《高数函数习题》PPT课件.ppt

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1、,二、导数应用,习题课,一、微分中值定理及其应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,中值定理及导数的应用,第三章,一、微分中值定理及其应用难点,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,柯西中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.微分中值定理的主要应用,(1)研究函数或导数的性态,(2)证明恒等式或不等式,(3)证明有关中值问题的结论,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.有关中值问题的解题方法,利用逆向思维,设辅助函数.,一般解题方法:,证明含一个中值的等式或根的存在,可用原函数法找辅助函数。,多用罗尔定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,有时也会用到费马引理，零点定理.,(

2、2)若结论中涉及到含中值的两个不同函数,(3)若结论中含两个或两个以上的中值,可考虑用,柯西中值定理.,必须多次应用,中值定理.,(4)若已知条件中含高阶导数,多考虑用泰勒公式,(5)若结论为不等式,要注意适当放大或缩小的技巧.,有时也可考虑对导数用中值定理.,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,分析:问题转化为证,设辅助函数,由,在 0,1 上满足罗尔定理条件知,至,使,少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.设,设辅助函数,再由,在 x0,1 上满足罗尔定理条件知,至,使,少存在一点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即有,例2.设实数,满足下述等式,证明方程

3、,在(0,1)内至少有一,个实根.,证:令,则可设,且,由罗尔定理知存在一点,使,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设函数 f(x)在0,3 上连续,在(0,3)内可导,且,分析:所给条件可写为,(03考研),试证必存在,想到找一点 c,使,证:因 f(x)在0,3上连续,所以在0,2上连续,且在,0,2上有最大值 M 与最小值 m,故,由介值定理,至少存在一点,由罗尔定理知,必存在,例4.,设函数 f(x)在a,b 上可导,且,试证必存在,证:,由条件不妨假设,而,由极限的保号性,存在,当,时，,同理存在,当,时，,任取,则有,上连续，且,从

4、而由零点定理知结论成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考：,设 f(x)在a,b 上二阶可导,且,试证必存在,如何证明？,思路：,（1）证明在(a,b)内存在f(x)的零点，,于是f(x)有三个零点：,（2）证明在(a,b)内存在f(x)的两个零点；,（3）证明在(a,b)内存在f(x)的零点。,例5.,设函数 f(x)在a,b 上可导,且,之间的任一实数，试证必存在,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,k为介于,作辅助函数,显然F(x)在a,b可导，从而存在最大值 M 和最小值 m.,不妨假设,则,由极限的保号性,存在,当,时，,同理因为,存在,当,时，,从而存在,使得,由费

5、马引理理知,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,且,试证存在,证:欲证,因 f(x)在 a,b 上满足拉氏中值定理条件,故有,将代入,化简得,故有,即要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7.设函数,在,内可导,且,证明,在,内有界.,证:取点,再取异于,的点,对,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,(定数),可见对任意,即得所证.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8.设函数,在,上二阶可导,且,证明,证:,由泰勒公式得,两式相减得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,由题设对,证:,例9.,有,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下式减上式,得,令,机动 目录 上页

6、 下页 返回 结束,例10.求,解:原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11.求,解法1 利用中值定理求极限。因为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,所以原式=a.,解法2 利用泰勒公式,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法3 利用罗必塔法则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,P139 B-3P148 B-3P176 10(2,4),此处不能使用洛必达法则.,且,解:,例12.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,要使f(x)在 x=0 处连续，则应有,存在，确定a 的值使f(x)在 x=0处连续，并求出,二、导数的应用重点,1.研究函数的性态:,增减,极

7、值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.其他应用:,求不定式极限;,几何应用;,相关变化率;,证明不等式;,研究方程实根等.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的连续性及导函数,例1.填空题,(1)设函数,其导数图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,单调减区间为;,极小值点为;,极大值点为.,提示:,的正负作 f(x)的示意图.,单调增区间为;,.,在区间 上是上凸弧;,拐点为,提示:,的正负作 f(x)的示意图.,形在区间 上是下凸弧;,则函数 f(x)的图,(2)设函数,的图形如图所示,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2

8、.证明,在,上单调增加.,证:,令,在 x,x+1 上利用拉氏中值定理,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故当 x 0 时,从而,在,上单调增.,得,例3.设,在,上可导,且,证明 f(x)至多只有一个零点.,证:设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点.,又因,因此,也至多只有一个零点.,思考:若题中,改为,其它不变时,如何设辅助函数?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.求数列,的最大项.,证:设,用对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值.,又因,中的最大项.,极大值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,列表判别:,证:设,则,故,上

9、单调增加,从而,即,思考:证明,时,如何设辅助,函数更好?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.证明,例6.设,证明对任意,有,证：,不妨设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,证:只要证,机动 目录 上页 下页 返回 结束,利用一阶泰勒公式,得,故原不等式成立.,例7.证明当 x 0 时,证:令,则,法1 由,在,处的二阶泰勒公式,得,故所证不等式成立.,与 1 之间),机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2 列表判别:,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法3 利用极值第二判别法.,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试问,为何值时,还是极小.,解:,由题意应有,又,取得极大值为,例8.,求出该极值,并指出它是极大,机动 目录 上页 下页 返回 结束,试求,解:,例9.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故所求最大值为,由参数方程,解:,例9.设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,确定，求曲线,的上凸区间.,当-3t1时，,此时0 x10,故f(x)的上凸区间为,P176 10(1，5，6)；11(1，3);13;18,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业,