《集合与实数集》PPT课件.ppt

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1、,第一章,二、实数集及其完备性,一、集合及其运算,第二节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,集合与实数集,元素 a 属于集合 M,记作,元素 a 不属于集合 M,记作,一、集合及其运算,1.定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:M 为数集,表示 M 中排除 0 的集;,表示 M 中排除 0 与负数的集.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示法：,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x 所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p 与 q 互

2、质,实数集合,x 为有理数或无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是 B 的子集,或称 B 包含 A,2.集合之间的关系,定义2.,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如,显然有下列关系:,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 3.给定两个集合 A,B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,3.集合的运算法则,为任意三个集合,则下列法则成立:,(1)交换律,AB,=BA,AB,=BA;,(2)结合律,(AB)C,=A(B C),(AB)C,=A(B C);,(3

3、)分配律,(AB)C,=(A C)(B C),(AB)C,=(A C)(B C);,(4)对偶律,(AB)C,=AC BC,(AB)C,=AC BC;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、实数的性质,实数的性质:,1.实数对加减乘除运算是封闭的;,2.实数是有序的;,3.实数具有稠密性;,4.实数与数轴上的点一一对应.,二、实数集及其完备性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、常用的不等式,(1)绝对值不等式,运算性质,绝对值不等式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2)伯努利(Bernoulli)不等式,(3)平均值不等式,用数学归纳法可证上面两个不等式.,机动 目录 上页 下页

4、 返回 结束,无限区间,半开区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,开区间,闭区间,3、区间与邻域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,点的 邻域,其中,a 称为邻域中心,称为邻域半径.,去心 邻域,左 邻域:,右 邻域:,4、确界与确界原理,对于有限数集,一定有最大值和最小值.,如,但对于无限数集,就未必有最大值和最小值.,如,没有最大值和最小值.,Maximum minimum,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义1:设E为一非空数集,如果存在数M,使得对,则称M是E的一个上界,下界,若数集E既有上界又有下界,则称E为有界数集,否则就称为无界数集.,思考:,若数集E有上(或下)界,则

5、其上(或下)界是否唯一?,2.是否任何一个数集都有上(或下)界?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,结论:,任何一个有限区间都是有界数集,任何一个无限区间都是无界数集.,定义2(确界).,设E为一非空数集,若数,是E的一个上 界,且对E的任意一个上 界,上确界(最小的上界).,记作,(下),(下),下确界(最大的下界).,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例 设,求其上(下)确界.,思考:,一个有界数集是否一定有上(下)确界?若有,是否唯一?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1(确界原理),一个非空有上(下)界的数集必存在上(下)确界.,由实数理论可证.,定理2,(1)设E是有上界的非空数集,则,(2)设E是有下界的非空数集,则,利用反证法.,实数的完备性或连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3,若数集E包含了它的一个上界,则,例 设,求其上(下)确界.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、集合,集合概念,集合的运算,2、实数的性质,4、确界与确界原理,3、区间与邻域,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,作业 P8 5，6,