一样，可通过补零填充来解决。,2.移位、翻转,图1.2.8 序列的移位、翻转,3.序列的抽取与插值,*序列的抽取：指将原来的序列每隔M个样点保留 一个样点，去掉其中的M-1个样点 形成的新序列。,y(n)=x(Mn),*序列的插值：指在原来序列的每两个样点之间等 间隔的插入L个新的样点，从而变成 一个具有更多样点的新序列。,分解过程如下：,1.3 时域离散系统,功能：对一个给定的输入序列进行处理得到一个输出序列。设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输

12、出与输入之间关系用下式表示：y(n)=Tx(n)(1.3.1)其框图如图1.3.1所示。,图1.3.1 时域离散系统,离散时间系统通常称为数字滤波器。,例1：M点滑动平均滤波器。这种系统通常用于平滑数据中的随机噪声。若信号s(n)在n0时被噪声d(n)污染，其观察数据为x(n)=s(n)+d(n)。假定未污染的原始信号为：s(n)=2n(0.9)nexam23：产生相关的信号exam24:通过滑动平均滤波器平滑信号观察图形，有延时，M点滑动平均滤波器的延时为（M-1)/2,1.3.1 线性系统：最广泛使用的一种离散时间系统。满足叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的

13、输入序列，其输 出分别用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n)那么线性系统一定满足下面两个公式：T x1(n)+x2(n)=y1(n)+y2(n)(1.3.2)Ta x1(n)=ay1(n)(1.3.3),满足(1.3.2)式称为线性系统的可加性；满足(1.3.3)式称为线性系统的比列性或齐次性，式中a是常数。将以上两个公式结合起来，可表示成：y(n)=Tax1(n)+bx2(n)=ay1(n)+by2(n)(1.3.4)上式中，a和b均是常数。,例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。证明 y1(n)=

14、Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n)因此，该系统不是线性系统。用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统。,1.3.2 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下：y(n)=Tx(n)y(n-n0)=Tx(n-n0)(1.3.5),例1.3.2检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，上式中a和b是常数。解 y(n)=ax

15、(n)+b y(n-n0)=ax(n-n0)+b y(n-n0)=Tx(n-n0)因此该系统是时不变系统。,例1.3.3检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。解 y(n)=nx(n)y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)Tx(n-n0)=nx(n-n0)y(n-n0)Tx(n-n0)因此该系统不是时不变系统。同样方法可以证明 所代表的系统不是时不变系统。,1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 设系统的输入x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响

16、应。用公式表示为 h(n)=T(n)(1.3.6)h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。设系统的输入用x(n)表示，按照(1.2.13)式表示成单位采样序列移位加权和为,例：x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)-(n-4)+2(n-5)+(n-6),计算该信号通过线性时不变系统h(n)的响应。,根据线性系统的叠加性质,又根据时不变性质,(1.3.7),例1.3.4设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解 按照(1.3.7)式，上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩形序列

17、的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非零值区间为：0m3，R4(n-m)的非零值区间为：0n-m3，其乘积值的非零区间，要求m同时满足下面两个不等式：,0m3 n-3mn 因此，,当,当,卷积过程以及y(n)波形如图1.3.2所示，y(n)用公式表示为 n+1 0n3 y(n)=7-n 4n6 0 其它,图1.3.2 例1.3.4线性卷积,（1）教学任务,（1）教学任务,例：已知x1n*x2n=yn，试求y1n=x1n-k*x2n-m。,结论：y1n=yn-(m+k),例：xn 非零范围为 N1 n N2，hn 的非零范围为 N3 n N4 求：yn=xn*hn的非零范围。,结论：N1

18、+N3 n N4+N2,卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积服从交换律、结合律和分配律。它们分别用公式表示如下：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)(1.3.8)x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)(1.3.9)x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)(1.3.10),图1.3.3 卷积的结合律和分配律,例1.3.5在图1.3.4中，h1(n)系统与h2(n)系统级联，设 x(n)=u(n)h1(n)=(n)-(n-4)

19、h2(n)=anu(n)，|a|1 求系统的输出y(n)。,图1.3.4 例1.3.5框图,解先求第一级的输出m(n)，再求y(n)。m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*(n)-(n-4)=u(n)*(n)-u(n)*(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n),=anu(n)*(n)+(n-1)+(n-2)+(n-3)=anu(n)+a n-1 u(n-1)+a n-2 u(n-2)+a n-3 u(n-3)还可以将y(n)用下式表示 y(n)=(n)+(1+a)(n-1)+(1+a+a2)(n-2)+u(n-3),在Matla

20、b中，函数c=conv(a,b)实现了两个有限长序列a和b的卷积和运算，得到有限长序列c.exam25：两个有限长序列的卷积和,信号的相关,实际应用中，有时需要将一个 或多个信号与参考信号做比较，确定每对信号之间的相似性并根据相似性提取额外的信息。例如：数字通信中例如：雷达和声纳应用中序列x(n)和y(n)的相似性度量用rxy(l)表示，其中l表示延时。可正可负。下标xy表示x(n)为参考序列，y(n)做平移。,序列x(n)的自相关序列为：用Matlab进行相关计算。x(n)=1 3-2 1 2-1 4 4 2,y(n)=2-1 4 1-2 3。求两序列的互相关序列exam27.说明：（1）利

21、用exam27求自相关序列。（2）令y(n)=x(n-4)，求互相关；（3）对x(n)加随机噪声，rand，求自相关。（4）matlab中函数xcorr可以用来计算相关。,1.3.4系统的因果性和稳定性 如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式：h(n)=0，n0(1.3.13),满足(1.3

22、.13)式的序列称为因果序列，因此因果系统的单位取样响应必然是因果序列。因果性系统的条件(1.3.13)式从概念上也容易理解，因为单位取样响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此得到因果性条件(1.3.13)式。,图1.3.5 非因果系统的延时实现,所谓稳定系统，是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为,(1.3.14),证明 先证明充分性。,因为输入序列x(n)有界，即|x(n)|B,-n，B为任意常数 如果系统的单位取样响应h(n)满足(1.3.14)式，那么输出y(n)一定也

23、是有界的，即|y(n)|,下面用反证法证明其必要性。如果h(n)不满足(1.3.14)式，即，那么总可以找到一个或若干个有界的输入引起无界的输出，例如：,x(n)=,令n=0,例1.3.6设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。解 由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。,只有当|a|1时,因此系统稳定的条件是|a|1；否则，|a|1时，系统不稳定。系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列。如果系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列。,例1.3.7 设系统的单位取样响应h(n)=u(n

24、)，求对于 任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性。解 h(n)=u(n)y(n)=x(n)*h(n)=因为当n-k0时，u(n-k)=0；n-k0时，u(n-k)=1，因此，求和限为kn，所以,(1.3.15),上式表示该系统是一个累加器，它将输入序列从加上之时开始，逐项累加，一直加到n时刻为止。下面分析该系统的稳定性：,1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程,描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或者研究系统输出和输入之间的关系，这种方法称为输入输出描述法。对于模拟系统，我们知道由微分方程描述系统输出输入之间的关系。对

25、于时域离散系统，则用差分方程描述或研究输出输入之间的关系。对于线性时不变系统，经常用的是线性常系数差分方程，本节主要介绍这类差分方程及其解法。差分方程均指线性常系数差分方程，本书中不另说明。,1.4.1线性常系数差分方程 一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：,(1.4.1),(1.4.2),或者,式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，ai和bi均为常数，式中y(n-i)和x(n-i)项只有一次幂，也没有相互交叉项，故称为线性常系数差分方程。差分方程的阶数是用方程y(n-i)项中i的取值最大与最小之差确定的。在(1.4.2)式中，y(n-i)项i最大的取值为N，i的最小取值为

26、零，因此称为N阶的差分方程。,1.4.2线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种：(1)经典解法。(2)递推解法。(3)变换域方法。,3.1 LTI离散系统的响应,差分方程的经典解,y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=bmf(k)+b0f(k-m),与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k),1.齐次解yh(k),齐次方程 y(k)+an-1y(k-1)+a0y(k-n)=0其特征方程为 1+an-1 1+a0 n=0，即 n+an-1n 1+a0=0其根i(i=1，2，n)称为差分方程的特征根。

27、齐次解的形式取决于特征根。当特征根为单根时，齐次解yn(k)形式为：Ck当特征根为r重根时，齐次解yn(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+C1k+C0)k,3.1 LTI离散系统的响应,2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同(r1）。,（1）激励f(k)=km(m0）所有特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+P1k+P0 有r重等于1的特征根时;yp(k)=krPmkm+P1k+P0（2）激励f(k)=ak 当a不等于特征根时;yp(k)=Pak 当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(k)或sin

28、(k)且所有特征根均不等于ej；yp(k)=Pcos(k)+Qsin(k),例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+4y(k 1)+4y(k 2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=1；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。,解：特征方程为 2+4+4=0 可解得特征根1=2=2，其齐次解 yh(k)=(C1k+C2)(2)k特解为 yp(k)=P(2)k,k0代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2=f(k)=2k，解得 P=1/4所以得特解：yp(k)=2k2,k0故全解为 y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(2)k+2k2,k0 代入初始条件解得 C1

29、=1,C2=1/4,3.1 LTI离散系统的响应,3.1 LTI离散系统的响应,零输入响应和零状态响应,y(k)=yx(k)+yf(k),也可以分别用经典法求解。y(j)=yx(j)+yf(j),j=0,1,2,n 1设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(1),y(2),，y(n)描述系统的初始状态。yf(1)=yf(2)=yf(n)=0 所以 y(1)=yx(1),y(2)=yx(2),，y(n)=yx(n)然后利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应的初始值yx(j)和yf(j)(j=0,1,2,，n 1),3.1 LTI离散系统的响应,例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k)+3

30、y(k 1)+2y(k 2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k0，初始状态y(1)=0,y(2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。,解：（1）yx(k)满足方程 yx(k)+3yx(k 1)+2yx(k 2)=0其初始状态yx(1)=y(1)=0,yx(2)=y(2)=1/2首先递推求出初始值yx(0),yx(1),yx(k)=3yx(k 1)2yx(k 2)yx(0)=3yx(1)2yx(2)=1,yx(1)=3yx(0)2yx(1)=3方程的特征根为1=1，2=2，其解为 yx(k)=Cx1(1)k+Cx2(2)k 将初始值代入 并解得 Cx1=1,Cx2=2 所以 yx

31、(k)=(1)k 2(2)k,k0,3.1 LTI离散系统的响应,yf(k)+3yf(k 1)+2yf(k 2)=f(k)初始状态yf(1)=yf(2)=0递推求初始值 yf(0),yf(1)，yf(k)=3yf(k 1)2yf(k 2)+2k,k0 yf(0)=3yf(1)2yf(2)+1=1 yf(1)=3yf(0)2yf(1)+2=1分别求出齐次解和特解，得 yf(k)=Cf1(1)k+Cf2(2)k+yp(k)=Cf1(1)k+Cf2(2)k+(1/3)2k代入初始值求得 Cf1=1/3,Cf2=1 所以 yf(k)=(1)k/3+(2)k+(1/3)2k,k0,（2）零状态响应yf(

32、k)满足,(1.4.1)式表明，已知输入序列和N个初始条件，则可以求出n时刻的输出；如果将该公式中的n用n+1代替，可以求出n+1时刻的输出，因此(1.4.1)式表示的差分方程本身就是一个适合递推法求解的方程。例1.4.1 设系统用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，输入序列x(n)=(n)，求输出序列y(n)。解 该系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。(1)设初始条件 y(-1)=0,y(n)=ay(n-1)+x(n)n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1n=1时，y(1)=ay(0)+(1)=an=2时，y(2)=ay(1)+(2)=a2n=n时，y(n)=an

33、y(n)=anu(n),(2)设初始条件y(-1)=1n=0时，y(0)=ay(-1)+(0)=1+an=1时，y(1)=ay(0)+(1)=(1+a)an=2时，y(2)=ay(1)+(2)=(1+a)a2n=n时，y(n)=(1+a)any(n)=(1+a)anu(n),该例表明，对于同一个差分方程和同一个输入信号，因为初始条件不同，得到的输出信号是不相同的。对于实际系统，用递推解法求解，总是由初始条件向n0的方向递推，是一个因果解。但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解。因此差分方程本身并不能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制。,例1.4.2

34、 设差分方程为y(n)=ay(n-1)+x(n)，式中 x(n)=(n),y(n)=0,n0，求输出序列y(n)。解n=1时，n=0时，n=-1时，n=-n时，y(n-1)=a-1(y(n)-(n)y(0)=a-1(y(1)-(1)=0 y(-1)=a-1(y(0)-(0)=-a-1 y(-2)=a-1(y(-1)-(-1)=-a-2 y(n-1)=-a n-1 将n-1用n代替，得到 y(n)=-anu(-n-1),matlab求解线性时不变系统的响应,函数：y=filter(p,d,x)含义：假设在零初始条件下，p代表的是输入有关的系数向量，d代表与输出有关的系数向量，x代表输入。x和y的

35、长度相同。例如：y(n)+0.7y(n-1)-0.45y(n-2)-0.6y(n-3)=0.8x(n)-0.44x(n-1)+0.36x(n-2)+0.02x(n-3)，求h(n).exam26:h(n)的计算说明：（1）求h(n)也可以用impz。（2）如何求出阶跃响应。x=ones(1,N),作业,1.5 模拟信号数字处理方法,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如图1.5.1所示。图中

36、的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。现实世界中遇到的绝大多数信号是连续时间信号，如语音、音乐和图像。,预备知识,如果离散时间序列是通过对连续时间信号xa(t)均匀抽样得到，则这两个信号的关系为：x(n)=xa(t)|t=nT=xa(nT),n=.,-2,-1,0,1,2,.当连续时间信号为xa(t)=Acos(t+)=Acos(2ft+)时，相应的离散序列为：x(n)=Acos(nT+)=Acos(n+)，其中=T,例：以10Hz的抽样率分别对频率为3Hz,7Hz和13Hz三个余弦函数均匀抽样产生三个序列。即，得到三个序列,下图给出了原连续信号和离散信号的波形。t

37、=0:0.01:1;x1=cos(6*pi*t);x2=cos(14*pi*t);x3=cos(26*pi*t);n=0:10;xn=cos(0.6*pi*n);plot(t,x1);hold onplot(t,x2,-.);hold onplot(t,x3,-.);hold onstem(0.1*n,xn),结论：不同的连续时间信号可以抽样得到相同的序列。,上例中的三个序列整理后其实是同一个序列。在一定条件下，一个给定的离散时间序列和一个特定的连续时间信号可以建立一一对应的关系，并且可以从对应的抽样信号中恢复出原始的连续时间信号。采样定理就是条件。,4.6 周期信号傅里叶变换,补：一般周期信

38、号的傅里叶变换,例1：周期为T的单位冲激周期函数T(t)=,解：,(1),图1.5.1 模拟信号数字处理框图,要理解该系统的工作条件，必须分析下图中的每个接口电路。,1.5.1 采样定理及A/D变换器 对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号。,图1.5.2 对模拟信号进行采样,上式中(t)是单位冲激信号，在上式中只有当t=nT时，才可能有非零值，因此写成下式：,(1.5.1),(1.5.2),我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，按照(1.5.2

39、)式，推导如下：设,(1.5.3),按照(1.5.1)式，,式中，s=2/T，称为采样角频率，单位是弧度/秒，,(1.5.4),(1.5.5),图1.5.3 采样信号的频谱,在实际中一些常用的典型抽样率：如：数字电话中的抽样率为8Khz光盘CD音乐系统的抽样率为44.1KHz,(1.5.6),需要说明：一般频谱函数是复函数，相加应是复数相加，图1.5.3和图1.5.4仅是示意图。一般称fs/2为折叠频率，只有当信号最高频率不超过该频率时，才不会产生频率混叠现象，否则超过fs/2的频谱会折叠回来形成混叠现象，因此频率混叠均产生在fs/2附近。,(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号

40、的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的，用公式(1.5.5)表示。(2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c，那么让采样信号xa(t)通过一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s2c会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。,图1.5.4 采样恢复,图1.5.5 A/DC原理框图,将模拟信号转换成数字信号由A/DC(Analog/DigitalConverter)完成，A/DC的原理框图如图1.5.5所示。通过按等间隔T对模拟信号进行采样，得到一串采样点上的样本数据

41、，这一串样本数据可看作时域离散信号(序列)。设A/DC有M位，那么用M位二进制数表示并取代这一串样本数据，即形成数字信号。因此，采样以后到形成数字信号的这一过程是一个量化编码的过程。例如：模拟信号xa(t)=sin(2ft+/8)，式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t)中，得到采样数据：,当n=0，1，2，3，时，得到序列x(n)如下：x(n)=0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,带限(band limit)信号,X(j)=0|m称为m 为信号的最高(角)频率。m,抽样,国

42、家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,例:已知某带限信号抽样信号x(t)的频谱如图所示，试分别抽样角频率sam=2.5m,2m,1.6m抽样时，抽样后离散序列xn的频谱。,解：,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,解：,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,设x(t)是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的(充分)条件为：,T p/m=1/(2fm),时域抽样定理,fsam 2fm（或sam 2 m）,抽样频率fs满足：,或抽样间隔T 满足,fsam=2fm 频谱不混叠最小抽样频率(Nyquist rate)T=1/

43、(2fm)频谱不混叠最大抽样间隔,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,例：已知x(t)=Sa(pf0t),试确定频谱不混叠最大抽样间隔T及抽样后的序列xn。,解：,所以sam=2pf0，即T=1/f0。,若信号x(t)以T为抽样间隔抽样后的序列为dn，则称该信号Nyquist-T 信号。,在所有的Nyquist-T 信号中，只有x(t)=Sa(pf0t)是带限的。,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,例：已知连续带通信号x(t)的频谱如下图所示,试分别画出sam1=0.5m 及sam2=0.8m时，抽样后离散序列的频谱。,解：,sam1=0.5m,T1=2p/sam

44、1=4p/m,sam2=0.8m,T2=2p/sam2=2.5p/m,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,抗混叠滤波,许多实际工程信号不满足带限条件,抽样,国家电工电子教学基地 信号与系统系列课程组,不同抽样频率的语音信号效果比较,抽样频率fs=44100Hz,抽样频率fs=5512Hz,抽样频率fs=5512Hz,抽样前对信号进行了抗混叠滤波。,1.5.2 将数字信号转换成模拟信号 下面由(1.5.6)式表示的低通滤波器的传输函数G(j)推导其单位冲激响应g(t)：,因为s=2fs=2/T，因此g(t)也可以用下式表示：,将(1.5.7)式表示的g(t)和(1.5.2)式表示的

45、xa(t)代入上式，得到,(1.5.8),(1.5.9),图1.5.6 内插函数g(t)波形,图1.5.7 理想恢复,图1.5.8 D/AC方框图,由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程。理想低通滤波的方法是用g(t)函数作内插函数，还可以用一阶线性函数作内插。零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如图1.5.9所示。对h(t)进行傅里叶变换，得到其传输函数：,(1.5.10),图1.5.9 零阶保持器的输出波形,其幅度特性和相位特性如图1.5.10所示。由该图看到零阶保持器是一个低通滤波器，能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用。图中虚线表示理想低通滤波器的幅度特性。零阶保持器的幅度特性与其有明显的差别，主要是在|/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在图1.5.1模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。,图1.5.10 零阶保持器的频率特,