最新版圆锥曲线专题17之1 基础知识.docx

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1、专题1白云出岫基础知识点第一锦椭圆横看成岭侧成峰，远近高低各不同；不同的角度，看到的世界也不同，站的位置不同，领略到的风景也不同.在学习圆锥曲线的过程中，从不同的角度去分析，去理解，去总结，才能欣赏到圆锥曲线世界的独特风景.圆锥曲线是宇宙的艺术，是一种对称和谐之美，这种美是杂乱中的秩序，是变化中的规律.圆锥曲线的定义，揭示了圆锥曲线的前世今生，揭示了曲线的内在联系，使焦点、离心率、准线构成了一个统一的整体，正所谓万物皆有因，万般皆有果；所有巧合，皆是天意，冥冥之中，皆是定数.学习数学，让你领略波澜壮阔之势，拥有高瞻远瞩之能，欣赏对称和谐之美，体会茅塞顿开之境!本书将在这里起航，愿我们一同在知识

2、的浩瀚大海中遨游，探索宇宙的轨迹，领略世界的奥义.考点一椭圆基础1 .椭圆的定义平面内一个动点P到两个定点尸1、6的距离之和等于常数（P+P周=2忻周），这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.若IPKl+|尸耳|=|耳闾,则动点尸的轨迹为线段耳仆若P6+P&b0)22图形Jt4lVl。,b7ra性质焦点E(-c,0),(c,O)M(Oi),6(0,C)焦距IKgI=2C(C=/-从)IEKI=2c(c=Ja2-b2)范围,yxb,ya对称性关于X轴、），轴和原点对称顶点(,O),(0,Z?)(0,),(h,0)轴长轴长=2,短轴长=助离心率e=-（0eb0

3、）,点P（XO,%）在椭圆内部，等价于今+gl,结合线性规划的知识点来分析.ab25 .椭圆焦点三角形的面积为S=E.gng（0为焦距对应的张角）2考点二对椭圆定义的基础考察在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接直线和椭圆联立.所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题.利用定义求解最值问题及轨迹问题，详见本章节第一定义的内容【例I】（镇江期末）已知椭圆。:上+16 9=1的左、右焦点分别为耳，K，过点K的直线交椭圆C于P, Q两点，若IKPl+IKQI=IO,则P0等于（）A.8B.6C.4D.2例2（绥化月考）

4、椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：江+=1,点A、8是它的169两个焦点，当静止的小球放在点A处，从点A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点A时，小球经过的最短路程是（）A.20B.18C.16D.以上均有可能【例3】（武邑月考）椭圆4=1的左、右焦点分别为耳，玛，点P在椭圆上，如果M的中点在），轴上，那么PI是IPEl的（）A.7倍B.6倍C.5倍D.4倍【例4】（深圳期中）已知椭圆C：+f=1,点用与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别2516为A,B,线段MN

5、的中点在。上，则4V+8N=（）A.10B.15C.20D.25【例5】（荔湾期中）椭圆+=1的左焦点为尸，直线x=z与椭圆相交于点A、B,当FAB43的周长最大时，E钻的面积是（）A.-B.2C.-D.323【例6】已知椭圆+3=1（。0）经过点（1，当），过顶点3,0），（0）的直线与圆/+V=|相切,则椭圆的方程为（）AX2dX23/.X24y2X2Sy2.A.+v=lB.+-=1C.十二一=1D.-=l2-423355考点三桶圆的简单几何性质【例7】（龙海期中）已知方程匕+上=1表示椭圆，求女的取值范围4一kk-2【例8】（永州二模）已知点耳，K是椭圆/+3y2=i2的两个焦点，点P是

6、该椭圆上的一个动点，那么IPE+I的最小值是（）A.OB.4C.42D.43注：点到原点的距离，可以利用点到点的距离公式来分析求解，用比替换掉/,整理成关于小的函数来求解最值.【例9】（湖北期末）已知椭圆x2+gy2=30）与a2,1）,8（4,3）为端点的线段没有公共点，则。的取值范围是（）A. 0a- 2C. a 22d 3 一 麻B. 0- 22 32廊D. ab0）的左右焦点分别为片、F2, O为坐标原点，A为椭圆上一点，且A645=0,直线A8交），轴于点M,若IaKI=6OM,则0年与4AEK的面积之比为（）A4D4厂25C5AB.CD812714418【例II（河南月考）已知夕为

7、椭圆C:?+q=l上一个动点，F1F?是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d,若IPKlP6=,则d=.张忐求解切线斜率的时候可应用后面章节的极点极线原理快速求出切线为、+二Z=L43【例12（江西模拟）如图所示，AlA2是椭圆UA!=1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不S与A，A2重合，点N满足NA1LMA1,则不纳生=（）S.Zg【例13】（武昌月考）已知动点P在椭圆工+工=1上，若点A的坐标为（3,0）,点M满足IAMl=1,且4940PMAM=Of则IPMI的最小值是.【例14】（南岗四模）已知椭圆T:二+V=i（i）的焦点尸（_2,0）,过点M（M）

8、引两条互相垂直的两直线4、a4,若P为椭圆上任一点，记点P到4、4的距离分别为4、出，则片+d；的最大值为（）考点四椭圆的离心率以及范围问题在处理问题的时候一定要注意定义优先原则，用上椭圆定义，再结合平面几何、三角函数、不等式、以及函数的内容，往往可以解决诸多离心率问题.另外，本章节只涉及基础的离心率问题以及范围问题，进阶内容需要学习后续焦长体系和焦点三角形等后续内容.方&一利用O=空，2”利用椭圆定义去转换，2c利用焦距表示.Ia【例15】（大石桥期中）设M为椭圆二+=l（b0）上一点，F-F2为椭圆的焦点，若NM名=75,NgK=I5,求椭圆的离心率.【例16X2018新课标I）己知A,乃

9、是椭圆C的两个焦点，尸是。上的一点,若PLP6,且/”可=60。,则C的离心率为（）A.1一3B.2-3C.D.3-l2222【例17（榆林一模）设小入分别是椭圆C*+1=l（bO）的左、右焦点，点尸在椭圆C上，线段P匕的中点在），轴上，若NPK鸟=30。，则椭圆C的离心率为（）方做二利用与C建立一次二次方程不等式.22【例18】（2018新课标II）已知尸I,F,是椭圆C:；+与=l（”0）的左、右焦点，A是C的左顶点,ab点尸在过A且斜率为逆的直线上，为等腰三角形，N片6P=120。，则C的离心率为（）22【例19】（武进期末）已知产是椭圆马+2=13人0）的左焦点，A为右顶点，P是椭圆c

10、rb2上一点，PFJ轴.若IPFI=JA11,则该椭圆的离心率是.4方法三利用焦半径的取值范围为a-c,+c【例20（宜昌期末）已知耳、K分别是椭圆C*+3=l（Z0）的左、右焦点.若椭圆C上存在点尸,使得线段P匕的中垂线恰好过焦点尸2,则椭圆C离心率的取值范围是（）A.1,1）B.1,与1C.p1）D.（0,g【例21（广东期末）设%F,分别是椭圆+耳=1（以0）的左、右焦点，若在直线x（其abc中/+从=/）上存在点p,使线段PK的垂直平分线经过点后，则椭圆离心率的取值范围是（）C.哼,1)D g，1)A.(0,午B.(0,早方眩B此题可利用最大顶角。满足sin0eVl.2例22已知椭圆二

11、十1=l(0)的焦点分别为F1,F2,若该椭圆上存在一点P,使得ZFxPF2=60,ab则椭圆离心率的取值范围是.方依五利用基本不等式.【例23】(龙凤一模)在椭圆上有一点M,鸟是椭圆的两个焦点，若IMqMFj=2从，椭圆的离心率的取值范围是.第二裙双曲线考点一双曲线基础1 .双曲线定义在平面内，到两个定点耳、K的距离之差的绝对值等于常数2(。大于0且幼0,0)erb-y222一一7=l(O,bO)a-b-图形萍性质焦点(-G),F2(CfO)E(O,c),F2(OfC)焦距IKEl=2c(c=Ja2+b2)F,lf2=2c(c=Ja2+b2)范围yRyy-或y,XeR对称性关于X轴、y轴和原

12、点对称顶点(,0)(0,a)轴实轴长=2,虚轴长=2Z?离心率e=-(el)注：离心率越大，双曲线开口越大a渐近线方程y=xa,ay=-xh注意：判断焦点位置的方法，椭圆，谁下面数字大焦点跟谁；双曲线，谁的系数是为正，焦点跟谁.简记：椭圆，谁大跟谁，双曲线，谁正跟谁2 .双曲线的通径2h2过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为3 .点与双曲线的位置关系对于双曲线5-1=l(0b0),点尸5,为)在双曲线内部，等价于另一鸟1.abab点P(XO,%)在双曲线外部，等价于乌-Eb0)上任意一点，该双曲线的两条渐近线方程分别是冲一加=0ah和+b=o,点

13、尸(w，x)到两条渐近线的距离分别是与=驾*+I,则呼+他I驾.性质二双曲线焦点三角形面积为J(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大)Utan2考直二双曲线定义的基础考察在处理双曲线问题的时候，也要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接直线和双曲线联立.所以在解题的时候如果看到点在双曲线上，要时刻思考双曲线定义.【例1】(吉林期中)已知点A(l,0),B(-l,0).动点M满足M4-M8=2,则点M的轨迹方程是()A.=0(-lxl)B.y=O(xl)C.y=O(x-l)D.y=O(xl)22【例2】(2016新课标I)已知方程J二I表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离

14、为4,则nr+n3rn-n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,G)C.(0,3)D.(0,3)22【例3】(开封一模)从双曲线二-二二l(0包0)的左焦点尸引圆/+V=/的切线，切点为人延长口arIr交双曲线右支于尸点,若M为线段FP的中点，。为坐标原点，则IMol-1MT与人-。的大小关系为()A.MO-MTb-aB.MO-MT0力0）的左、右焦点分别为F、,过点K且垂直ab于X轴，的直线与该双曲线的左支交于A,8两点，AF2f分别交y轴于P,Q两点，若APQ鸟的周长为12,则当必2取得最大值时，该双曲线的渐近线方程为（）/7JT/7A.y=-xB.y=-xC.y=-xD.y=y2x

15、考点三双曲线的简单几何性质处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混.2【例6】（2015新课标I）已知M（XO,%）,是双曲线。：+-），2=1上的一点，F1,鸟是C的左、右两个焦点，若M6M6O,bO）的离心率为2,过右焦点且垂直于X轴的直线与双ab曲线交于A,B两点.设A,8到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和W,且4+4=6,则双曲线的方程为（）例8【例8】（泗州月考）智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质，比如电影放映机利用椭圆镜面反射出聚焦光线，探照灯利用

16、抛物线镜面反射出平行光线.如图，从双曲线右焦点K发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线,且反射光线的反向延长线经过左焦点F1,已知双曲线的离心率为应，则当入射光线BP和反射光线PE互和垂直时（其中P为入射点），的大小为（）A.B.C.D.126312例9（2020新课标H）设O为坐标原点，直线x=与双曲线。:1-与=130必0）的两条渐近线分ab别交于O,E两点.若AODE的面积为8,则。的焦距的最小值为（）A.4B.8C.6D.32【例10】（2020新课标In）设双曲线U二-与二l（O,bO）的左、右焦点分别为匕，居，离心率为4.Pab是C上一点，且若耳玛的面积为4,则=（）A.IB.2C

17、.4D.82【例II】（2020新课标I）设匕，尸2是双曲线C：/-3=1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且IOPI=2,则PG6的面积为（）A.-B.3C.-D.222考直四双曲线的离心率以及范围问题解题的时候要注意定义优先原则，解题的时候要结合图象分析，分清楚是双曲线还是渐近线.本章节只涉及基础的离心率问题及范围问题，进阶知识点请继续学习后续知识内容.方做一利用渐近线的斜率求离心率22【例。（温岭模拟）双曲线呜-小叱。）的一条渐近线的倾斜角为U。，则C的离心率为（）A. 2sin 20B. 2cos20osin 20cos 20【例13】（2019新课标I）双曲线C:=-1=l（0,6

18、0）的一条渐近线的倾斜角为130。，则C的离心率ab为（）A. 2sin40oB.2cos40oC.!D.!sin50ocos50方弦二利用e=,其中2c为焦距长，2a=PFl-PF.【例14】（安徽模拟）点P为双曲线G：1-1=Im和圆。,：/+丁=/+从的一个交点，且ab2NPFR=NPFzK,其中K，K为双曲线Cl的两个焦点，则双曲线C的离心率为（）A.3B.l+2C.3+lD.2方依三利用对应焦点焦半径的取值范围+00）.右焦点分别为耳，【例15】（息县月考）设点P在双曲线m=l（0A0）的右支上，双曲线的左、F2,若IPGI=4|帆则双曲线离心率的取值范围是（）B. (1 , 2C.

19、 I , +8)D.2 , +oo)【例16（泉州模拟）双曲线，=1（。0包0）的两个焦点为，F2t若双曲线上存在一点尸，满足PFl=2PF1t则双曲线离心率的取值范围为（）A. (1 , 3B. (1, 3)C. (3 , +)D. 3,+ )【例17】（温州一模）设尸为双曲线鼻-2 = l（0,b0）的右焦点，。是双曲线上的点,ai bz若它的渐近线上存在一点。（在第一象限内），使得口 = 2PQ,则双曲线离心率的取值范围是（A. (1 , 3)B. (3 , +)C. (1, 2)D. (2 +oo)方佐四建立关于和C的一次或二次方程与不等式22【例18】（2019新课标H）设了为双曲线

20、CJ-A=I（00）的右焦点，O为坐标原点，以QF为直/bi径的圆与圆f+V=/交于p,Q两点.若IPQl=IOf则C的离心率为（）A.2B.3C.2D.522= l（aO,AO）的右焦点，A为C的右顶点，B为C【例M（2。2。新课标I）已知产为双曲线C点一S上的点，且所垂直于X轴.若48的斜率为3,则C的离心率为.【例20（民乐县模拟）双曲线C:二-2=l（0,/AO）的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A,a-h-点尸为双曲线C左支上一点，若AA尸产周长的最小值为6b，则双曲线C的离心率为（）56R辰病nBA.B.C.D.876322【例21（夏邑模拟）过双曲线）方= l（O,bO）的右顶

21、点A作斜率为-1的直线/,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为8,C,若AB=LBC,则此双曲线的离心率是（）2A.2B.3C.2D.5【例22】（潮州二模）已知尸为双曲线C*T=l（020）的左焦点，直线/经过点F,若点A（,0）,8（0,初关于直线/对称，则双曲线C的离心率为（）c +2B. 2+l【例23】（日照一模）已知O为坐标原点，尸是双曲线:一E=l（O,bO）的左焦点，A,B分CTbi别为的左、右顶点，?为上一点，且尸产1.x轴，过点A的直线/与线段尸尸交于点M,与y轴交于点E,直线与），轴交于点N,若IOEl=2QV|,则的离心率为（）34A.3B.2C.-D.-23【例24

22、（兰州一模）已知6、K为双曲线C:*-*=13020）的左、右焦点，点?为双曲线C右支上一点，直线尸耳与圆XA. 3 + l+V=M相切，且IPEl=IK6则双曲线C的离心率为（）【例25】（2014重庆）设小居分别为双曲线二-2=l（0,60）的左、右焦点，双曲线上存在一点尸abQ使得IP用+PRI=3,IPKlP6=z,则该双曲线的离心率为（）459A.-B.-C.-D.3334【例26（大庆月考）已知双曲线-亲=l（aO,bO）的左、右焦点分别为，F2,若双曲线的左支上存在一点?，使得P玛与双曲线的一条渐近线垂直于点”，且IP5|=4|6”|,双曲线的离心率为（）26R4届n5A.B.C

23、.D.-332322【例27（绵阳期末）如图，F1,工分别是双曲线。:-3=13020）的左、右两焦点，8是虚轴的端点，直线”8与C的两条渐近线分别交于P，Q两点,线段PQ的垂直平分线与X轴交于点M.若IMEHKEI，则C的离心率是（）A.毡B.C.应D.332【例28（湖南模拟）已知A,B,C是双曲线*-=l（O,bO）上的三个点，AB经过原点O,AC经过右焦点尸，若B尸JLAC且2A尸I=IC/则该双曲线的离心率是（）a5r7r7n9A.-B.C.D.3324例27解析222【例29（潍坊模拟）过双曲线三-4=l（0,00）的左焦点尸（-c,O）（C0）,作圆V+3？=工的切线,arb4切

24、点为E,延长正交双曲线右支于点P,若。ETOF+OP）,则双曲线的离心率为.【例30（廊坊期末）过双曲线5-5=l（020）的一个焦点尸向其一条渐近线作垂线/,垂足为A,/与另一条渐近线交于5点，若F8=3E4,则双曲线的离心率为.【例31（和平期中）已知F为双曲线J-芯=l（O,bO）的左焦点，定点A为双曲线虚轴的一个端点,过尸，A两点的直线与双曲线的一条渐近线在），轴右侧的交点为3,若A8=3E4,则此双曲线的离心率为.第三饼抛物线考点一抛物线基础1 .抛物线定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(/不经过点尸)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点尸叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线

25、.2 .抛物线标准方程几何性质的对比图形斗标准方程y2=2pxp0)y2=-2PX(P0)X2=2py(p0)=-2py(p0)顶点0(0,0)范围x0,yeRx0,yeRy0,XWRy0,XWR对称轴X轴y轴焦点Gol0),由A(g,p),(A-p),可得IABl=2，故抛物线的通径长为2”.弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：为=KK证明(点差法)：设A(X,y),8(生必)为抛物线=2px(P)上两点，则y：=2pX,5=2看作差得江=3=，其中M(0,%)是A5中点.或者说，若设AB的斜率为3则AB中点纵坐标W-X乂+为NONo=R.焦点在y轴上的抛物线，同理焦点弦的常考性质A(X,

26、)8(x2,%)已知AB是过抛物线/=2px(p0)焦点F的弦，M是AB的中点，/是抛物线的准线，MNtl,N为垂足.(1)以A3为直径的圆必与准线/相切(2) FNLABiFCLFD(3) x1x2=2 2(4) G=4=殳 再 2L y2pO、C三点共线.上述证明方式并非唯一， 以降低计算量.(4)设BD。为垂足，则A、0、。三点在一条直线上【例3】（娄底二模）已知点P（X0，NO）是抛物线V=4x上的一个动点，。是圆U（x+2）2+（y-4）2=1上的一个动点，则天+|PQl的最小值为（）A.25-lB.25C.3D.4二对抛物线性质的考察在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则

27、，考察频率更高，很多问题用上抛物线定义可以简化计算.【例4】（郴州二模）抛物线Uy2=8,点尸为抛物线上任意一点，过点?向圆。:Y+y2-4x+3=0作切线，切点分别为A,B,则四边形以08面积的最小值为.【例5】（郴州二模）抛物线Uy2=4的焦点为，N为准线上一点，M为y轴上一点，ZMNF为直角，若线段用户的中点E在抛物线C上，则/的面积为（）A.B.2C.D.3222【例6】（青山期中）如图所示，正方形和正方形。EAG,原点。为AO的中点，抛物线V=2px（p0）经过C,尸两点，则直线跳:的斜率为（）A.B.1C.2+2D.2-222【例7】（12月月考）若抛物线V=8y上一点M到该抛物线

28、焦点的距离为6,过点“作X轴的垂线，垂足为N,设。为坐标原点，则四边形困W的面积为（）A.12B.122C.16D.162【例8】（道里期中）已知抛物线Uy2=_2px（p0）的焦点为。M（T,%）是抛物线上一点，过点M向抛物线C的准线引垂线，垂足为0,若AMOF为等边三角形，则的值为（）2 3A.-B.-C.1D.23 4【例9】（东阳期中）已知抛物线V=4x的焦点为尸，A（T,O）,点P是抛物线上的动点，则当g的值IRAl最小时，I尸尸I=（）A.1B.2C.22D.4【例10（汇川月考）已知抛物线y2=2px（p0）的准线方程为=T,焦点为厂，A,B,。为抛物线上不同的三点，IEAI,|

29、F例,I尸Cl成等差数列，且点B在X轴下方，若BA+郎+EC=O,则直线AC的方程为（）A.x+2y+l=0B.x-2y-l=0C.2x-y+l=0D.2x-y-l=0【例11】（安丘模拟）如图所示点F是抛物线V=8x的焦点，点A、/?分别在抛物线V=8及圆（x-2）2+V=16的实线部分上运动，且AB总是平行于X轴，则ARW的周长的取值范围是（）A.（6,10）B.（8,12）C.6,8D.8,12【例12（鼓楼月考）如图，过抛物线V=2px（p0）的焦点/的直线/交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若IBCl=2B11,且IA尸|=6,则此抛物线方程为（）A.y2=9xB.y2=6xC.y

30、2=3xD.y2=y3x【例13】（沙坪坝模拟）抛物线V=的焦点为77,O为坐标原点，点P在抛物线上，向量产户与。尸的夹角为60。，过P作抛物线准线的垂线，垂足为“，线段HF和抛物线交于点Q,则粤=（）IFQl2A.1B.2C.3D.-3【例14】（齐齐哈尔一模）已知点A（0,J）,抛物线Uy2=2PX（P0）的焦点为f，射线EA与抛物线。相交于点M,与其准线相交于点N.若IFMlMNl=I:2,则的值等于（）A.1B.2C.3D.4【例15（正定期中）已知抛物线。：丁=2川（0）的焦点为产，准线与4轴的交点为A,点5为以户为圆心，A尸为半径的圆与抛物线C的一个交点，O为坐标原点，记NABo=

31、则tan。=.【例16】（日照二模）抛物线Uy?=*的焦点为尸，准线为/,尸为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM_L/于点M,线段板与抛物线C交于点N,若Pr的斜率为2,则3J=（）4INFlA.5B.C.D.22【例17（衡水金卷一模）已知。为坐标原点，F为抛物线V=2px（p0）的焦点，若抛物线与直线/:工-有），-4=0在第一、四象限分别交于4,B两点.则OA）：的值等于（）2（OF-OB）2A.97+563B.144C.73+403D.4p2【例18（江岸期末）如图，A,8为抛物线V=上的两点，尸为抛物线的焦点且4_Lm，C为直线A8上一点且横坐标为-1,连结尸C.若8尸|=3|4用

32、，则颉。=.【例19（宿州一模）直线/过抛物线Uy2=2px（p0）的焦点尸，与抛物线。交于A、B两点,与其准线交于点O,若IAFl=6,DB=2BF,则P=.【例20（天津一模）设抛物线V=2px（p0）焦点为“，准线为/,过焦点的直线分别交抛物线于A,B两点,分别过A,8作/的垂线，垂足C,D.若IA产=28尸|,且三角形CDF的面积为应，则的值为.【例21（老城月考）已知点”为抛物线y2=2px（p0）的焦点，点”（2,?）在抛物线E上，且IMQ=3（1）求抛物线E的方程；（2）求以点N（Ij）为中点的弦所在直线的方程.第四年圆锥曲线第一定义考点一圆锥曲线第一定义概念椭圆定义：平面内一个

33、动点P到两个定点尸、尸2的距离之和等于常数(PF1+PF2=2aF2),这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.双曲线定义：在平面内，到两个定点尸I、工的距离之差的绝对值等于常数24(。大于O且2区可)的动点P的轨迹叫作双曲线.这两个定点尸I、K叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线/3不经过点尸)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点尸叫做抛物线的焦点，定直线/叫做抛物线的准线.注意：1.椭圆和双曲线可以借助AP-K来理解，定义形式可以任意两边之和要大于第三边，任意两边之差要小于第三边.2 .若|尸周+|尸周

34、=忸闾,则动点尸的轨迹为线段山玛;3 .若IP用+P周比周，则动点尸的轨迹无图形.4 .若归用TPEIl=2=忻用，则动点轨迹是以、鸟为端点的两条射线(包括端点)；5 .若忸用TP&I=24忻周，则动点轨迹不存在；6 .平面内与一个定点F和一条定直线/(点户在/上)的距离相等的点的轨迹为过尸且垂直与/的一条直线.注：圆锥曲线也可以用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，分别可以是椭圆、抛物线、双曲线，所以我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线，这也是圆锥曲线命名的由来.【例I(湖北期末)方程J(X-2)?+y2+J(+2y+y2=10化

35、简结果是()2222A.F=1B.+-=125162521【例2(普陀一模)方程J(X-4)2+田一J(+A+y2=6化简的结果是()A.-=1B.-=197259C.-=1,x-3D.-=1,x39797【例3】(于洪月考)已知点M与点E(-2,0)的距离比它到直线/-3=0的距离小1,则点M的轨迹方程为.【例4】(鹿城期末)已知动点Pay)的坐标满足也2+(y+1)?+Jx2+(y-Ip=2,则动点尸的轨迹方程为()A.+y=1B.?+：=1C.x=0(-ljl)D.j=0(-lxl)考克二利用第一定义求解轨迹常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和

36、满足焦点标志的定点连起来判断.焦点往往有以下的特征：1.关于坐标轴对称的点；2.标记为尸的点；3.圆心；4.题上提到的定点等等.当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断.注意：在求解轨迹方程的题中，要注意X和的取值范围，曲线上的点如果有不符合题干的要舍去；另外如果求解的是双曲线的轨迹，要注意是否只能为其中一支.【例5】（九原期中）如图，点A是OO内一个定点，点8是OO上一个动点，3。的半径为Nr为定值），点P是线段AB的垂直平分线与OB的交点，则点Q的轨迹是（）A.圆B.直线C.双曲线D.椭圆一条抛物线上 一个圆上A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.

37、抛物线【例6】（伊川月考）一动圆与圆f+y2=外切，同时与圆V+y2-6-91=0内切，则动圆的圆心在（）一个椭圆上双曲线的一支上【例7】（1993全国）一动圆与两圆f+y2=和/+y2-8+i2=o都外切，则动圆圆心轨迹为（）【例8】（天心期末）在ABC中，己知A（-4,0）,8（4,0）,且SinA-Sin5=-sinC,则C的轨迹方程是（2124【例9】（凉州期末）点M与点尸（4,0）的距离比它到直线Lx+5=0的距离小】，则点M的轨迹方程是.【例10（兴庆期末）与圆。-2）2+9=1外切，且与直线+l=O相切的动圆圆心的轨迹方程是.【例11（越秀期中）已知圆M:（x+l）2+y2=i,

38、圆M*-l）2+y2=9,动圆尸与圆M外切并且与圆N内切，求动圆圆心尸的轨迹方程.考直三声东击西-利用用定义求解最值问题在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.椭圆最值问题：求IPQI-I尸|最值，则构造PQ+24-Iwl-2=尸Q+尸鸟|-2，利用三点共线求最值（如下图所示），此类型的题目叫做声东击西，即问左焦点，则连接右焦点，间右焦点则连左焦点，三点共线是关键.【例12（九龙坡期末）设石，尸2分别是椭圆工+=1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标124933为（8

39、,5）,则IPMI+P用的最大值为.【例13（启东期末）已知尸是椭圆C:+）?=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q（4,3）,则IPQl+1PQ的最大值为（）A.5&B.32C.34D.42双曲线最值问题求PQ+P1最值，则构造PQ+2+P-2=PQ+P6+2,利用三点共线求最值（如下图所示）.【例（济宁T）已知双曲线U,多=叱。,“。）的左、右焦点分别为牛F2,实轴长为4,渐近线方程为y=gx,IM与I-IMKl=4,点N在圆f+y?一4=O上，则IMNl+M|的最小值为（）A.2+7B.5C.6D.7r22【例15（宜宾期末）P是双曲线匕=1的右支上一点，M,N分别是圆（x+10）2+y2=1和3664（x-10）2+y2=4上的点，则IPMl-PN的最大值为（）A.12B.13C.14D.15抛物线最值问题根据两点之间线段最短定理，可以知道夕为抛物线上一点：（1）当Q（XQ,坨）为抛物线内任意一点，则存在IP尸|+|PQl的最小值，当只0两点的纵坐标相等时，即IP目+1PQlmin=IEQI=K（参考左下方图，内部连准线）（2）当Q（XQ,%）为抛物线外任意一点，存在d+PQ最小值，当。、厂三点共线时,(同 LTFa=（参考右上方图，外部连焦点）【例16（宜昌模拟）已知抛物线Uy?=8的焦点为F,M是抛物线C上一点，N是圆（x-6+（y-3=9上一点，则IMNI+M