[其它技巧]D35反常积分.ppt

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1、,第五节,常义积分,积分区间有限,被积函数有界,推广,反常积分,(无限区间或无界函数的积分),反常积分,第五章,本节内容：,5.1 无穷区间上的积分,5.2 无界函数的积分,5.3 无穷区间上积分的审敛准则,5.4 无界函数积分的审敛准则,5.5,函数,引例.曲线,和直线,及 x 轴所围成的开口曲,边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,5.1 无穷区间上的积分,例5.1 在一个由带电量为,的点电荷形成的电场中，,求与该点电荷相距为,处的电位。,分析：根据物理学知识，该点处的电位,等于位于,该点处的单位正电荷移至无穷远处电场力所做的功。,解 以点电荷,所在处为原点建坐标轴如图,单位正电荷位于坐标

2、轴上距原点,处。,则当单位正电荷由,处,移至,处，电场力,所做功为,其中,为常数.,该电荷从,移到,处电场力所做功为,令,则电场在,处的电位为,即,定义5.1（无穷积分）设,在,无穷积分，记作,在无穷区间,在,上,可积,则称,若对任何,为,上有定义.,上的积分,简称,若极限,存在,则称,在,上的积分收敛，称该极限为,类似地,可以定义,及其敛散性.,若极限不存在，则称,在,上积分的值.,收敛与发散统称为敛散性.,在,在,上的积分发散.,定义为,在,上的积分,上的积分,其中c 为任一常数.,和,若极限,发散.,只要有一个极限不存在,就称,都存在,则称,在,上的积分,收敛；,例5.2 证明第一类 p

3、 积分,当 p 1 时收敛;,p1,时发散.,无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.,说明:上述定义中若出现,并非不定型,它表明,该反常积分发散.,当 p 1 时有,因此,当 p 1 时,反常积分收敛,其值为,当 p1 时,反常积分发散.,证:当 p=1 时有,例5.3 计算反常积分,解:,引入记号,则有类似牛 莱公式的计算表达式:,例5.4 计算反常积分,解:,思考:,分析:,原积分发散!,注意:对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用,“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.,5.2 无界函数的积分,引例:曲线,所围成的,与 x 轴,y 轴和直线,开口曲边梯形的面积,可记作,其含义可理解为,定义

4、5.2（无界函数的积分）设,定义在,而在点 a 的右邻域内无界,(称,存在,则称此极限为函,数 f(x)在(a,b 上的反常积分,记作,这时称反常积分,收敛;,如果上述极限不存在,就称反常积分,发散.,为奇点),若极限,类似地,若,若,上有定义,b为奇点,则定义,在,定义在,上,为奇点,c(acb),则定义,若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类,间断点,则本质上是常义积分,而不是反常积分.,注意：,例如,无界函数的积分又称作第二类反常积分.,无界点(奇点)常称,为瑕点.,注意:若奇点,计算表达式:,则也有类似牛 莱公式的,若 b 为奇点,则,若 a 为奇点,则,若 a,b 都为奇点,则,则

5、,可相消吗?,下述解法是否正确:,积分收敛,例5.5 计算反常积分,解:显然奇点为 a,所以,原式,例5.6 讨论反常积分,的收敛性.,解:,所以反常积分,发散.,例5.7 证明反常积分,证:当 p=1 时,当 p 1 时,时发散.,当 p1 时,所以当 p 1 时,该广义积分收敛,其值为,当 p 1 时,该广义积分发散.,收敛;p1,例5.8,5.3 无穷区间上积分的审敛准则,这一部分我们寻求通过被积函数的性态来判定无穷,区间上积分敛散性的方法。,定理5.1(比较准则,）,且,则,证:,由,知,则由,知,的,是,单调递增有上界函数,因此,极限存在,利用上述结论及反证法可证.,例5.9,证明无

6、穷积分,的收敛.,证:,又,由比较准则 1 可知原积分收敛.,定理5.2(比较准则,),设函数,连续非负，并有,则：,（证明略）,在用比较准则2时，经常用,来判定,的敛散性.,例5.10 判别反常积分,的敛散性.,解:,根据比较准则2,该积分收敛.,例5.11 判别反常积分,的敛散性.,解:,根据比较准则2,该积分发散.,定理5.3,证：,则,而,绝对收敛.),定义.设反常积分,则称,绝对收敛;,则称,条件收敛.,例5.12 判断积分,的敛散性.,解:,根据比,较审敛原理知,故由定理5知所,给积分收敛,(绝对收敛).,5.4 无界函数积分的审敛准则,定理5.4(比较准则,）,设函数,连续,并有,，则,定理5.5(比较准则,),设函数,非负连续,并有,，则,定理5.6（绝对收敛准则）,）,(称为绝对收敛).,则积分,（,注：在用比较准则时,经常取,例5.13判定椭圆积分,定理4,散性.,解:,由于,的敛,根据比较准则 2,椭圆积分收敛.,例5.14 判别反常积分,的敛散性.,解:,故对充分小,从而,据比较准则1,所给积分绝对收敛.,5.5 函数,1.定义,下面证明这个特殊函数在,内收敛.,令,综上所述,2.性质,递推公式,证:,(分部积分),注意到:,内容小结,1.反常积分,积分区间无限,被积函数无界,常义积分的极限,2.两个重要的反常积分,