《环的运算性质》PPT课件.ppt
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1、,二、环的运算性质,-环的运算性质,-子环,3.1环的定义与基本性质,一、环的定义,-环的定义,例2,三、子环的定义,-子环的充要条件,例5,四、子环的判别条件,例4,例3,例6,例7,-子环的判别条件,例9,例10,例8,例1,例11,一、环的定义,定义3.1.1 设 是一个非空集合.如果在上定义了,两个代数运算“+”(称为加法)和“”(称为乘法),并且,(R1)关于加法构成一个交换群;,满足:,(R2)乘法结合律成立,即对任意的 有,(R3)乘法对加法的两个分配律成立,即对任意,的 有,则称 为一个环(ring),或简称 为环.,注 在对环作进一步讨论之前,先对环的定义作,一些说明:,1.
2、由环的定义知 是一个交换群,称为环,的加法群.的加法单位元常用 表示,称为环 的零,元.环 的元素 的加法逆元称为 的负元,记作.,由群的性质可知,的零元及每个元素的负元都,是唯一的.,2.如果环 的乘法还满足交换律,则称 为交换,环(commutative ring).,单位元(unity).与群不同,一个环不一定有单位 元,但容易证明,如果环 有单位元,则单位元是惟一的.,4.设环 是有单位元 的环,.如果存在,使,则称 是 的一个可逆元(invertible element)或单位,(unit),并称 为 的逆元(inverse element).易知 如果,要注意的是,环的一个元素不一
3、定是可逆的.容易证明,可逆,则 的逆元是惟一的.可逆元 的逆元记作,对于一个有单位元的环,其所有可逆元组成的集合,关于环 的乘法构成群.这个群称为环 的单位群,(group of units),记作.,例1 设 规定 则 构成,环,称为零环.零环是惟一的一个有单位元且单位元,等于零元,并且零元也可逆的环.今后,如无特别声明,凡提到有单位元的环时,我们总假定这个环不是零环,因此环的单位元也就不等于零元.,例2 整数集、有理数集、实数集、复数,集 对于通常数的加法与乘法构成有单位元 的交换,环,分别称为整数环、有理数域、实数域、复数域(后,三个环称为域的原因见下一节例6).它们的单位群,分别是、和
4、.,例3 全体偶数的集合,对于通常数的加法与乘法构成一个没有单位元的交,换环.,例4 数域 上全体 阶方阵 的集合,关于矩阵的加法与乘法构成一个有单位元(单位矩阵),的非交换环,称为数域 上的 阶全矩阵环.这个环,的单位群是.,关于剩余类的加法和乘法构成有单位元 的交换环,称为模 剩余类环(residue class ring).这个环的单位,群是.,证(1)由1.2例2与例8知,剩余类的加法和乘,(2)对任意的,有,所以剩余类的乘法满足交换律.,(3)对任意的,有,所以剩余类的乘法满足结合律.,(4)对任意的,所以 为 的乘法单位元.,(5)对任意的,同理可得,所以两个分配律都成立.,由此可
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