[其它技巧]大学量子力学QMChap3.ppt
《[其它技巧]大学量子力学QMChap3.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《[其它技巧]大学量子力学QMChap3.ppt(127页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、第三章 量子力学中的力学量,经典力学:粒子的运动状态由坐标和动量 描述,力学量由的坐标和动量的函数描述。例如:动能,势能,角动量。量子力学:粒子的运动状态由波函数 描述,力学量由算符描述。需要什么样的算符来描述,如何描述,正是本章的内容。,主要内容,3.1 表示力学量的算符3.2 动量算符和角动量算符3.3 电子在库仑场中的运动3.4 氢原子3.5 厄密算符的本征函数的正交性3.6 算符与力学量的关系3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系3.8 力学量平均值随时间的变化 守恒定律,(一)算符定义(二)算符的一般特性,3.1 表示力学量的算符,算符代表对波函数进行某种运算
2、或变换的符号,1)du/dx=v,d/dx 就是算符,其作用 是对函数 u 微商,故称为微商算符。,2)x u=v,x 也是算符。它对 u 作用 是使 u 变成 v。,(一)算符定义,用算式表示为:算符 表示对函数 的运算得到另一个函数。例如:,(6)厄密算符(7)算符的本征值方程(8)力学量算符的构成,(1)线性算符(2)算符相等(3)算符之和(4)算符之积(5)算符函数,(二)算符的一般特性,(1)线性算符,定义:(c11+c22)=c11+c22其中c1,c2是任意复常数,1,1是任意两个波函数。,例如:,若两个算符、对体系的任何波函数 的运算结果都相同,即=,则算符 和算符 相等记为=
3、。,开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意:描写可观测量的力学量算符都是线性算符,这是态叠加原理的反映。,(2)算符相等,(3)算符之和,定义:若两个算符、,对体系的任何波函数 有:(+)=+=则+=称为算符之和。,例如:,注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。-=+(-)。很易证明线性算符之和仍为线性算符。,显然,算符求和满足交换率和结合率。,(4)算符之积,定义:若()=()=则=其中是任意波函数。,一般来说算符之积不满足交换律,即 这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。,若,则称 与 不对易。,设给定一函数 F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛,则可定义算符 的函数 F(
4、)为:,(5)算符函数,例如:,这样形式的方程称为算符的本征值方程。,本征值方程的解:求得满足方程的一系列本征值:和相应的本征函数:,(6)算符的本征值方程,(7)厄密算符,1.定义:满足下列关系的算符称为 厄密算符.,注 II:两个厄密算符之积一般不是厄密算符,除非二算符对易。(请同学们自己证明),注 I:两个厄密算符之和仍是厄密算符。,2.注:,若 则有 证毕.,证明:,3.定理:厄密算符的本征值一定是实数。,量子力学中表示力学量的算符必需是线性,厄密算符,且它的本征函数构成完备系.经典力学中力学量是坐标r和动量p的函数,把坐标保持不变,动量换为动量算符就构成了量子力学中相应的力学量算符.
5、,例如,没有经典对应的力学量则唯象地引入,如宇称和自旋等.,(8)量子力学中力学量算符的构成,(一)动量算符(1)Dirac 函数(2)动量本征方程(3)动量本征函数归一化(二)角动量算符(1)角动量算符的形式(2)角动量本征方程(3)角动量算符的对易关系(4)角动量升降阶算符,3.2 动量算符和角动量算符,(一)Dirac 函数,1.定义:,或等价的表示为:对在x=x0 邻域连续的任何函数f(x)有:,2.性质:,推广到三维:,3.函数 亦可写成 Fourier 积分形式:,令 k=p/,dk=dp/,则,此式是函数 的积分表示式.,(二)动量算符的本征值和本征函数,1.动量本征方程,I.求
6、解,采用分离变量法,令:,解方程式可以得到,这里的常数c是真正的常数这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。,于是:,2.归一化系数的确定,无法正常归一化.,连续谱本征函数的归一化 连续谱本征函数规定归一化为函数即:,(3)箱归一化,在箱子边界的对应点A,A上加上其波函数相等的条件,此边界条件称为周期性边界条件。,据上所述,具有连续谱的本征函数如:动量的本征函数是不能归一化为一的,而只能归一化为-函数。,但是,如果我们加上适当的边界条件,则可以用以前的归一化方法来归一,这种方法称为箱归一化。,周期性边界条件,这表明,px 只能取分立值。换言之,加上周期性边界条件后,连续谱变
7、成了分立谱。,这时归一化系数 c 可由归一化条件来确定:,讨论:,(1)由 px=2nx/L,py=2ny/L,pz=2nz/L,可以看出,相邻两本征值的间隔 p=2/L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时,本征值间隔可任意小,当 L 时,本征值变成为连续谱。,(2)从这里可以看出,只有分立谱才能归一化为一,连续谱归一化为 函数,(3)p(r)expiEt/就是自由粒子波函数,在它所描写的状态中,粒子动量有确定值,该确定值就是动量算符在这个态中的本征值。,(三)角动量算符,(1)角动量算符,(I)直角坐标系,定义角动量平方算符,(2)球坐标,将(1)式两边分别对 x y z 求偏导数得:,将
8、(2)式两边分别对 x y z 求偏导数得:,对于任意函数f(r,)(其中,r,都是 x,y,z 的函数)则有:,将(3)式两边分别对 x y z 求偏导数得:,将上面结果 代回原式得:,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为:,(3)L2的本征值问题,该方程的解就是球函数Yl m(,),其表达式:,为使 Y(,)在 变化的整个区域(0,)内都是有限的,则必须满足:=(+1),其中=0,1,2,.,归一化常数,由归一化条件确定,得到归一化常数,结果,其正交归一 条件为:,具体计算请参考有关数学物理方法的书籍,在这里就不作详细介绍了。,(4)本征值的简并度,(A)简并:属于同一个本征值的线性无关的
9、本征函数有若干个,这种现象称为简并。(B)简并度:算符F的属于第n个本征值的线性无关的本征函数有fn个,称算符F的第个n本征值是fn度简并。,算符 本征值的简并度,由于量子数 表征了角动量的大小,所以称为角量子数;m 称为磁量子数。,可知,对应一个 值,m 取值为 0,1,2,3,.,共(2+1)个值。因此当 确定后,尚有(2+1)个磁量子状态不确定。换言之,本征值 的简并度是(2+1)度。,根据球函数定义式,3.3 电子在库仑场中的运动,(一)有心力场下的 Schrdinger 方程(二)求解 Schrodinger 方程(三)使用标准条件定解(四)归一化系数(五)总结,返回,H的本征方程,
10、1.哈密顿算符,(一)有心力场下的 Schrodinger 方程,(2)分离变量求解方程,角向方程的解,中心力场问题可以分离变量简化为两个方程,一个是角向方程,另一个是径向方程。下面来分别讨论,角向方程就是角动量平方算符的本征值方程,它的解已得到了.于是中心力场问题归结为求解径向方程:,显然,对于 不同的值,有不同的径向方程。先求得方程的通解,再考虑波函数标准条件,即可得到能级 和波函数。一般讲,能级 和径向波函数:它们都与两个量子数n和l有关。,1.库仑场,(二)电子在库仑场中运动,2.求解径向方程:,我们只讨论束缚态 E0,令,(2)求解,(I)解的渐近行为,时,方 程变为,所以可 取 解
11、 为,有限性条件要求 A=0,2,(II)求级数解,令,为了保证有限性条件要求:,当 r 0 时 R=u/r 有限成立,即,代入方程,令=-1 第一个求和改为:,把第一个求和号中=0 项单独写出,则上式改为:,再将标号改用 后与第二项合并,代回上式得:,s(s-1)-(+1)b0=0,s(s-1)-(+1)=0,S=-不满足 s 1 条件,舍去。,s=+1,高阶项系数:,(+s+1)(+s)-(+1)b+1+(-s)b=0,系数b的递推公式,注意到 s=+1,上式之和恒等于零,所以得各次幂得系数分别等于零,即,2.使用标准条件定解,(3)有限性条件,1.0 时,R(r)有限已由 s=+1 条件
12、所保证。,2.时,f()的收敛性 如何?需要进一步讨论。,所以讨论波函数 的收敛 性可以用 e 代替 f(),后项与前项系数之比,可见若 f()是无穷级数,则波函数 R不满足有限性条件,所以必须把级数从某项起截断。,与谐振子问题类似,为讨论 f()的收敛性现考察级数后项系数与前项系数之比:,最高幂次项的 max=nr,令,注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+1,则,量 子 数 取 值,由 定 义 式,由此可见,在粒子能量 小于零情况下(束缚态)仅当粒子能量取 En 给出 的分立值时,波函数才满 足有限性条件的要求。,En 0,将=n 代入递推公式:,利用递推公式可把 b1,b2,.,bn-
13、1 用b0 表示 出来。将这些系数代入 f()表达式得:,其封闭形式如下:,缔合拉盖尔多项式,总 波 函 数 为:,至此只剩 b0 需要归一化条件确定,则径向波函数公式:,径向波函数,第一Borh 轨道半径,使用球函数的 归一化条件:,利用拉盖尔多项式的封闭形式采用与求谐振子波函数归一化系数类似的方法就可求出归一化系数表达式如下:,从而系数 b0 也就确定了,3.归一化系数,下面列出了前几个径向波函数 R n l 表达式:,(1)能级和波函数,(2)能级简并性,能量只与主量子数 n 有关,而本征函数与 n,m 有关,故能级存在简并。,n=nr+l=0,1,2,.nr=0,1,2,.,(三)总结
14、,能级En 是n2度简并(不考虑自旋).当n=1 对应于能量最小态,称为基态能量,E1=Z2 e4/2 2,相应基态波函数是100=R10 Y00,所以基态是非简并态。,当 n 确定后,=n-nr-1,所以 最大值为 n-1。当 确定后,m=0,1,2,.,。共 2+1 个值。所以对于 E n 能级其简并度为:,(4)简并度与力场对称性,由上面求解过程可以知道,由于中心力场是球对称的,所以径向方程与 m 无关,而与 有关。因此,对一般的有心力场,解得的能量 E 不仅与径量子数 nr有关,而且与 有关,即 E=Enl,简并度就为(2+1)度。但是对于库仑场-Ze2/r 这种特殊情况,得到的能量只
15、与 n=nr+1有关。所以又出现了对 的简并度,这种简并称为附加简并。这是由于库仑场具有比一般中心力场 有更高的对称性的表现。,(一)二体问题的处理(二)氢原子能级和波函数(三)类氢离子(四)原子中的电流和磁矩,返回,3.4 氢原子,量子力学发展史上最突出得成就之一是对氢原子光谱和化学元素周期律给予了相当满意得解释。氢原子是最简单的原子,其 Schrodinger方程可以严格求解,氢原子理论还是了解复杂原子及分子结构的基础。,经典二体运动可化为:,I 一个具有折合质量的粒子在场中的运动 II 二粒子作为一个整体的质心运动,一个电子和一个质子组成的氢原子的哈密顿算符:,将二体问题化为一体问题,令
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 其它技巧 其它 技巧 大学 量子力学 QMChap3
链接地址:https://www.31ppt.com/p-5616602.html