《高等数学习题》PPT课件.ppt

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1、多元函数微分学习题课,一、主要内容,平面点集和区域,多元函数概念,多元函数的极限,极 限 运 算,多元函数连续的概念,多元连续函数的性质,全微分概念,偏导数概念,方向导数,全微分 的应用,复合函数求导法则,全微分形式的不变性,高阶偏导数,隐函数求导法则,微分法在几何上的应用,多元函数的极值,1、多元函数的极限,说明:,(1)定义中PP0的方式是任意的;(2)二元函数极限运算法则与一元函数类似.,2、多元函数的连续性,存在性定义,夹逼定理;不存在特殊路径、两种方式;求 法运算法则,定义验证,夹逼定理消去致零因子,化成一元极限等.,3、偏导数概念,定义,求法;高阶偏导数纯偏导,混合偏导.,4、全微

2、分概念,定义;可微的必要条件与充分条件;利用定义验证不可微性.,偏导数连续,函数可微,函数连续,偏导数存在,5、复合函数求导法则,“分道相加,连线相乘”,法则的推广任意多个中间变量,自变量,求高阶偏导数:,6、全微分形式不变性,无论u,v是自变量还是中间变量,函数z=z(u,v)的全微分具有相同的形式:,7、隐函数的求导法则,8、微分法在几何上的应用,(1)空间曲线的切线与法平面(2)曲面的切平面与法线,求直线,平面的方程的一般方法:定点(过点),定向(方向向量,法向量).,曲线方程:参数式,一般式给出;曲面方程:隐式,显式给出.,求隐函数偏导数的常用方法:公式法;直接法;全微分法.,10、多

3、元函数的极值,9、方向导数与梯度,定义;计算公式(注意使用公式的条件);梯度的概念向量;梯度与方向导数的关系.,极值,驻点,必要条件;二元函数极值的充分条件:ACB20.求显函数z=f(x,y)极值的一般步骤.最优值;条件极值,目标函数,约束条件,构造Lagrange函数:,二、典型例题,例1:求极限,解:令 x=cos,y=sin,(0),所以,则(x,y)(0,0)等价于 0.,例2:已知w=f(xy,yz,tz),求,解:,则,例3:已知 z=sin(ax+by+c),求,解:,解:,解:,且,求,方程(x2,ey,z)=0 两边对x求导,得,于是可得,例6:设 x+y+z=e-(x+y

4、+z),求,Fx=Fy=Fz=1+e-(x+y+z),由公式得:,所以,解二:方程两边对x求偏导,得,则,则,解一:记 F(x,y,z)=x+y+ze-(x+y+z),由轮换对称性,得,所以,从而,解三:方程两边取全微分,得,即,所以,即,则,从而,这是一个以y,z,u 为未知量的三元一次线性方程组.其系数行列式为Vandermond行列式:,解:由题意,方程组隐含y,z,u为x的隐函数,两边对x求导,得,若D0,则有,例8:在半径为R的圆的一切内接三角形中求其面积最大者.,解:如图,若以x,y,z表示三角形的三边所对的圆心角,则 x+y+z=2.,则三角形的面积为:,问题转化为求A在条件x+

5、y+z=2(0 x,y,z)下的最大值.,则,由最大面积的存在性和驻点的唯一性得:,所求三角形为等边三角形.,记,解:因为,所以,又因为,所以在点M处沿r0 方向的方向导数为:,而在点M处的梯度为:,所以,当 a=b=c 时,有,故,当 a=b=c 时,此方向导数等于梯度的模.,例10:求旋转曲面 z=x2+y2 与平面 x+y2z=2 之间的最短距离.,解:设P(x,y,z)为旋转曲面 z=x2+y2上的任一点,则P到平面 x+y2z=2 的距离为:,问题转化为求x,y,z 满足 zx2y2=0,使得,即,最小.,令,得,解方程组得:,即得唯一驻点,例11:试求曲面 x y z=1上任一点(

6、,)处的法线方程和切平面方程,并证明切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积是一个常量.,证:设 F(x,y,z)=x y z 1,法线方程为:,则,切平面方程为:,注意到=1,所以化简后的切平面方程为:,整理成截距式方程为:,(常量),故所需证明的结果成立.,故切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为:,切平面在三个坐标轴上的截距分别为:3,3,3.,例12:设生产某种产品必须投入两种要素,x和y分别为每生产一件该产品时两要素的投入量,q为产出量.若生产函数为q=2xy,其中,为正常数,且+=1.假设两要素的价格分别为p1和p2,试问:当产量为12时,两要素各投入多少可以使得投入总费用最小?,

7、解一:以两要素投入量x和y为自变量,则问题转化为产出量q=2xy=12的条件下,求总费用p1x+p2 y的最小值.利用拉格朗日乘数法,设拉格朗日函数F(x,y,)=p1x+p2 y+(2 x y 12),令,即,由前两个方程得:,将其代入第三个方程得:,即,解二:注意到条件 2xy=12,等价于,lnx+lny=ln6.,设拉格朗日函数:F(x,y,)=p1x+p2 y+(ln6 lnx lny),令,同样可得上述结果.,例13:假设某企业在两个相互分割的市场上出售一种产品,两个市场的需求价格方程分别是p1=182q1,p2=12q2,其中p1和p2分别表示该产品在两个市场的价格(单位:万元/

8、吨);q1和q2分别表示该产品在两个市场的销售量(即需求量,单位:吨),并且该企业生产这种产品的总成本函数是:C=2q+5其中q表示该产品在两个市场的销售总量,即q=q1+q2.,(1)如果该企业实行价格差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润.(2)如果该企业实行价格无差别策略,试确定两个市场上该产品的销售量及其统一的价格,使该企业的总利润最大;并比较这两种价格策略下的总利润.,解:该企业实行有差别价格策略进行销售,则为无条件极值问题.而如果该企业实行无差别价格策略进行销售,即p1=p2,则为条件极值问题.(1)企业实行价格差别策略,总利润函数为:,l=rC=p1q1+p2q2(2q+5)=2q12q22+16q1+10q25,令,解得q1=4,q2=5,则 p1=10(万元/吨),p2=7(万元/吨).,因驻点唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到.最大利润为:,(万元),(2)企业实行价格无差别策略,则p1=p2,于是有约束条件182q1=12q2,即 2q1q2=6.构造拉格朗日函数:,l=2q12q22+16q1+10q25+(2q1q26),令,解得q1=5,q2=4,则 p1=p2=8(万元/吨).最大利润为:,(万元),由上述结果可知,企业实行差别价格所得总利润大于统一价格所得总利润.,