《含权债券的定价》PPT课件.ppt

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1、第九章 含权债券的定价,Blacks Model利率二叉树期限结构的艺术利率模型含权债券的定价利率顶与利率底互换选择权可赎回和可回售债券可转换债券,期权定价模型 Black-Scholes model,BlackScholes(1973)其中，c为买入期权的价格，S为标的股票的当前市价，K为买入期权的执行价，T为距离到期日的时间，r为无风险利率，为股价变动的标准差。,B-S公式的比较静态分析,例：Black-Scholes 模型的问题,给欧式 call option 定价：3年零息债券，行权价为$110,面值为$100。结论很明显，应该是0。但在下面假设情况下，r=10%，4%的年价格波动率，

2、用Black-Scholes 模型计算出来的价格为7.78!,应用传统 Black-Scholes Model给债券定价的问题,如果要使用上述公式为债券定价，我们必须要假设债券价格未来3年的演变过程，可这一过程异常的复杂，原因如下：债券价格在到期日必须收敛至面值，而股票的随机演变过程不需要这一限制。随着到期日的临近，债券价格的波动率会下降，B-S公式假定波动率为常数显然不合适。B-S公式假定短期利率为常数，而在固定收益证券方面，我们又假定了债券价格随机变动，明显矛盾。此外，上述的利率可能为负值也是一个问题。,Blacks Model,尽管存在着以上问题，Black-Scholes 的变形，即B

3、lacks Model,也还经常被使用，其条件是:a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数正态分布。例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期时，就可以利用Blacks Model,利用Blacks Model给欧式期权定价,利用Blacks Model给欧式期权定价,T=期权到期日F=到期日为T，价值为V的远期价格K=执行价格r=T期的即期收益率(连续利率)=F的波动率N=累积正态分布Pc=value of callPp=value of put,例:应用 Blacks Model,给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 年，面值$1

4、,000,半年利息$50(在3个月后和9个月后得到)?已知今天债券价格$960(包括应计利息)执行价格$1,0003个月的无风险利率为 9%，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10%(以年为基础，连续利率)债券价格的波动率为年9%,例:应用 Blacks Model,求解第一步:找到远期价格计算期权价格的参数为:F=939.68,K=1000,r=0.1,=0.09,T=10/12=.8333.,例:应用 Blacks Model,Blacks Model的缺陷,尽管Blacks Model通过假定某个利率，或债券价格，或其他变量在将来某个时刻的概率分布为对数正态，从而在某

5、种程度上改进了Black-Scholes Model的缺陷，这也使得这一模型能够被应用于对上限、欧式债券期权和欧式互换这样的产品定价，但是，这一模型仍然有局限性。这些模型不能够对利率如何随时间变化来提供描述，因此，对美式互换期权、可赎回债券或结构性债券产品定价时就不再适用了。因此，我们需要将注意力由债券的价格转移至利率上来。,含权债券定价的定价策略,可回购债券的价值=不可回购债券价值-Call Option 的价值可回卖债券的价值=不可回卖债券价值+Put Option的价值回购债券定价策略:利用利率模型给不可回购债券定价利用利率模型给嵌入的call option定价.,利率二叉树（binom

6、ial interest rate tree）,前面已经提及，当我们为债券的含权证券定价时，我们需要将注意力转移到利率的演化上来。假设6个月期和1年期的即期利率分别为3.99%和4.16%。另外，6个月后6个月的即期利率可能演变成4%与4.5%，图示如下：,利率二叉树与无套利定价,根据即期利率目前所呈现的期限结构与6个月期利率的树状图，我们可以计算6个月期与1年期零息债券的价格。面值1000美元的6个月零息债券，其价格树状图为：,980.4402=1000/(1+0.0399/2),利率二叉树与无套利定价,面值1000美元的1年期零息债券，其价格树状图为：注：在这里，我们按照半年复利进行贴现的

7、。,959.6628=1000/(1+0.0416/2)2,977.9951=1000/(1+0.045/2)2,959.6628=1000/(1+0.04/2)2,利率二叉树与无套利定价,1年期零息债券在“日期1”的期望价格（expected price）是：0.5*977.9951+0.5*980.3922=979.1937以当时的6个月期即期利率将上述价格折算为“日期0”的现值，则期望折现值为：979.1937/(1+0.0399/2)=960.04这一数值与前面的959.6628并不相同，为什么？因为上述期望值是有风险的。,利率二叉树与无套利定价,考虑一个在6个月之后可以以978.50

8、美元的价格买进面值为1000美元的6个月零息债券的期权的价值。选择权价值的树状图如下：,利率二叉树与无套利定价,无套利原理为我们提供了一套处理上述问题的定价方法，这一点在上一章中已有所体现。我们在“日期0”使用6个月期和1年期零息债券构建一个当利率上升到4.5%时价值为0，当利率上升到4%时价值为1.8922的组合。假定F0.5和F1分别表示6个月和1年期债券的面值，有,利率二叉树与无套利定价,解前述方程式得，F0.5=-772.0005，F1=789.3705即需要买进面值为789.3705美元的1年期零息债券，卖空772.0005美元的6个月期零息债券。依据无套利原理，选择权的价格应当为，

9、0.9804402*-772.0005+0.9596628*789.3705=0.63而当我们直接将选择权的树状图中的值加权并贴现时，其价值等于(0.5*0+0.5*1.8922)/(1+0.0399/2)=0.9276，要大于选择权的真实价值。,利率二叉树与无套利定价,与考察股票期权的价值时不考虑股价变动的概率相似，我们在计算上述选择权价值时，并未考虑利率发生变动的机率。这里给出的解释与股票期权的解释相同，即无论利率上升的机率是0.1还是0.9，我们组合的成分均不变。这可能会引发人们的疑问，即各种状况出现的“机率”扮演的是什么角色？利率上升和下降的机率实际上已经反映在债券的价格之中了，因而已

10、经通过这一渠道影响了选择权的价值。,利率期权的风险中性定价,在前面，我们利用无套利原理，通过构建投资组合的方法得到了选择权的价值，但这一方法并不简便，我们可以借用上一章提出了风险中性定价原理来为利率期权定价，具体如下：在前面，我们已经说明了，未来的期望值的现值并不等于该债券的价格，但某一虚拟的机率可以做到这一点。,利率期权的风险中性定价,假定P为“上行状况”的机率，(1-P)为“下行状况”的机率，依据下述方程式有，P等于0.661，并不是我们假定的实际机率0.5。让我们再次考虑选择权价格的树状图，,利率期权的风险中性定价,当我们使用上述的“虚拟机率”（风险中性概率）对选择权的价值求期望并贴现时

11、有，可以看出，这一结果与前面使用复制的投资组合的方法得出的结论完全一致。这就是上一章已经提及的风险中性定价。作为现代金融学中最为微妙的概念，我们将风险中性定价在利率期权中的应用步骤总结如下：求取虚拟机率而使根本证券（underlying securities）的价格等于其未来期望值的现值。然后，根据虚拟机率来计算利率期权的期望价值的现值。,利率期权的风险中性定价,具体逻辑如下：首先：在一个既定的零息债券价格树状图之下，一种证券根据套利方式所定的价格并不取决于投资者的风险偏好。既然人人都同意复制的投资组合的价值，他们也应当会同意期权合约的价值。其次，设想一个经济体系，它的当时债券价格与6个月期的

12、利率演变和我们的经济体系相同。在这一经济体中，每个人都具有中性的风险偏好，且通过组合的现金流得到风险中性概率。再次，在中性风险偏好的经济体内，选择权的定价是将现金流的期望值折现为现值。最后，由于中性风险偏好的经济体的价格和利率演变与我们的完全相同，因此，我们的经济体和风险中性经济体内选择权的价值相等。,股票定价不能使用套利定价的原因,没有任何的组合能够复制未来个股价格的波动。,风险中性定价的扩展,前面的分析都是在两期框架下进行的，从这里开始，我们开始讨论三期框架下的情形。假定当时1.5年期的即期利率为4.33%。我们仍然假定6个月期利率只有两种演变可能，即上行和下行。但是，“上行-下行”与“下

13、行-上行”并不一定相等，即如下图。,风险中性定价的扩展,这种树状图一般被称为“非结合性树状图”（non-recombining tree）。从经济的角度来看，这一设定非常合理，但是在实务中，这一设定非常难于处理，甚至无法处理。当我们处理一个二十年期的债券时，最后一期的节点数将超过5000亿个。因此，我们一般设定结合性的树状图，我们设定一个1.5年期的树状图如下。,风险中性定价的扩展,当树状图的阶段增加时，我们需要设计某种方法来表示节点的位置。一种常用的方法是，以“日期”表示树状图的“列”，起始点为0，从左忘右计数。以“状况”来表示树状图的“行”，起始点为0，由下往上计算。我们很容易构建1.5年

14、期零息债券的价格树状图，如下。,937.7641=1000/(1+0.0433/2)3,风险中性定价的扩展,在上图中，Pu和Pd是表示1.5年期债券在经过了0.5年之后的价格，它当时是1年期的零息债券，这两个价格是未知的。我们很自然就想到使用风险中性概率求取债券的期望值，并将其折算为市场价格。具体的树状图如下。,风险中性定价的扩展,依据风险中性定价的偏好，我们有解之得，q=0.632。,风险中性定价的扩展,此时，1.5年期零息债券价格的树状图变为：,风险中性定价的扩展,此时，我们可以使用“日期0”和“日期1”两组风险中性概率，和利率的树状图为含权债券定价了。例如，某1年期证券的到期价值有三种可

15、能的结果：500、100、-10，该证券未来一年的树状图为，,风险中性定价的扩展,“日期1-状况1”的价格为“日期1-状况0”的价格为“日期0”的价格为,风险中性定价的扩展,既然我们可以将风险中性定价模型由2期扩展到3期，那么我们应当可以将其扩展至任何日期。计算(n+1)个半年期债券价格的步骤如下：(1)取得当时的利率期限结构，即r(0.5),r(1),r(1.5),r(2)r(n/2+0.5)；(2)设定6个月期利率在未来n期的演变图，换言之，就是“日期0”到“日期n-1”之间的利率树状图；(3)分别计算1年期、1.5年期（n/2+0.5）年期零息债券价格的树状图，以及所有相关的风险中性概率

16、；(4)计算(n+1)个半年期的债券价格：由债券的到期价值依次往前推算，其依据是风险中性概率。最终得到第0期的价格。,一年期即期利率的树状图,根据前面所讨论的1.5年期零息债券价格树状图，我们可以计算6个月之后所可能发生的两个1年期即期利率。在6个月之后，1.5年期的债券将成为1年期的零息债券，它有两个可能的价格：955.6376与960.4493。这两个价格蕴含的1年期利率为4.59%与4.08%，由于我们假定当时的1年期利率为4.16%，因此，1年期利率的树状图如下：,单一因子模型的缺陷,实质上，上述6个月之后1年期即期利率之所以能够推算出来，是因为当我们确定了6个月期利率的树状图之后，已

17、经隐含的假定所有固定收益证券的价格都可以由6个月期利率的演变所决定。也就是说，我们假定的每种可能状况都完全取决于该状况的6个月期利率。在多重因子模型(multi-factor)中，我们可以假定所有证券的价格是取决于数种而不是一种随机变量。例如，在Longstaff and Schwartz(1992)的模型中，可能的状况由短期利率水平及其波动率共同决定。,单一因子模型的缺陷,单一因子模型的重大缺陷在于，由于单一因子的随机演变将决定所有证券的价格，所以各种证券的报酬率之间具有完美的相关性。就技术上而言，不同到期日的债券报酬率之间虽然存在正向关联，但并不完美。多因子模型就能够做到这一点。然而，尽管

18、多因子模型比较符合实际情况，但模型本身非常难以处理。因此，我们仅仅介绍比较单纯的单一因子模型。,时间阶段的缩短,将间隔时间缩短至6个月以下，在建构利率树状图时，仅仅涉及技术性而不是观念性的调整。首先，利率期限结构的资料必须对应于模型所选定的时间阶段。其次，利率树状图中所演变的利率也必须对应阶段的时间。,时间阶段的选择,这必然导致另一个问题，即时间阶段如何选择？第一，时间阶段越短，耗时越长；第二，计算证券涉及的步骤越多，数据上的处理越需要留意，例如：四舍五入。最理想的时间阶段取决于所处理的问题。比较精密的模型，允许树状图有数种时间阶段，以便在精密性与方便性之间取得最佳的均衡。,期限结构模型的艺术

19、利率模型,到目前为止，我们已经知道，根据当时的利率期限结构，并假设短期利率的演变过程，我们就可以为利率期权定价了。这一方法的内部结构相互协调而不矛盾，但价格的精确性则取决于利率模型的假设。而如何假设短期利率的演变过程则更像是一门艺术。从这里开始，我们将介绍业内人士如何拟定假设，借以创造可靠的期限结构。,期限结构模型的艺术利率模型,利率模型分为两类：无套利模型(arbitrage-free model)和均衡模型(equilibrium model)。前者是指利用当前的债券市场价格推导出短期利率的演变过程，因此，无套利机会模型推导出的结果必须符合当时的利率期限结构。后者则不同，它并不认为债券的市

20、场价格必然合理。从基本方面来说，均衡模型是根据当时的期限结构来推导出期望报酬所具有的风险溢价。均衡模型一般先对经济变量做假设，并推导出一个关于短期利率的演变过程，然后再得出对债券价格与期权价格的影响。简而言之，在均衡模型中，利率的演变过程是模型输出的结果；在无套利模型中，今天的利率期限结构是作为输入值来使用的。,利率模型无套利模型,从上一章可以看出，股票价格变动参数的设定决定了股票期权二叉树中的风险中性概率，同理，短期利率的演变过程参数的设定也将决定利率二叉树中的风险中性概率。通常情况下，我们会假定利率变化服从某一分布过程，然后，通过无套利的方法来确定这一分布过程中的参数。注意到，我们可以通过

21、将风险中性概率设为0.5，从而方便我们后来的计算，但此时随机游走过程中的参数也会发生相应的变化。这些参数必须满足均值和方差的要求。,一个简单的例子,一个简单的例子,表示整个期间内1年期利率波动的标准差；r1,H表示在第1年底较高的1年期即期利率；r1,L表示在第1年底较低的1年期即期利率；由于我们假设了利率的变化服从对数正态随机游走过程，这两者的关系就是：r1,H=r1,Le2同理有r2,HH=r2,LLe4;r2,HL=r2,LLe2r3,HHH=r3,LLLe6;r3,HHL=r3,LLLe4;r3,HLL=r3,LLLe2因此，我们在每一阶段只需要计算出最低利率即可。,一个简单的例子,假

22、定市场上存在四种债券，四种债券都是按照面值销售，因此债券的到期收益率等于其票面利率。同时假设这两种债券是按年付息，=10%。有关信息如下表,一个简单的例子,一个简单的例子,VH=(100+4.2)/(1+r1e2)VL=(100+4.2)/(1+r1)100=1/2*(VH+4.2)/(1+r0)+(VL+4.2)/(1+r0)解之得，r1=4.4448%重复上面的步骤，我们可以得到r2,r3,r4rt。,“Ho-Lee”模型,Ho and Lee(1986)第一次提出了关于期限结构的无套利模型，在该模型中，短期利率的二项式变动如下：也就是说，新的短期利率是前一期的短期利率，加上某常数乘以时间

23、阶段，再加上或减去某一个常数乘以时间阶段的平方根。前者称之为趋势变量(drift)，后者称之为随机偏离(random deviation)。,“Ho-Lee”模型,在这里波动率和利率都是以基点的形式表示的，所以波动率()也称为基点波动率。,“Ho-Lee”模型,剩下的工作就如前面的那个简单例子一样了，即确定参数m和的数值。波动率阐述是用来取得期权的“理想”价格，它的数值可以根据利率波动率的某种看法、历史资料或某种隐含的方法来设定。下面我将简单的介绍一下如何使用历史资料来确定波动率的方法。,波动率,波动率是利率模型的关键因素，我们可以用标准差来表示波动率。用历史数据估计波动率a)选择到期收益率的

24、历史数据（每天）b)计算到期收益率变化的标准差c)乘以 365(或 250)，得到年的波动率,“Ho-Lee”模型,让我们重新用回前面的半年期债券的例子。假定等于0.45%，那么6个月期（一个阶段）的波动率为，6个月期和1年期的即期利率分别为3.99%、4.16%，因此，1年期零息债券的树状图应当为，,“Ho-Lee”模型,此时，使用利率二叉树模型估计出的价格必须等于1年期零息债券的价格，因此有解之得，m=0.342089%。将这一数值代入到利率树状图中，可得,“Ho-Lee”模型,同样的，我们将利率树状图延伸一期，Ho-Lee模型假定了波动率保持不变，因此有,“Ho-Lee”模型,依据先前推

25、演的数据，我们可以得到下图假定1.5年期零息债券的即期利率为4.33%，1.5年期零息债券的价格为0.937764，那么1.5年期零息债券的价格树状图应当为如下。,“Ho-Lee”模型,“Ho-Lee”模型,对于一个1.5年期的零息债券来说，模型的定价必须等于市场价格，因此有解之得，m=1.36176%，带入6个月期的利率树状图可得,“Ho-Lee”模型,依次类推，我们得到任何利率期间的树状图。但该模型也存在一些缺点。第一个缺点就是该模型的正态分布假设，这将导致利率可能为负值：当负值的随机冲击相当大时，利率可能为负值。某些业内人士认为这是一个严重的错误，但另一些人则认为，只要模型能够理想的定价

26、，不需过分在意这一点。第二个缺点是短期利率的基点波动率不受利率水平的影响。而业内人士认为，当利率水平比较高时，短期利率的基点波动率应该比较大。但这也不是一个公认的现象。,所罗门兄弟模型,所罗门兄弟模型弥补了Ho-Lee模型的一些缺陷，如使用对数正态分布取代了正态分布，这保证了利率值不可能为负；同时，短期利率的基点波动率将与利率水平成比例，也就是说基点波动率等于比例波动率乘以利率。短期利率的演变过程如下：,所罗门兄弟模型,如果对树状图中的每个节点取自然对数，则有换言之，短期利率的自然对数呈正态分布。在统计学上，某种随机变量的自然对数呈现正态分布，该随机变量本身呈现对数正态分布。,所罗门兄弟模型,

27、我们使用与前面完全相同的计算方法可以得到模型的参数，进而得到各时间段的短期利率的演变过程。但是这一模型同样具有缺陷。与Ho-Lee模型一样，原始的所罗门兄弟模型对短期利率波动率也提出的假设，只不过这一假设是隐含的而已。如果6个月期利率的比例波动率为12%，则使用所罗门模型所隐含的波动率期限结构计算得到的30年期利率的波动率将降至10.5%。就实际观察而言，波动率的期限结构，期斜率确实是下降的，但下降的速度快于所罗门兄弟模型所蕴含的速度。,Black-Derman-Toy模型,和所罗门兄弟模型相比，这一模型的最主要的优点是可以反映利率期限结构的实际波动情况。这是因为，它假设短期利率波动率随时间而

28、变动，且利率的趋势变量m将受到利率水准的影响。业内人士认为，利率水平偏高时，它的趋势变量相对较小，甚至为负值，而当利率水平偏低时，趋势变量相对较大。也就是说具有所谓的均值复归现象。,Black-Derman-Toy模型,BDT模型具有如下的结构：为了保证树状图时结合的，我们一般假定这相当于假定，,其他的利率模型,同样的是，BDT模型也并非是完美无缺的，它也存在很多缺陷，后续的模型也对其进行了改进。无套利的利率模型还有，Black and Karasinski(1990)模型Hull and White(1990)模型等利率模型中的均衡模型有Vasicek(1977)模型Rendleman an

29、d Bartter(1980)模型Cox,Ingersoll and Ross(1985)模型等,无套利模型和均衡模型的比较,取得模型所需要的资料无套利模型需要即期利率期限结构的资料，相对容易取得；均衡模型需要以某种方法来衡量投资者承担利率风险所需要的报酬，难以取得。对资料瑕疵的敏感程度无套利机构模型将利率期限结构视为合理，但事实上，市场报价并不必然合理，这可能是由于计算上的错误、流动性限制或其他特殊因素所造成。均衡模型则能剔除这类有问题的价格。,无套利模型和均衡模型的比较,运用模型来交易现金流量固定的债券无套利模型认为所有债券的价格都是正确的，因此认为任何策略都无利可图；而均衡模型并不认为现

30、有债券价格必然合理，因此可以被应用。运用模型来交易衍生性合约指买进或卖出衍生性合约，同时运用根本正货或其他衍生性合约来规避头寸的风险。这种策略的获利只需要知道相对定价错误即可。而无套利模型可以很好的满足这一需求，但均衡模型则需要同时计算两种策略的值，因此相对不合理。,无套利模型和均衡模型的比较,模型的持续性每当运用的时候，无套利机会模型需要假设趋势变量、波动率与利率回归均值的行为。但是不同的运用日期，模型的参数都需要相应的变化。而均衡模型是根据历史资料或某种坚定的信念来设定参数，所以模型的参数不会发生变化。均有内部的一致性。,无套利模型和均衡模型的比较,给顶、底、互换选择权和可转换债券定价,我

31、们现在已经掌握了利率二叉树的风险中性定价原理，也理解了利率二叉树的构建过程。从这里开始，我们可以给各种利率期权定价了，下面的内容包括：顶与底互换选择权可转换债券,顶与底,利率的顶是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最高利率水平。利率的底是一个选择权，它限制住了浮动利率负债所支付的最低利率水平。顶和底可以：脱离贷款本身，可以通过单独交易来获得。与证券相连，其价格体现在了证券的利率当中。,顶与底,一个顶可以被理解为关于浮动利率R的一串call options。一个底可以被理解为关于浮动利率R的一串put options。顶和底被分离出来的部分被称为“caplets”,“floorlets”

32、顶的盈亏=本金 期限 maxRt-Rk,0Rt=t 期的利率Rk=cap rate注意是你购买了顶，给你带来的利益，而不是实际支付的利率！,例:给Cap定价,Cap rate 5.2%,名义数量:$10,000,000,支付频率:年利率变化,r0=3.5%,ru=5.4289%,rd=4.4448%,ruu=7.0053%,rud=5.7354%,rdd=4.6958%,ruuu=9.1987%,ruud=7.5312%,rudd=6.1660%,rddd=5.0483%,例:Value of the year 1 caplet,22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%)1

33、1,058=0.5(22,890+0)/1.035,11,058r0=3.5%,22,890ru=5.4289%,0rd=4.4448%,例:Value of the year 2 caplet,66,009r0=3.5%,111,008ru=5.4289%,0rdd=4.6958%,53,540rud=5.7354%,180,530ruu=7.0053%,25,631rd=4.4448%,例:Value of the year 3 caplet,150,214r0=3.5%,214,217ru=5.4289%,96,726rd=4.4448%,295,775ruu=7.0053%,155,9

34、18rud=5.7354%,46,134rdd=4.6958%,399,870ruuu=9.1987%,233,120ruud=7.5312%,96,600rudd=6.1660%,0rddd=5.0483%,例:Value of Cap,Value of cap=value of caplet 1+value of caplet 2+value of caplet=11,058+66,009+150,214=227,281,例:给 Floor定价,Floor rate 4.8%,名义金额:$10,000,000,支付频率:年利率变化如下：,r0=3.5%,ru=5.4289%,rd=4.44

35、48%,ruu=7.0053%,rud=5.7354%,rdd=4.6958%,ruuu=9.1987%,ruud=7.5312%,rudd=6.1660%,rddd=5.0483%,例:Value of the year 1 floorlet,35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%)17,159=0.5(35,520+0)/1.035,17,159r0=3.5%,0ru=5.4289%,35,520rd=4.4448%,例:Value of the year 2 floorlet,2,410r0=3.5%,0ru=5.4289%,10,420rdd=4.6958%,0r

36、ud=5.7354%,0ruu=7.0053%,4,988rd=4.4448%,例:Value of the year 3 floorlet,0r0=3.5%,0ru=5.4289%,0rd=4.4448%,0ruu=7.0053%,0rud=5.7354%,0rdd=4.6958%,0ruuu=9.1987%,0ruud=7.5312%,0rudd=6.1660%,0rddd=5.0483%,例:Value of Floor,Value of floor=value of floorlet 1+value of floorlet 2+value of floorlet=17,159+2,41

37、0+0=19,569,互换选择权（Swaptions）,例：有下面互换：名义本金$1000，期限3年。固定利率支付方每年支付 10.1%,他拥有选择权，使他随时可以终结互换。我们的目的是要确定这一互换选择权的价值。假定在 0时点利率为10%。利率上升与下降的概率各为50%。利率路径如下：,例:Swaptions,r0=10%,ru=11%,rd=9%,ruu=12%,rud=10%,rdd=8%,例:Swaptions,如果理解为本金也相互交换，对于分析该问题，也许更为方便。由于收和付的金额是相等的，这不会影响期权的价值。我们的分析是从后往前走的。主要注意的是，互换是按照年初约定的利率，而在年

38、底互换的。,例:Swaptions,在Time 2:市场利率分别为 12%,10%,or 8%.如果是12%,固定利率最后支付额的现值=$1101/1.12=$983.04(YOU)浮动利率最后支付额的现值=$1120/1.12=$1000.00不执行！因此，期权的价值为$0.,例:Swaptions,如果是 10%,固定利率最后支付额的现值=$1101/1.10=$1000.91(YOU)浮动利率最后支付额的现值=$1100/1.10=$1000.00执行的价值为$0.91,所以，期权的价值为$0.91.,例:Swaptions,如果是 8%,固定利率最后支付额的现值=$1101/1.08=

39、$1019.44(YOU)浮动利率最后支付额的现值=$1080/1.08=$1000.00执行的价值为$19.44,所以，$19.44.,例:Swaptions,在 Time 1:市场利率分别为 11%or at 9%.如果是 11%,剩下的固定利率支付额的现值=101/1.11+0.5(1101/1.10+1101/1.12)/1.11=$984.66(YOU)浮动利率支付的现值=110/1.11+1000(1+r2)/(1.11)(1+r2)=$1000.不执行!另外，你仍然有选择权，该选择权也许在下一期带来价值。期权的现值为:.5(0)+.5(.91)/1.11=$.41,例:Swapt

40、ions,如果是9%,剩下的固定利率支付额的现值=101/1.09+.5(1101/1.08+1101/1.10)/1.09=$1019.35浮动利率支付的现值=1090/1.09=$1000.执行的价值为$19.43.等待的价值也许超过执行的价值.=.5(19.43)+.5(.91)/1.09=$9.33.结论:立即执行!价值=$19.35,例:Swaptions,在Time 0:利率为 10%,剩下的固定利率支付额的现值=1002.77,1002.77r0=10%,984.66101ru=11%,1019.43101rd=9%,983.04101ruu=12%,1000.91101rud=

41、10%,1019.44101rdd=8%,1101,1101,1101,1101,例:Swaptions,浮动利率支付的现值=1100/1.1=$1000.立即执行的价值为$2.76.但是,也许等待的价值更高.不执行则期权的价值为:.5(.41)+.5(19.35)/1.1=$8.98.在 time 0，期权的价值为$8.98。我们终于找到了它！,可赎回债券与可回售债券,可赎回债券是指赋予发行人在到期日之前按照约定价格赎回债券的权利。可回售债券是指赋予投资者在到期日之前将债券按照约定的价格回售给发行者的权利。,可赎回债券与可回售债券,可赎回债券价格=不可赎回债券价格-期权价格之所以从不可赎回债

42、券价格中减去期权的价格，是因为投资者向发行者出售期权时会收到期权价格，这等同于减少了债券购买价格。可回售债券价格=不可回售债券价格+期权价格之所以不可回售债券价格加上期权价格才等于可回售债券价格，是因为投资者向发行者购买期权时会支付期权价格，这等于增加了债券购买价格。,可赎回债券价格的确定利率二叉树的方法,假定市场上存在普通债券和可赎回债券两种债券，债券的面值都是100元，票面利率都是6.5%，剩余期限都是四年。可赎回债券在一年后可以按照面值100元提前赎回。4年期的债券价格的利率二叉树如下：,可赎回债券价格的确定,我们已经知道如何计算任何一个节点处的债券的价值V，由于发行者可以按照赎回价赎回

43、债券，因此，只要某节点处计算出的债券价值超过赎回价，发行者就可以按照赎回价赎回债券以减少自己的负债。因此，我们首先计算所有节点处的价值V，然后取赎回价100元和V两者之中的较小值作为该节点债券的价值。这样我们可以构造出下图：,可赎回债券价格的确定,可转换债券,可转换债券是一种公司债，持有人有权在规定期限内按事先确定的转换价格将其转换成发行人普通股股票的期权。它可以看成是由两部分构成：普通债券加上赋予债券投资人将债券转换为发行人普通股股票的权利。,可转换债券的有关术语,可转换债券的价格就是指投资者购买可转换债券时实际支付的价格。可转换债券的投资价值是指可转换债券作为普通债券的价值，即取消可转换债

44、券的可转换条款后的普通债券的价值。转换比率是事先规定的一个可转换债券可以转换为普通股股票的数量。相应的，我们可以得到转股价格。转换价值则等于转换时普通股票的价格与转换比率的乘积，也就是投资者将可转换债券换成股票后股票的市场价值。转换价值=转换时普通股票价格*转换比率,可转换债券的有关术语,市场转换价格是指，如果一个投资者购买可转换债券，然后立即将其转为股票，该投资者为普通股票实际支付的价格。市场转换价格=可转换债券的市场价格/转换比率市场转换价格是一个对分析比较有用的数字，如果股票市场价格与市场转换价格水平一致，股票价格进一步的上升都会使可转换债券的价值增加，其增加数额至少与股票价格上升的数额

45、相同，因此，市场转换价格可被视为一个盈亏平衡点。,可转换债券的有关术语,可转换债券的价格一般会超过转换价值，即市场转换价格一般会大于当期的股票价格。转换溢价等于可转换债券的价格超过转换价值的部分占转换价值的比率。用公式表示如下：转换溢价=（可转换债券的市场价格-转换价值）/转换价值可转换债券的附加条款可转换债券一般会同时规定许多附加条款，如转股期、转股价修正条款、可赎回条款和可回售条款。,可转换债券的价值,可转换债券的价值可以由两部分构成：普通债券加上债券持有者将债券转换为普通股票的期权。由此，可转换债券的价值可以分为三个部分：普通债券价值、转换价值和期权价值。可转换债券的价值至少不会低于以下

46、两者中的最高者：普通债券价值和转换价值。,可转换债券的价值,从上图中可以看出，可转换债券价值等于普通债券价值和转换价值两者之间的最大值与期权价值之和。可转换债券价值=max(普通债权价值，转换价值)+期权价值,可转换债券的价值,理论上，可以将可转换债券看成是普通债券加上看涨期权。因此，可以分别计算普通债券价值和转换价值的最大值以及期权价值，然后加总。但是由于如下原因，这一方法并不可行：（1）由于投资者将债券转换为股票时，相当于按照转换时普通债券的价值购买股票，因此期权的执行价格就是普通债券的价值。而由于普通债券的价值不断变化，因此期权的执行价值也在不断变化。所以不能直接使用B-S公式。（2）由

47、于绝大多数可转换债券规定了可赎回条款和可回售条款，因此期限是不固定的，基于这样的原因，也不能直接使用B-S公式。,使用二叉树的方法计算可转债价值,如前所述，可转换债券的价值主要取决于股票的价格，而股票的价格在未来不断变化。我们可以对股票未来的变化过程做合理的假设，然后构造出可转换债券价值的二叉树，利用二叉树计算可转换债券的价值。如同在讲授股票期权的二叉树定价时所假定的，假定股票价格每次上升的幅度相同，每次下降的幅度也相同。如上升，则下一期股票价格为上一期的u倍，u1；如下降，则下一期股票价格为下一期的d倍，d1。因此，股票价格的二叉树可以表示如下：,使用二叉树的方法计算可转债价值,使用二叉树的

48、方法计算可转债价值,从本质上看，可转换债券就是一种期权，所以我们可以用二叉树定价模型计算可转换债券的价值。首先要构建可转换债券的二叉树。在确定每一个节点的价值时要考虑各种附加条款对可转换债券的影响，投资者和发行者都会追求自己的利益最大化，在对自己有利的情况下行使权利。投资者有可能将债券转换为股票或者提前将债券返售给发行者，发行者也有可能提前赎回债券。应该综合考虑所有的附加条款，选择最有可能的价值作为该节点的价值。某节点处的价值可以使用如下公式计算：,使用二叉树的方法计算可转债价值,某节点的价值=maxmin(Q1,Q2),Q3其中，Q1的价值为普通债券价值，Q2为赎回价格，Q3为转换价值。首先

49、，如果赎回价格小于普通债券的价值，发行者将赎回自己的债券，而投资者在接到提前赎回的通知后，会对赎回价格和转换价值进行比较，选择对自己有利的策略。一旦可转换债券价值的二叉树构建出来了，就可以使用上述期权定价方式逐步倒推出可转换债券的价值。,一个简单的例子,某可转换债券的面值是1000元，票面利率为4%，按年支付利息。该可转换债券发行者的股票价格为50元。该债券的剩余期限为9个月，转换比例为20（也即转股价为50）。无风险利率为10%（年度百分比比率），波动率为30%。该公司发行的同等期限的普通债券的到期收益率为15%。假设可转换债券的赎回价为1100元。我们采用三个时期的二叉树计算可转换债券的价

50、值，即每个时期期限是3个月（也就是1/4年）。,一个简单的例子,根据讲授股票期权时的知识，我们可知依据上述信息，我们可以构建可转换债券价值的二叉树，如下：,一个简单的例子,一个简单的例子,在上图中，每个节点的数字，自上而下分别是股票价格、三个月期的短期利率和该节点的价值。如果普通债券的价值高于赎回价格，则发行人会选择赎回，投资者会在转换价值和赎回价值之间进行权衡，如果前者大于后者，投资者将会选择转换，反之，投资者将选择接受赎回。如果普通债券的价值低于赎回价格，投资者将会在转换价值和普通债券价值之间进行权衡，如果前者大于后者，投资者将会选择转换，反之，投资者将选择接受普通债券的价值。通过逆向求解