一章节实数集与函数.ppt

《一章节实数集与函数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一章节实数集与函数.ppt（102页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第一章 实数集与函数,1 实数2 数集 确界原理3 函数的概念4 复合函数与反函数,1.1 实数,一.实数及其性质,二.绝对值与不等式,一.实数及其性质：1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.,若规定：,1.1 实数,则有限十进小数都能表示成无限循环小数。,实数,对正整数,对负有限小数（包括负整数）y,先将-y表示成无限小数，再在无限小数前加负号如:-8=-7.999,说明:,对于负实数x,y,若有-x=-y与-x-y,则分别称x=y与x x),2.两个实数的大小关系,1)定义1,说明:,自然规定任何非负实数大于任何负实数.,定义2 设,为实数x的n位不足近似，而有理数,称为x的n位过剩近似

2、，n=0,1,2,.,为非负实数.,称有理数,2)通过有限小数比较大小的等价条件,对于负实数,其n位不足近似和n位过剩近似分别规定为,和,注意：对任何实数x,有,命题1 设,实数的性质,1.实数集R对加,减,乘,除(除数不为0)四则运算是封闭的.即任意两个实数和,差,积,商(除数不为0)仍然是实数.,2.实数集是有序的.即任意两个实数a,b必满足下述三个关系之一:a b.,为两个实数，则,实数的性质,3.实数集的大小关系具有传递性.即若a b,b c,则有ac.,5.实数集R具有稠密性.即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数,也有无理数.,6.实数集R与数轴上的点具有一一对应关

3、系.即任一实数都对应数轴上唯一的一点,反之,数轴上的每一点也都唯一的代表一个实数.,例1,证明,例2,证明,二.绝对值与不等式,从数轴上看的绝对值就是到原点的距离：,绝对值定义：,绝对值的一些主要性质,性质4（三角不等式）的证明：,几个重要不等式:,均值不等式:对 记(算术平均值)(几何平均值)(调和平均值),有平均值不等式:等号当且仅当 时成立.Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式当 且,且 时,有严格不等式 证 由 且,利用二项展开式得到的不等式:对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.,作业,p4,3,4,6,7,1.2 数集确界原理,一、区间与邻域 二、上

4、确界、下确界,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,二 有界集确界原理,1 有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下

5、界数集S无下界数集S有界数集S无界,闭区间、开区间 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集.,等都是无界数集,集合 也是无界数集.,例1 证明集合,是无界数集.,存在,由无界集定义，E 为无界集。,证明：对任意,2 确界:,例2 则 则例3 设S和A是非空数集，且有 则有.,例4 设A和B是非空数集.若对 和 都有 则有 证 y 是A的上界,是B的下界,例4,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界,A中任一数 都是B的下界,是数集A的最小上界,故有,而此式又表明数 是数集B的一个下界,

6、故由下确界的定义证得,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,又,的下界就是,的下界,是,的下界,是,的下界,同理有,.,于是有,综上,有,例5,为非空数集,试证明:,证,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,.,和,命题3：设数集,有上（下）确界，则这上,，,且,，则不妨设,有,对,，,使,，矛盾。,（下）确界必是唯一的。,证：设,3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例1为例做解释.,4.确界与最值的关系:设 E为数集.E 的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确

7、界原理),但未必有最值.若 存在,必有 对下确界有类似的结论.,5 确界原理 定理1(确界原理).设 E 为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。,非空，有上界,：,，,(1).若,中有最大数,，则,即为上确界；,中无最大数，用下述方法产生实数的一个分划；,，其余的实数归入下类,，则,是实数的一个分划。,证明 设,.,(2).若,的一切上界归入上类,。其次,，由于,不是,的最大数，所以它不是,的上界，即,。这说明,中任一元素都属于下类,；,A,B不空.首先,取,A、B不漏性由A、B定义即可看出；,A、B不乱.设,，,因a不是E的上界，,，使得,，,而E内每一元素属于

8、A，所以,.,由,的证明可见,无最大数.,所以,是实数的一个分划.由戴德金定理，,知上类B必有最小数，记作c.,由 知,，即得,.,这表明c,是,的一个上界.,若b是E的一个上界，则,，由此得,，所以c是上界中最小的，,由上确界定义，,为集合的上确界，记作,下证:非空的有下界的集合必有下确界。,事实上，设集合,有下界b，,则非空集合,有上界-b，,利用集合,上确界的存在性，,即可得出集合E的下确界存在。,定理1解决了非空有上(下)界集合的上(下)确界存在性问题，我们可以利用上确界的存在性，得出我们所研究的某一类量（如弧长）的存在性。若全序集中任一非空有上界的集合必有上确界，我们称该全序集是完备

9、的。定理1刻划了实数集是完备的。,设A,B为非空有限数集,.证明:,例6,证:,故得,所以,综上,即证得,例7 证明实数空间满足阿基米德原理.,证明,假设结论不成立，即,4.小结,P9:1,2,3,4,5.,(1)区间和邻域的概念;,(2)确界原理.,1.3 函数的一般概念,映射函数的概念几个特殊的函数举例复合函数反函数初等函数,一 映射 1 映射,定义 设X,Y是两个给定的集合，若按照某种规则f,使得集合X中的每一个元素x，都可以找到集合Y中唯一确定的元素y与之对应，则这个对应规则f是集合X到集合Y的一个映射，记为 f:X Y X y=f(x).其中y称为在映射f之下x的象，x称为在映射f之

10、下y的一个原象集合X称为映射的定义域，记为 而在映射之下，X中元素的象的全体称为映射的值域，记为,概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：,(1)集合X，即定义域；(2)集合Y，即限制值域的范围：（3）对应规则，使每一个 有唯一确定的y=f(x)与之对应,需要指出两点：(1)映射要求元素的象必须是唯一的(2)映射并不要求逆象也具有唯一性,2 一一对应,定义 设f是集合X到集合Y的一个映射，若f的逆象也具有唯一性，即对X中的任意两个不同元素，它们的象 与 也满足，则称f为单射；如果映射满足，则称f为满射；如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称 一一对应）,逆映射,设,是单射，则

11、对任意,它的逆象,（即满足方程,),是唯一确定的.对应关系,构成了,的一个映射,把它称为的逆,映射，记为,其定义域为,现设有如下两个映射,和,复合映射,二 函数概念 函数是整个高等数学中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.,例 圆内接正多边形的周长,定义 给定 R，如果存在某种对应法则，使得对于X中任一元素，都有唯一确定的数 R与之对应，则称 是从 到R的一个函数，记作 R。函数在 点 的值记作，称为函数 的定义域，称为自变量，称为因变量。从概念上讲，（即对应法则）是函数，是函数值，两者是不同的。但它们是相互决定的，今后在大

12、部分场合，不加区分。但有些场合，如微分和微分形式概念中，必需加以区分。,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,因变量,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的,函数的表示法,单值函数与多值函数 在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,

13、但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=0,+).,(2),(1)常值函数 y=c.其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=c.,三几个特殊的函数举例,(3)符号函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=-1,0,1.,(4)取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数,阶梯曲线,其定义域为D=(-,+),其值域为=Z.,（5）“非负小数部分”函数,它的定义域是,(6)狄利克雷函数,其定义域为D=(-,+),其值域为

14、=0,1.,(7)取最值函数,y,x,o,x,o,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,分段函数,例1,解,故,函数的四则运算 在函数的共同定义域内可以实行函数的加减法运算和乘法运算,，,也可以实行除法运算,这时要特别小心，要除去,的点。,四、复合函数,在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较 简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间 t 的函数关系,就是由三角函数,和线性函数,“叠置”而成的，,定义 设函数 定义域包含函数 的值域，则在 的定义域上可以用以下法则确定一个函数，称之为f与g的复合函数，记作。我们总有。这里“”运算是非交换的

15、，一般的没有。但它是结合的：，故可定义。,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,复合条件,复合函数的定义域,复合条件在实际应用时常取形式,内层函数的值域落在外层函数的定义域之内,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,例1,求,并求定义域。,例2,（1）,（2）,A.,B.,C.,D.,五 反函数,定义 设,R是一函数，如果,(或由,),，则称f在上X是 1-1的。,若,若,，则称f为满的。,是满的 1-1 的，则称f为1-1对应。,R是1-1 的意味着,对固定y至多,有一个解x，,是1-1 的意味着,对,，有且仅有一个解x。,定义 设,是1-1对应。,由,

16、唯一确定一个,的反函数，记为,反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域,显然有,(恒等变换）,(恒等变换),由这种对应法则所确定的函数称为,从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为,这样它的图形与 的图形是关于对角线Y=x对称的。,严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子,它的反函数即为它自己。,实际求反函数问题可分为二步进行：(1).确定,的定义域,和值域,，考虑 1-1对应条件。固定,，解方程,得出,。(2).按习惯，自变量,、因变量,互换，得,.,六 初等函数,、基本初等函

17、数,（1）.幂函数,幂函数,（2）.指数函数,（3）.对数函数,(4)三角函数,周期为2p的周期函数,有界函数|sin x|1,特殊值：,三角函数,周期为2p的周期函数,有界函数|cos x|1,特殊值：,三角函数,周期为p的周期函数,无界函数：,渐进线：,特殊值：,三角函数,周期为p的周期函数,无界函数：,渐进线：,特殊值：,正割函数,余割函数,(5)反三角函数的图象,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,例1,解,综上所述,四、小结,函数

18、的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),小结,P9:1,2,4,5,7,8.,(2)反函数;,(1)复合函数;,(3)函数的运算;,(4)初等函数.,思考题,思考题解答,不能,1.4具有某些特性的函数,二 单调函数,三.奇函数和偶函数,四.周期函数,一.有界函数,1有界函数:,f(x)=sin x在(-,+)上是有界的:|sin x|1.,所以函数无上界.,有界函数举例,例3,2单调函数:,3奇函数和偶函数:,偶函数,y,x,o,x,-x,奇函数,y,x,o,x,-x,例4 设函数f(x)的定义域为(l,l),证明必存在(l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)g(x)h(x).,提示:,如果f(x)g(x)h(x),则f(x)g(x)h(x),于是,证,则 f(x)g(x)h(x),且,4周期函数:,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,