常微分方程167;3.3解过初值的连续性和可微性.ppt

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1、2023/8/4,常微分方程,3.3 解对初值的连续性和可微性定理,2023/8/4,常微分方程,解对初值的连续性 解对初值和参数的连续性 解对初值的可微性,内容:,2023/8/4,常微分方程,G,图例分析(见右),解对初值的对称性:,Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？,2023/8/4,常微分方程,证明,则由解的唯一性知,即此解也可写成:,且显然有:,2023/8/4,常微分方程,按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:,2023/8/4,常微分方程,一 解对初值的连续性,定义,设初值问题,1.解对初值的连续依赖性,2023/8

2、/4,常微分方程,初值问题,2023/8/4,常微分方程,引理 如果函数 于某域G内连续，且关于 y 满足利普希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程 的任意两个解 及,在它们的公共存在区间内成立着不等式.其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,则,2023/8/4,常微分方程,于是,因此,两边取平方根即得,2023/8/4,常微分方程,2 定理1(解对初值的连续依赖性定理),条件:I.在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;II.是(1)满足 的解,定义 区间为a,b.,结论:对,使得当,时,方程(1)过点 的解 在a,b上也有定义,且,方程,2023/8/4,常微分方程,思路分析：,2023

3、/8/4,常微分方程,记积分曲线段S：,显然S是xy平面上的有界闭集.,第一步:找区域D,使,且 在D上满足Lips.条件.,G,(见下图),由已知条件,对,存在以它为中心的圆,使 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为.根据有限覆盖定理,存在N,当 时,有,对,记,则以 为半径的圆,当其圆心从S的左端点沿S 运动到右端点时,扫过的区域即为符合条件的要找区域D,b,a,2023/8/4,常微分方程,2023/8/4,常微分方程,第二步:证明 在a,b上有定义.,假定 利用引理2及 的连续性可得:,2023/8/4,常微分方程,第三步:证明,2023/8/4,常微分方程,根据上面定理及方程的解

4、关于自变量的连续性,显然有:,3 定理2(解对初值的连续性定理),条件:在G内连续且关于 满足局部Lips.条件;,方程,2023/8/4,常微分方程,证明,令,2023/8/4,常微分方程,2023/8/4,常微分方程,二 解对初值的可微性,2023/8/4,常微分方程,1 解对初值和参数的连续依赖定理,2023/8/4,常微分方程,2 解对初值和参数的连续性定理,3 解对初值可微性定理,2023/8/4,常微分方程,证明,因此,解对初值的连续性定理成立,即,2023/8/4,常微分方程,即,和,于是,2023/8/4,常微分方程,设,2023/8/4,常微分方程,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,则,2023/8/4,常微分方程,的解,不难求得,2023/8/4,常微分方程,即,和,于是,2023/8/4,常微分方程,2023/8/4,常微分方程,即,是初值问题,的解,根据解对初值和参数的连续性定理,2023/8/4,常微分方程,的解,不难求得,2023/8/4,常微分方程,初值问题,2023/8/4,常微分方程,例1,解,由公式得,2023/8/4,常微分方程,2023/8/4,常微分方程,作业,P92 1,3,4,