《高等数学的》PPT课件.ppt
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1、,高等数学,第七章 空间解析几何与向量代数,2023/8/3,天津商学院高等数学课程组,2,第五节 平面及其方程,平面的点法式方程平面的一般方程两平面的夹角例题,平面是最简单的曲面.平面和三元一次方程一一对应。我们主要掌握平面方程的几种表达形式,以及平面与平面.点与平面之间的位置关系.,2023/8/3,天津商学院高等数学课程组,3,引例,|AM|=|BM|,所以,两边平方并化简得,2x-6y+2z-7=0,这个垂直平分面的方程就是一个平面方程.,设有点A(1,2,3)和B(2,-1,4),求AB的垂直平分面方程.,解 由题意知,所求平面是与A、B等距离的点的几何轨迹,设M(x,y,z)为所求
2、平面上 的任一点,由于,一.平面的点法式方程,n,法线向量 n垂直于一平面的非零向量称作该平面的法线向量,简称法向量,记作n.,点法式方程的建立已知平面上一点M0及其法向量n,则可以建立该平面的方程.根据,图示,2023/8/3,天津商学院高等数学课程组,5,一.平面的点法式方程,设 M0是平面上一个已知点,M是平面上任意一点,n 为平面的法向量.因为向量MM0与法线向量n垂直,则其数量积为零.即,n=A,B,C,于是有:,如果已知:,n,这就是平面的点法式方程,可将这个三元一次方程整理为 Ax+By+Cz+D=0的形式,其中 D=-(Ax0+By0+Cz0),图示,2023/8/3,天津商学
3、院高等数学课程组,6,例1,解,2023/8/3,天津商学院高等数学课程组,7,例2,解,二.平面的一般方程,任意平面都可以用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示;任一三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的图形总是一个平面。,方程 Ax+By+Cz+D=0(2)称作平面的一般方程.其中x,y,z的系数A,B,C就是该平面一个法向量的坐标.该平面法向量为 n=A,B,C.,n=A,B,C,2023/8/3,天津商学院高等数学课程组,9,例3,2x-3y+z-6=0,3,2,6,3x+8y+z-18=0,可以改写成,图示,2023/8/3,天津商学院高等数学课程组,10,二.平面的一般方程,
4、Ax+By=0,C=0,D=0.,C z+D=0,A=B=0,特殊三元一次方程表示图形特点,这个平面平行xOy坐标面,这个平面 经过z轴.,2023/8/3,天津商学院高等数学课程组,11,二.平面的一般方程,Ax+Cz+D=0,B=0,特殊三元一次方程表示图形特点,Ax+By+Cz=0,D=0,这个平面平行y 轴.,这个平面过原点O.,三.平面的截距式方程,设一平面与x、y、z轴的交点为P(a,0,0)、Q(0,b,0)、R(0,0,c)其中a0、b0、c0,叫做平面的截距式方程,a、b、c 叫做平面在x、y、z 轴上的截距.,P,Q,R,a,b,c,则该平面方程为,四.平面的三点式方程,已
5、知平面上三点:P=(a,b,c),Q=(a1,b1,c1),R=(a2,b2,c2),并设 M=(x,y,z),,Q,n,则平面方程为:,五.两平面的夹角,两平面的法向量的夹角称为两平面的夹角 如下图中的角.,设平面1的法向量为n1=A1,B1,C1设平面2的法向量为n2=A2,B2,C2,由cos=|cos(n1,n2)|则两平面的夹角可由两个向量夹角公式来确定.,1,2,n2,n1,四.两平面的夹角,其中平面1的法向量为n1=A1,B1,C1平面2的法向量为n2=A2,B2,C2,两个结论:,结论一 平面1与平面2互相垂直相当于:,1,2,n2,n1,因为两个法向量相互垂直所以其数量积为零
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