【大学课件】有限长单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法.ppt
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1、1,第六章 有限长单位冲激响应(FIR)数字滤波器的设计方法(2),http:/,2,6.3 窗函数设计法,顾名思义,窗函数设计法就是利用加窗技术来设计线性相位FIR滤波器的。加窗处理是在时域进行的,是一种时域设计方法。其基本思想是,在给定理想线性相位FIR滤波器的频率响应函数Hd(ej)的前提下,用有限长的一个h(n)去逼近理想的hd(n)。这种逼近可以看成是对hd(n)进行加窗截断处理而得到的。,http:/,3,设计方法,已知理想滤波器的频率响应 Hd(ej)(一般为具有矩阵形状的频率响应特性)。要求设计一个FIR滤波器响应,逼近Hd(ej),是一个无限长序列,若用有限长的h(n)去逼近
2、它就要对hd(n)作加窗截断处理。设所用的窗函数为w(n)则有,由于,http:/,4,设计方法,由上式可以看到,在衡量h(n)与hd(n)的相似程度时,w(n)函数起到了关键作用。我们最直接所能够想到的窗函数为矩形窗函数。,下面就以矩形窗函数为加窗函数,以低通滤波器为例来分析窗函数的设计方法,设低通滤波器的通带截止频率为c,低通滤波器的群时延为,此时的Hd(ej)如下,在通带内|Hd(ej)|=1,相位为线性相位-,Hd(ej)对应的hd(n)为,http:/,5,设计方法,hd(n)是一个中心点在的偶对称无限长的非因果序列,令w(n)=RN(n)则h(n)=hd(n)RN(n),思考:hd
3、(n)为线性相位,而要求设计的h(n)也应满足线性相位的要求。回顾上节中关于线性相位FIR Filter的单位样值响应h(n)的约束条件,可知h(n)必须是偶对称的,对称中心应为长度的一半,即(N-1)/2,因而必须要求=(N-1)/2,这样的h(n)才是具有线性相位频率特性的,http:/,6,设计方法,故有,将(6-27)式的hd(n)代入上式可得,http:/,7,设计方法,这里,由于=(N-1)/2,故h(n)是满足线性相位约束条件的,得到了h(n),就可以通过傅氏分析,找出所求FIR滤波器的频率特性,下面就来求解 h(n)对应的频率响应函数 H(ej),并比较 H(ej)和 Hd(e
4、j)的异同,由(6-25)式可得,由式(6-30)式可知,H(ej)逼近 Hd(ej)的程度关键取决于 W(ej)即取决于窗函数的频谱特性,http:/,8,设计方法,若w(n)=RN(n),有,其中,将Hd(ej)也写成(6-31)的形式,可得,其中,http:/,9,设计方法,将(6-31)、(6-32)式代入(6-30)式可得,(6-33)式说明:实际FIR滤波器的幅度函数 H()是理想FIR滤波器幅度函数Hd()与窗函数WR()的卷积,下面用图示的方法,说明矩形窗函数设计低通滤波器的H(),http:/,10,设计方法,1、图8(a)表示理想低通滤波器的幅度函数2、图8(b)表示矩形窗
5、的幅度函数3、图8(c)表示Hd()和WR()在=c处的卷积情况,可以看到WR(-)的左半部分与Hd()重合而右半部分不重合(对应图8(f)的c点)4、图8(d)表示Hd()*WR()在=c-2/N处的情况,可以看到WR()的主瓣和左半部分旁瓣与Hd()重合而右半部分旁瓣不与之重合(对应图8(f)的1点)5、图8(e)表示Hd()*WR()在=c+2/N处的情况,可以看到WR()的左半部分旁瓣与Hd()重合而主瓣和右半部分旁瓣不与之重合(对应图8(f)的2点)6、图8(f)表示Hd()*WR()对H(0)归一化的结果。其中H(0)为图8(a)和图8(b)相重合部分相加的结果,http:/,11
6、,设计方法,理想频率特性的通带截止频率处由不连续点变成了连续点在c两边1=c-2/N和2=c+2/N出现了峰值点和谷底点在c附近形成了一个过渡带,其中峰值点1到谷值点2的宽度为=4/N在通带和阻带都产生了波动,形成了波纹。波动的幅度取决于WR()的旁瓣大小,波动快慢取决于旁瓣数量。,由图可见,通过加窗处理,将理想的低通特性图8(a)变成了图8(f)的形式,具体为,http:/,12,设计方法,下面的问题是:可否通过改变参数 N 来改变上述所提到的波动呢?,答案是:随着 N 值得增大,可以改变窗谱函数的主瓣和旁瓣宽度,即可改变波动的快慢,但 N 增加并不改变主瓣和旁瓣的相对比例,这是因为在主瓣附
7、近,较小时,而主瓣和旁瓣的相对比例是由sinx/x来决定的。故随着N的增加这一比例并不变化,即N的增加并不会改变肩峰的相对值,矩形窗其肩峰的相对值总是8.95%这种现象通常被称为Gibbs效应或Gibbs振荡另:随N的增加,过渡带的宽度也会逐渐减小,这是因为=4/N,http:/,13,设计方法,以上介绍的是窗函数为矩形窗时的设计方法。矩形窗截断造成的波纹肩峰为8.95%。此时对应的阻带最小,衰减为20log10(8.95%)=-20db,这个阻带衰减量在很多工程领域都是不够的。为了改变这一情况,以及其它一些问题,有必要寻找其它的加窗方式,http:/,14,各种窗函数,我们看到上述矩形加窗设
8、计法设计的低通滤波器的阻带衰减不够大的问题的核心是采用了矩形窗函数,要使阻带衰减变大,则需要考虑其它形式的加窗,另:我们也希望得到的低通滤波器频谱有如下特性,窗谱的主瓣尽量窄,这可有效地减小过渡带的宽度,获得更陡峭的过渡带尽量减小窗谱第一旁瓣(最大旁瓣)的相对幅度,也就是将能量尽量集中于主瓣内,这样不仅能使肩峰和波纹减小,也可增大阻带的衰减,http:/,15,各种窗函数,上述两条件是相互制约的,不能同时得到满足,增加主瓣宽度会加大阻带衰减,减小波纹,但会使过渡带变宽减小主瓣宽度会减小阻带衰减,增大波纹,但会使过渡带变窄,下面介绍几种工程常用的加窗函数,http:/,16,各种窗函数三角形(B
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