《非线性物理》PPT课件.ppt

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1、第五章 孤立波,一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进。,第五章 孤立波,第一节 历史回顾第二节 KdV方程第三节 正弦高登方程第四节 非线性薛定谔方程与 光学孤立子,1.一个奇特的水波2.孤立波与孤立子,第一节 历史回顾,1.一个奇特的水波,1834年，苏格兰海军工程师罗素(J.Scott Russell)在一次偶然中观察到一种奇特的水波。他看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进，当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进在行进

2、过程中其形状与速度没有明显变化。罗素称之为 孤立波-Solitary wave。,罗素的发现,1.一个奇特的水波,罗素的发现,实验结果表明水波的运动速度与波幅高度有关，波幅越高速度越快，且波幅的宽度对高度之比也越小。,水槽中的实验 罗素在一长水槽的一端，用一重锤垂落入水中，反复的观察重锤激起的水浪的运动。,实验发现水波移动速度 v、水的深度 d 及水波幅度 A的关系为,B 为比例常数,1.一个奇特的水波,KdV方程 半个多世纪后，1895年，两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与德弗雷斯(de Vries)认为：罗素观察到的孤立波是波动过程中 非线性效应与色散现象互相平衡 的结果。他们建立

3、了KdV方程：sech(x)为双曲正割函数,具有钟形形状。,漫长的发展史,FPU问题 又过了半个多世纪，1955年，美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米(E.Fermi)、帕斯塔(J.Pasta)和乌莱姆(Ulam)设计了一个数值计算实验：“非线性弹簧联结的64个质点组成弦的振动”，发现初始对少数质点激发，长时间后能量几乎全部回到了初始集中在少数质点上的状态。,1.一个奇特的水波,漫长的发展史,1965年，两位美国数学家，采布斯基(Zabusky)与克鲁思卡尔(Kruskal)，用计算机计算发现，FPU 问题与 KdV 方程的解直接有关。此后，人们发现，在许多物理体系中都存在KdV方程，说

4、明孤立波是一种普遍存在的物理现象。KdV方程成为数学物理的一个基本方程,1.一个奇特的水波,孤立波方程 人们在理论上和实验上对孤立波巳作了大量的研究。此后发现，除KdV方程外还有其它微分方程具有孤立波解。在数学上通常认为下列非线性方程的解的性质具有孤立波特性。(1)KdV方程(2)正弦高登(Sine-Gordon)方程(3)户田(M.Toda)非线性晶格方程(4)非线性薛定谔方程(NLSE),漫长的发展史,在形态上孤立波是存在于自然界里的相干结构(coherent structure，或称拟序结构)。从美丽的木星上的巨型红斑到固体中的电荷密度波都属于这样的有序结构。从运动形态上讲相干结构与混沌

5、运动既是相互对立的，又是具有内在联系的两种非线性现象。混沌运动是非线性中奇妙的无序状态，相干结构反映了非线性系统中的惊人有序性。,孤立波,在尺度上：大到天文范围(木星上巨型红斑达4108米，约地球与月亮之间的距离；泰国安达曼海面出现的孤立波约150公里宽；水面上孤立水波的尺寸在1米量级)，小到纳米(二硫化钽晶体中的电菏密度孤立波)。,2.孤立波与孤立子,木星红斑,2.孤立波与孤立子,孤立子,计算发现，两个在空间传播的孤立波具有碰撞特性，说明：(1)孤立波非常的稳定；(2)象一个物质粒子。人们将具有碰撞特性孤立波称为“孤立子-soliton”，简称“孤子”。孤立子是由非线性场所激发的、能量不弥散

6、的、形态上稳定的准粒子。,2.孤立波与孤立子,孤立子,定义向单方向传播的行波；分布在空间的一个小区域中；波动形状不随时间演变而发生变化；孤立波之间的相互作用具有类似粒子一样的弹性碰撞。,孤立子 具有一切粒子所具有的特性，如能量、动量、质量、电荷、自旋等等，也遵循一般的自然规律，如能量、动量、质量守恒定律。它又有波动性，存在于一切可以出现波动的介质里。,孤立波在哪里？孤立波除存在于浅水层外，还可在水层深处。固体介质、电磁场、等离子体、生物体、以及微观粒子的波动性中都可能有孤立波存在。它是一种行波，既可以速度 v 在空间传播，又可以处于静止状态。,2.孤立波与孤立子,孤立波类型,(i)波包型(ii

7、)凹陷型(iii)扭折型(iv)反扭折型(i)、(ii)两种在 时，(iii)、(iv)两种是在 时,u(x)趋近于不同的数值,1.波动中的非线性会聚效应2.波动中的色散3.KdV方程4.KdV方程的孤立波解,第二节 KdV 方程,1.波动的会聚效应,浪花的形成,远处传来的海浪越近海岸，浪头越高，终于在离海岸不远处卷起了浪花。这是因为海滩对水浪运动产生某种阻滞力，浪的较低部分受到阻滞力大，较高部分阻滞力小。因此当水浪高处前进速度大，低处前进速度小，水浪会在前进中越来越前倾，在某一时刻波前出现坍塌，卷起了浪花。当水浪的不同部分有不同行进速度时，会出现会聚效应，形成浪花。,1.波动的会聚效应,浪花

8、的形成,数学表述设介质中x 处的粒子密度 n(x,t)，由粒子守恒 dx/dt=v 如果速度v=v0是常数，方程具有行波解：n=(x-v0 t)介质的移动速度 v0 即波速。在初始时刻介质中出现的扰动 n(x,0)=F(x)，波动将在传播中保持不变。波动将以速度 v0无畸变地沿 x 方向前进。如果波动的速度 v 与介质的密度 n 有关，设：n(x,t)=F x-v(n)t当 出现波包前沿变陡，形成波包会聚。,2.波动中的色散,平面波的相速,一个频率 w 为沿 x 方向传播的平面波为：,2.波动中的色散,色散波,如果所有谐波都以同一的速度行进，w1/k1=w2/k2=.=常数，是非色散波；如果每

9、个谐波都有不同的行进速度，w/k常数，是色散波。色散波将在传播中因弥散而消失。,一个波动可以看成许多平面波（谐波）w1、w2、w3 的合成：,2.波动中的色散,色散关系,设一波动方程：得关系将解代入：得色散关系 由色散关系可求得波的群速,线性波动方程与色散关系间存在着对应关系。于是便可以在波动方程与色散关系之间建立直接的对应。根据对应关系，可以由色散关系直接构造出波动方程来。,3.KdV 方程,KdV方程的推导,对于不可压缩介质，粒子数密度 n 应用粒子速度 v 来替代，即有在重力作用下水波的色散关系：(g-重力加速度，h 水深)w(k)=g k tank(k h)级数展开近似式 利用考虑导致

10、波形坍塌的非线性效应得KdV方程,KdV方程的孤立波解,设方程的解为方程变为整理后其解是罗素观察到的水面上奇特水波,3.KdV 方程,1.一维原子链与正弦高登(sine-Gordon)方程 2.正弦高登方程孤立波解,第三节 正弦高登方程,1.一维原子链与sine-Gordon方程,一维原子链模型：一串周期地束缚在非线性弹簧上的原子。原子链的哈密顿为：设势函数，第k个原子的运动方程为：,S-G 方程,(V(y)为外场势能),1.一维原子链与sine-Gordon方程,通过将分离变量运动方程过渡到连续变量 一般情况 S-G 方程,S-G 方程,V=cosy 时,2.sine-Gordon方程孤立波

11、解,方程 的解取形式 则得常微分方程 利用特殊函数积分公式可得 两种特殊情况(1)，snxsinx(2)，snxthx,S-G 方程解,为椭圆函数的模数,2.sine-Gordon方程孤立波解,由双曲函数公式经推导得 最后得解 称 正、反 扭折解,S-G方程解,2.sine-Gordon方程孤立波解,解的性质：(1)扭折解 当 时，;当 时，(2)反扭折解 当 时，;当 时，SineGordon方程解可以解释的物理现象：晶格位错的传播、磁体中畴壁的运动 电荷密度波、基本粒子模型、超导约瑟夫森结的列阵构成的传输线 等。,S-G方程解,光纤中的光脉冲压缩效应 非线性薛定谔方程（NLSE）及孤立波解

12、光学孤子的传播特性孤子激光器全光型孤子通信,第四节 非线性薛定谔方程与光学孤子,1.光纤中的光脉冲压缩效应,光纤是二氧化硅为主要成分的细丝，直经在数微米至数十微米，外面为包层和涂敷层。设线芯、包层和涂敷层的折射率分别为 n1、n2、n0。n1 n2，所以包层界面有临界全反射角。如果满足全反射条件，光线将在光纤和包层的界面上，产生全反射而向前传播。,光纤导光原理,与KdV方程孤立子类似，由非线性薛定谔方程(NLSE)描述的光学孤立子是光纤的色散效应与非线性压缩效应平衡的结果。,1.光纤中的光脉冲压缩效应,光纤的非线性效应,入射进光纤光束为强激光，常看成准单色光。在强光作用下，光纤出现非线性极化。

13、极化矢量 P 与场强 E 的关系：c(1)，c(2)，c(3)，分别为线性的与二次、三次极化率，通常(2)=0。由电位移矢量 D 与极化矢量 P的关系D=0E+P，忽略高次非线性效应有：，其中。,1.光纤中的光脉冲压缩效应,光纤的非线性效应,相移量与光强有关，因而导致不同部位的光脉冲有不同相移，称自相位调制(SPM)，SPM相移引起频率移动,1.光纤中的光脉冲压缩效应,设光脉冲是准单色光：其中w0为中心频率。对脉冲前沿，I/t 0、0。因此脉冲前、后沿频率变化是不同的，这种现象被称为“啁啾”效应。,光脉冲的啁啾效应,1.光纤中的光脉冲压缩效应,假设介质有负色散特性，vg/0，即群速随频率升高而

14、增加。由脉冲前沿 0，其速度比脉冲中部快。前沿变慢后沿加快的结果造成脉宽被压缩变窄，这称为自相位调制压缩。,光脉冲的啁啾效应,光脉冲在介质中传播时，色散效应使其展宽，而自相位调制压缩使其变窄，如果两种作用恰好相互抵消，则脉冲在介质中将既不展宽又不压缩，保持形状不变地向前传输，几形成光孤子。,2.非线性薛定谔方程(NLSE),NLSE方程的导出,将准单色光传播常数 k 按中心频率 w0 处展开,2.非线性薛定谔方程(NLSE),NLSE方程的导出,得方程：,该方程被称为非线性薛定谔方程(Nonlinear Schrdinger Equation)，简称NLSE方程。,变换到以群速 vg 的运动坐

15、标系，并用 y 表示光场：NLSE 方程变为：设解为：NLSE 的解是受孤立波脉冲u()调制的，即包络为孤立波的光脉冲波。,NLSE 的孤立波解,2.非线性薛定谔方程(NLSE),光学孤子,3.光学孤立子的传播特性,设在 x=0(x=0)处对光纤输入一个双曲正割型脉冲波系数 A 可为任意值，当为整数 N 时为稳定孤子，N1 为基本孤子。,当输入光脉冲幅度超过基本孤子幅度时，在传输中非线性压缩超过色散，光脉冲会进一步压缩，形成 N2时为的高阶孤子。高阶孤子在传播中波形发生周期变化。对于 N2 的二阶孤子解二阶孤子以/2 周期发生周期性波形变化。在半周期/4处，在孤子主峰的两侧，各出现有一个小峰。

16、,3.光学孤子的传播特性,光学孤子,N3的三阶孤子在传播中变化更复杂。它在 1/4 与 3/8 周期处，变成两侧各有一个小峰的高大尖峰，在半周期处那个高大尖峰又分裂为两个峰。,4.孤子激光器,第一个孤子激光器,目前光学孤子产生有用两种方法：(1)将锁模激光器产生的超短激光脉冲输入光纤，在光纤中产生受激拉曼散射形成光学孤子。(2)光纤直接接入激光器反馈回路，是激光器一部分，称孤子激光器。实验上贝尔实验室的 Mollenaure 等人首先观察到光纤中的孤子。所用的试验装置包括光脉冲放大与压缩两部分，使用两个光学谐振腔：色心激光器谐振腔与光纤脉冲压缩谐振腔。两个腔耦合成复合的激光谐振腔。,光学通信,

17、5.全光型孤子通信,线性通信 利用光纤进行通信，通信容量大大增加，费用大幅度下降，是通信事业大发展的技术基础之一。目前光纤通信技术采用低强度光脉冲的线性通信。在光纤中传布不可避免地产生色散，造成光脉冲的加宽与变形，大大影响到光信息传送质量与距离。长距离高质量传送信息，需要设置许多中继站，每隔 100km 设置一个。,光学孤立波通信 1973年，Hasegawa(长谷川)和 Tappert 两人，利用非线性薛谔方程首次导出在光纤的反常色散区能够形成光学孤子，建立了光学孤立波通信理论基础。由于传播中能量与波形保持稳定不变，孤子通信具有诱人的美妙前景。,光学通信,5.全光型孤子通信,孤子在传播中不可

18、能没有一点能量损失。如在传输中无需通过中继站即可得到能量补充，恢复并保持孤子形状，这就是所谓的全光型孤子光纤通信。1982年，Y.Kodama等人提出拉曼泵浦技术来实现孤立子能量补充。,掺铒光纤孤子通信,5.全光型孤子通信,拉曼泵浦技术：两列不同频率的光波在光纤中共同传输，当能量足够大时，频率高的光波会将其部分的能量转移给低额的光波。波长980mm的半导体激光为泵浦光，通过波分复合器与波长为1550mm的信号光一起进入掺铒光纤。两路光脉冲在掺铒光纤中同方向传播。泵浦光为强光脉冲，在传播中对铒离子产生一路激发，信号光在受到激发的光纤中传播，强度逐步增强，完成对信号光能量的补充。利用拉曼泵浦技术，

19、现已成功进行了数万 km 长距离试验。,附加内容：空间光孤子(Appendix:Spatial solitons),A1 什么是空间光孤子,A2 空间光孤子间的相互作用,Coherent interaction,Incoherent interaction,A：平行同相入射，B：交叉同相入射，C：平行反相，D：平行相位差为/2，E：平行相位差为3/2，F：饱和非线性介质中两个小间距平行入射孤子的融合,A3 液晶中的空间光孤子 给液晶施加一外电场，液晶分子就会受到外加电场施加的转矩，如果转矩很强，则会导致液晶分子的重新取向，使液晶分子的指向矢 向电场方向变化。,液晶分子重新取向的自聚焦效应,Ph

20、otographs of(a)a linearly diffracting and(b)a soliton beam of 2 mW power from an argon-ion laser at 514 nm.In(a),the light was polarized orthogonally to the reorientation plane(x-z).,A single soliton,All-optical switching/logic,All-optical power dependent X-junction.(a)Signals S1 and S2 at 633 nm ar

21、e co-launched with soliton beams A and B at 514 nm,respectively.At low powers(solid line trajectories in blue)the signals proceed straight;at high power(dashes)they cross and their output positions are flipped.(b)Actual evolution of the guided signals in(y-z)plane,for low-(top,1.7 mW)and high-power(

22、bottom,4.3 mW)solitons.,实验光路1(展凯云),液晶中空间孤子的实验观测,液晶材料中的空间光孤子(哈尔滨工业大学物理系光学信息处理研究室),展凯云，裴延波，侯春风，向列液晶中空间光孤子的观测，物理学报.2006，55(9):4686-4690,实验光路2(郝利丽),掺杂甲基红的向列相液晶中空间孤子的观测,掺杂甲基红浓度分别为0.4%、0.7%时液晶盒内的空间孤子,(a)(b),(b),(c)(d),郝利丽，掺杂甲基红的向列相液晶中空间孤子及其诱导波导的研究，哈尔滨工业大学理学硕士论文，2007.6,课程考核报告备选题目：,单摆的复杂运动常见的分岔形式平方映射中的倍周期分岔动力学系统进入混沌的几种方式规则分形维数的计算KdV方程及其孤立波解光纤中光孤子产生的机理及孤子通信,