《元回归分析》PPT课件.ppt

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1、10.2 一元线性回归,10.2.1 一元线性回归模型10.2.2 参数的最小二乘估计10.2.3 回归直线的拟合优度10.2.4 显著性检验,什么是回归分析？(Regression),从一组样本数据出发，确定变量之间的数学关系式对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影响某一特定变量的诸多变量中找出哪些变量的影响显著，哪些不显著利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或控制的精确程度（置信度）。,回归模型的类型,一元线性回归模型,回归模型(regression model),回答“变量之间是什么样的关系？”方程中运用1 个数值型因变量(响

2、应变量)被预测的变量1 个或多个数值型或分类型自变量(解释变量)用于预测的变量3.主要用于预测和估计,一元线性回归,涉及一个自变量的回归因变量y与自变量x之间为线性关系被预测或被解释的变量称为因变量(dependent variable)，用y表示用来预测或用来解释因变量的一个或多个变量称为自变量(independent variable)，用x表示 因变量与自变量之间的关系用一个线性方程来表示,一元线性回归模型,描述因变量 y 如何依赖于自变量 x 和误差项 的方程称为回归模型一元线性回归模型可表示为 y=b0+b1 x+e(理论回归模型）y 是 x 的线性函数(部分)加上误差项线性部分反映

3、了由于 x 的变化而引起的 y 的变化误差项 是随机变量反映了除 x 和 y 之间的线性关系之外的随机因素对 y 的影响是不能由 x 和 y 之间的线性关系所解释的变异性0 和 1 称为模型的参数（回归系数）,一元线性回归模型(基本假定),（0均值）误差项是一个期望值为0的随机变量，即E()=0。对于一个给定的 x 值，y 的期望值为 E(y)=0+1 x（方差齐性）对于所有的 x 值，的方差2 都相同（独立性）误差项是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立。即N(0,2)独立性意味着对于一个特定的 x 值，它所对应的与其他 x 值所对应的不相关对于一个特定的 x 值，它所对应的 y 值与其他

4、 x 所对应的 y 值也不相关,回归方程(regression equation),描述 y 的平均值或期望值如何依赖于 x 的方程称为回归方程一元线性回归方程的形式如下 E(y)=0+1 x,方程的图示是一条直线，也称为直线回归方程0是回归直线在 y 轴上的截距，是当 x=0 时 y 的期望值1是直线的斜率，称为回归系数，表示当 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,估计的回归方程(estimated regression equation),一元线性回归中估计的回归方程为,用样本统计量 和 代替回归方程中的未知参数 和，就得到了估计的回归方程,总体回归参数 和 是未知的，必须利用样本数据

5、去估计,其中：是估计的回归直线在 y 轴上的截距，是直线的斜率，它表示对于一个给定的 x 的值，是 y 的估计值，也表示 x 每变动一个单位时，y 的平均变动值,参数的最小二乘估计,最小二乘估计(图示),最小二乘估计,使因变量的观察值与估计值之间的离差平方和达到最小来求得 和 的方法。即,用最小二乘法拟合的直线来代表x与y之间的关系与实际数据的误差比其他任何直线都小,最小二乘法(和 的计算公式),根据最小二乘法的要求，可得求解 和 的公式如下,在相关及回归分析中，为方便公式记忆，对三种离差和常用以下标记：,一元线性回归方程（例题分析）,【例】为研究某一化学反应过程中，温度x（0c）对产品得率Y

6、（%）的影响，测得数据如下：,求Y关于x的线性回归方程。,一元线性回归方程（例题分析）,【解】现在n=10，为求线性回归方程，所需计算列表如下：,一元线性回归方程（例题分析）,一元线性回归方程（例题分析）,用Excel进行回归分析,第1步：选择“工具”下拉菜单第2步：选择“数据分析”选项第3步：在分析工具中选择“回归”，然后选择“确定”第4步：当对话框出现时 在“Y值输入区域”设置框内键入Y的数据区域 在“X值输入区域”设置框内键入X的数据区域 在“置信度”选项中给出所需的数值 在“输出选项”中选择输出区域 在“残差”分析选项中选择所需的选项 用Excel进行回归分析,回归直线的拟合优度,拟合

7、优度,回归直线 在一定程度上描述了变量x与y之间的数量关系，根据这一方程，可根据自变量x的取值来估计因变量y的取值。各观察点越是紧密围绕直线，说明直线对观测数据的拟合程度越好，反之则越差。回归直线与各观测点的接近程度称为回归直线对数据的拟合优度。拟合优度的好坏用判定系数（可决系数）来衡量。,变差,因变量 y 的取值是不同的，y 取值的这种波动称为变差。变差来源于两个方面由于自变量 x 的取值不同造成的除 x 以外的其他因素(如x对y的非线性影响、测量误差等)的影响对一个具体的观测值来说，变差的大小可以通过该实际观测值 y 与其均值 之差 来表示n次观察值的总变差可由这些变差的平方和来表示，称为

8、总离差平方和，记为SST,变差的分解(图示),离差平方和的分解(三个平方和的关系),离差平方和的分解(三个平方和的意义),总离差平方和(SST)反映因变量的 n 个观察值与其均值的总离差回归平方和(SSR)反映自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，或者说，是由于 x 与 y 之间的线性关系引起的 y 的取值变化，也称为可解释的平方和残差平方和(SSE)反映除 x 以外的其他因素对 y 取值的影响，也称为不可解释的平方和或剩余平方和,判定系数r2(coefficient of determination),回归平方和占总离差平方和的比例,反映回归直线的拟合程度取值范围在 0,1 之间

9、R2 1，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差在一元线性回归中，判定系数在数值上等于相关系数的平方，即R2r2,估计标准误差(standard error of estimate),实际观察值与回归估计值离差平方和的均方根反映实际观察值在回归直线周围的分散状况是对误差项的标准差的估计，是在排除了x对y的线性影响后，y随机波动大小的一个估计量反映用估计的回归方程预测y时预测误差的大小 计算公式为,一元线性回归方程（例题分析）,【例】为研究某一化学反应过程中，温度x（0c）对产品得率Y（%）的影响，测得数据如下：,求Y关于x的线性回归方程及相应的判定系数。,一元线性回归方程及判定

10、系数（例题分析）,【解】现在n=10，为求线性回归方程，所需计算列表如下：,一元线性回归方程及判定系数（例题分析）,一元线性回归方程及判定系数（例题分析）,一元线性回归方程及判定系数（例题分析）,显著性检验,线性关系的检验,检验自变量与因变量之间的线性关系是否显著将回归均方(MSR)同残差均方(MSE)加以比较，应用F检验来分析二者之间的差别是否显著回归均方：回归平方和SSR除以相应的自由度(自变量的个数p,一元线性回归中自由度为1)残差均方：残差平方和SSE除以相应的自由度(n-p-1，一元线性回归中自由度为n-2),线性关系的检验(检验的步骤),提出假设H0：1=0 线性关系不显著,2.计

11、算检验统计量F,确定显著性水平，并根据分子自由度1和分母自由度n-2找出临界值F 作出决策：若FF,拒绝H0；若FF,不拒绝H0,F-统计量的计算,线性关系的检验(例题分析),提出假设H0：1=0 温度与产品得率之间的线性关系不显著计算检验统计量F,确定显著性水平=0.05，并根据分子自由度1和分母自由度10-2找出临界值F=5.32作出决策：FF,拒绝H0，线性关系显著,回归系数的检验,在一元线性回归中，等价于线性关系的显著性检验,检验 x 与 y 之间是否具有线性关系，或者说，检验自变量 x 对因变量 y 的影响是否显著,理论基础是回归系数 的抽样分布,回归系数的检验(样本统计量 的分布),是根据最小二乘法求出的样本统计量，它有自己的分布 的分布具有如下性质分布形式：正态分布数学期望：标准差：由于 未知，需用其估计量sy来代替得到 的估计的标准差,回归系数的检验(检验步骤),提出假设H0:b1=0(没有线性关系)H1:b1 0(有线性关系)计算检验的统计量,确定显著性水平，并进行决策 tt，拒绝H0；tt，不拒绝H0,