一罗尔中值定理.ppt

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1、一、罗尔中值定理,引理(费马):设y=f(x)在开区间(a,b)内有定义.在x0(a,b)处取得最大值(最小值),且 f(x)在x0处可导,则 f(x0)=0.,证:因f(x)在x0处可导.,45 微分中值定理,设f(x0)为f(x)在开区间(a,b)内的最大值,即,x(a,b),有 f(x)f(x0).,故当|x|充分小时,有x0+x(a,b),从而 f(x0+x)f(x0)0,因x0(a,b),(1)当x 0时,由保号性定理,令x 0+,(2)当x 0时,由保号性定理,令x 0,综合(1),(2)有0 f(x0)0,故 f(x0)=0,类似可证f(x)在x0取最小值的情形.,注1.因f(x

2、0)表示曲线y=f(x)上点M(x0,f(x0)处切线斜率.,而f(x0)=0表示该点处切线斜率为0.,因此,引理在几何上表示:若y=f(x)在(a,b)内部某点x0处取最大(小)值,且在x0可导,则在M(x0,f(x0)处的切线平行于x轴.,如图,b,M,a,x,0,y,x0,M,x0,y=f(x),注2.若f(x)在区间a,b的端点a(或b)处取得最大(小)值.不能保证f(a)(或 f(b)=0.,即,在端点M(a,f(a)或M(b,f(b)处切线不一定平行于x 轴.,如图.,0,a,b,x,y,y=f(x),定理1.(罗尔中值定理).若y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且f

3、(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点,使得 f.,证:因f(x)在a,b上连续,从而可取得最大值M=f(x0)和最小值m=f(x1).其中,x0,x1 a,b,(1)若 m=M,因m f(x)M.即,M f(x)M,所以f(x)=M.,有f x,故(a,b)有 f.,(2)若 mM,因f(a)=f(b).故在m,M中必至少有一个不等于f(a)(=f(b),由引理,f x0,记 x0,即(a,b)使 f.,不妨设M=f x0 f(a)=f(b),故 x0 a,x0 b,从而x0(a,b).,注1.几何意义:如图,若连续曲线y=f(x)除端点外处处有不垂直于x轴的切线.且两端点的纵坐标相

4、等.则在曲线上至少存在一点M.在M点的切线平行于x轴.,也就是平行于弦AB.,注2.从方程的角度看,f 表示是方程 f x的根.因此,罗尔定理的意义是若f x满足定理条件,则方程 f x在(a,b)内至少有一个根.,注3.定理的条件f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)不能减弱.否则,结论不对.,比如,f(x)=|x|在1,1 上连续.在除x=0外的每一点x处都可导.且f(1)=f(1),但是,不存在(1,1),使得f()=0.,如图,例1.设函数 f(x)=(x1)(x2)(x3),试判断方程 f x 有几个实根,分别在何区间?,解:因为 f(1)=f(2)=f(3)

5、,且f(x)在1,2上连续,在(1,2)内可导,由罗尔定理,1(1,2),使 f(1;,同理,2,使 f(2;,又因f(x是二次方程,至多两个实根,故f(x有两个实根,分别位于(1,2)和(2,3)内.,(1)修改:f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4),结论如何?,(2)修改:不解方程,问(x2)(x3)+(x1)(x3)+(x1)(x2)=0有几个实根,分别在何区间?,二、拉格朗日中值定理,在罗尔定理中,曲线上存在一点M,使得M点处切线平行于x轴.由于f(a)=f(b).从而该切线平行于弦AB.如果f(a)f(b),那么在曲线上是否仍然存在一点M,使得M点处切线平行于弦AB呢?,定理2

6、.若y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点(a,b),使得,如图:,分析:注意到,因此,拉格朗日定理回答了上述问题.,只须证,即,若将括号内函数看作(x).则只须证()=0即可.,这就是罗尔定理的结论.因此,只须证明(x)满足罗尔定理条件即可.,证:构造函数,令,易见,(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导.,且,即(a)=(b).,由罗尔定理,(a,b),使,注1.若f(a)=f(b),这正是罗尔定理的结论.,公式可改写为 f(b)f(a)=f(ba).(a,b),也可写为 f(a)f(b)=f(ab),(a,b),因此,以后使用这一公式时,不须考虑是ab,还是ab

7、.,但 介于a,b之间.,注2.若y=f(x)在a,b上满足拉格朗日定理条件.,x(a,b),y=f(x+x)f(x)=f x,=f x+x)x,其中|x|充分小,介于x 和x之间.,0 1.使得=x+x,如图,注3.定理的条件f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导 不能减弱.,推论1.若 f(x)在(a,b)内的导数恒为0,即x(a,b).有f x=0.则 f(x)在(a,b)内是一个常数.即x(a,b),f(x)=C(常数).,证:取定x0(a,b).,只须证明x(a,b),有 f(x)=f(x0),即可.,因f(x)在(a,b)内可导,从而在(a,b)内连续.,故 f(x)在x0,x

8、(a,b)(或x,x0(a,b)上满足拉格朗日定理的条件.,f(x)f(x0)=f(x x0)=0,介于x 和x0之间.,即,x(a,b),有f(x)=f(x0),例2.,证:记 f(x)=arcsinx+arccosx.在(1,1)内可导.且,从而在(1,1)内,f(x)=C.(常数).,取 x=0,得,故 当1 x 1时,有,当x=1 或 x=1时,仍然有,从而,当1 x 1时,有,例3.设 f(x)=x2+x.在1,1上验证拉格朗日中值定理的正确性.,解:(1)f(x)=x2+x在1,1上连续,在(1,1)内可导.,(2)看是否存在(1,1),使得f(1)f(1)=f()2,即 2(2+

9、1)=20,或 4=0.=0(1,1).,故=0(1,1),使得f(1)f(1)=f()2.,例4.证明 当x 0时,证:改写原式,利用公式,证不等式时,往往要把待证式中的一部分写成的形式,以便构造函数 f(x).,所以,记 f(t)=ln(1+t),知f(t)在0,x上满足拉格朗日中值定理的条件.,且,因,故,三、柯西中值定理,定理3.若f(x),g(x)都在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 g(x)0.则至少存在一点(a,b),使得,分析:若分别对f(x),g(x)用拉格朗日中值定理,可得上式左端,但1,2不一定相同,故,不能用这一方法.,只须证,即,证:,知(x)在a,b上连续,在(

10、a,b)内可导.,且,从而(b)(a)=0.,由罗尔中值定理,(a,b),使()=0,例5.设 f(x)在(,+)内可导.f(0)=0.证明(,+),使得 2f()f()=32 f 2(1),证:这一类问题,往往可考虑用中值定理解决.,变形.,注意到,左端,从而,待证式为,故,记F(x)=f 2(x),g(x)=x3在0,1上连续,在(0,1)内可导.,由柯西中值定理,(0,1),使得,若修改例5为:f(0)=0,f(1)=0,证明,(,+),使得f()f()=0.则可用罗尔定理证.,四、泰勒中值定理,在近似计算和理论分析中,对于复杂函数f(x).常希望用一个多项式P(x)=a0+a1x+a2

11、x2+anxn 来近似表示 f(x).,比如,当|x|很小时,ex 1+x,sin x.,都是用一次函数表示函数 f(x)的例子.,缺陷:(1)精度不高,误差仅为o(x),(2)没有误差估计式.,从几何上看,缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线,精度当然不高.,能否改用二次曲线,三次曲线,代替?精度是否能提高,或者说,曲线的吻合程度是否会更好些呢?,y=ex,1,y=1+x,看图.,我们要解决的问题是:设f(x)在x=x0的某邻域内有直到n+1阶导数.,(1)试求一个关于xx0的n次多项式,Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,使Pn(x)能在x0的附

12、近近似表示 f(x).,即,f(x)和Pn(x)在x=x0处的函数值以及k阶(kn)导数值都相等.,即,f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(n)(x0)=P(n)n(x0).,(2)误差 f(x)Pn(x)的表达式.,首先解决问题(1),即设f(x)在x=x0的某邻域U(x0)内有直到n+1阶导数.,求Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n.满足f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(n)(x0)=P(n)n(x0).,将x=x0代入Pn(x),得Pn(x0)=a0=f(x0)

13、,对Pn(x)求导,再将x0代入,得Pn(x0)=a1=f(x0),对Pn(x)求二次导,将x0代入,得Pn(x0)=2!a2=f(x0),Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,同理,一般,得,Pn(x)=a0+a1(xx0)+a2(xx0)2+an(xx0)n,得,定理4.(泰勒中值定理)如果f(x)在含x0的某个区间(a,b)内有直到n+1阶的导数，则对x(a,b)，有,其中,是介于x0与x,之间的一个值.,只须证明,或,证:,由于f(x)和Pn(x)在(a,b)内有直到 n+1 阶导数,从而 Rn(x)在(a,b)内有直到 n+1 阶导数.,注意到,有,1

14、介于x0与x之间.,对函数Rn(x)和(n+1)(xx0)n在x0,1或1,x0上用柯西中值定理.,有,2介于x0与1 之间.,继续下去,经n次后,有,其中=n+1介于x0与n 之间,从而介于x0与x之间.,注1.公式,称为 f(x)按(xx0)的幂,展开到n阶的泰勒公式.,称为拉格朗日型余项.,也可写成,注2.当n0时，泰勒公式变为拉格朗日中值公式,注3.若,且,可是,误差Rn(x)是(xx0)n的高阶无穷小(当xx0时).,即 Rn(x)=0(xx0)n).称为皮亚诺余项.,注4.若在泰勒中值定理中取x0=0.则公式为,其中 介于x与0之间,01.,称为马克劳林公式.,例6.写出 f(x)=ex展开到n阶的马克劳林公式.,解：f(n)(x)=ex,f(n)(0)=1,故,特别,取x=1,有,误差,例7.求f(x)=sinx 在x0=0的展开式,解：sin0=0,故,0，n=2k时,(1)k，n=2k 1时,将sin x在x0=0展开到n=2m阶.,得,其中,同理,其中,例8.求,解：展开,相减,从而,