[其它]2第一章复合命题极其推理1.ppt

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1、复合命题与命题逻辑,逻辑所研究的演绎推理形式主要有两种类型：一种是建立在逻辑联词的性质上的命题之间的推理形式。另一种是建立在命题分析后的词项性质上的推理，主要有量词、模态词的推理。在中国古代，关于命题以及推理的学说属于“辞”和“说”的理论。“辞”相当于现在的“语句”，“说”相当于现在的“推理”。,主要内容,第一节，命题与推理概述 第二节，命题逻辑的推理 联言，选言，假言，负命题 其它推第三节，真值表第四节，形式证明第五节，真值树,第一节，命题与推理概述,一，判断、命题与语句 1判断 判断是对思维对象有所断定的思维形式。有所断定就是对思维反映的对象的属性有所肯定或有所否定。判断有两个明确的特点：

2、第一，所有的判断都表达了主体的愿望、心理、情绪。因此判断有“心理因素”的成分。第二，判断有明确的真假意义。判断的心理因素曾经引起过逻辑学家们的“注意”，认为这是引起逻辑混乱或推理错误的原因之一。,2，命题,命题是对思维对象的反映，但是它对所反映的内容不作任何断定。命题是对判断的抽象，是去掉了判断对思维的断定成分，仅仅保留下对思维内容的陈述。“孙子是古代的著名军事家”。“火星上有生命”。“n是最大的自然数”命题尽管没有“断定”的成分，但是它有真假，它 是真假的载体。命题具有真值的含义可以进一步表述为：“命题要么陈述了事实，要么没有陈述事实”。,3，语句,语句是语词的结合方式。语句可以区分为自然语

3、言的语句和形式语句。自然语言的语句是有意义的语句，它用自然语言的符号表达。形式语句是没有意义的，或者更准确地说其意义暂时被抽象去了，只考虑它的语法结构。语句是命题或判断的固化形式，离开语句的命题或判断是不存在的。命题是语句的内涵或意义,“判断”、“命题”、“语句”,首先，并不是所有语句都表达命题。只有陈述句和反疑问语句才直接表达命题。在语句中，疑问句，祈使句，感叹句不直接表达命题。其次，语句也是多义的或歧义的。“在城楼上发现了敌人”。“小王的这张画画得真好”。,最后，不同的语句也可以表达相同的命题。“北京是中国的首都”；“中国的首都是北京”。“所有的人都会死”；“所有的人不会长生不死”。区别了

4、语句与命题，就可以方便的解决上面的困难。当然。如果不承认有命题，只承认有语句，可以在语句的一般意义和特殊语境下的意义区别上述的意义不同，但是这样会使思想的分析复杂化，使逻辑的研究陷入纯语言的分析。,二，命题的种类,1，简单命题与复合命题 简单命题是由词项构成的命题。它自身不再含有其它命题了。，“他是一名大学生”，“有的动物是食草类动物”。,简单命题的形式：，基本结构是“主项+谓项”“S(不是)是P”根据主项的语词可以分析为：专名+谓词 Fa 类名+谓词 Fx 摹状词+谓词 F（x），按照量词划分，全称的，特称的，单称的,复合命题,复合命题是由命题构成的命题。也就是说，复合命题可以分析为命题和逻

5、辑联词。，“今天不下雨”，“如果台湾的分裂分子公开把台湾从中国分裂出去，那么台海就没 有了和平”，“或者今天下雨或者今天不下雨”。基本的复合命题可以进一步划分为联言、选言、假言和负的复合命题，它们是复合命题与推理讨论的基本对象。,复合命题的逻辑形式：“真值函项”f（A）。f是逻辑词-逻辑常项，A是逻辑变项。根据A的个数，可以分为0元的，1元的，二元的等等：主要有：非p（p）p并且q（pq），p或者q（pq），如果p则q（pq）等,2，直言命题、关系命题和信念命题,命题反映的是思维对象的属性。反映思维对象的性质的命题是性质命题，又称“直言命题”。反映思维对象之间的关系的命题是关系命题。例如：，“

6、所有的金属都导电”；，“济南在南京与上海之间”。,区分关系命题与省略的复合命题,，“岳飞和秦桧是南宋人”；，“岳飞和秦桧同在南宋做官”。可以处理成“岳飞是南宋人并且秦桧是南宋人”，因此是复合命题。如果处理成“岳飞在南宋做官并且秦桧在南宋做官”，就同原命题意义不同，因此这是一个关系命题、简单命题。,信念命题,还有一种命题，在语句中含有两个或两个以上的动词，这是由“相信”、“希望”、“认识”等动词构成的语句，例如：“苏格拉底认为自己知道自己无知”；“老师相信他的学生是最优秀的学生”。“相信”，“知道”等动词不同于一般性的逻辑谓词，仅仅从外延上无法满足有些推理规则的有效性。现在称这一类谓词为内涵性的

7、谓词，这些命题的推理不属于传统逻辑研究的范围。,关系命题的形式：F(x,y)信念命题的形式：“s相信p”等。,3、模态命题与非模态命题,依据命题是否含有模态词区分为模态命题与非模态命题。模态词是指“必然”、“可能”、“必须”、“允许”，“知道”、“相信”等语词。含有模态词的命题就是模态命题。模态命题是对客观事物的状况、样式、趋势的反映。,从形式上看，模态命题是在实然命题上加模态词形成的：可能P：p 必然P：p 必须p：Op 允许p：Pp 禁止p：Fp,4分析命题与综合命题(讨论）,这是依据命题的真值特征的划分 分析命题是那些不需要经验事实的证明就可以从它自身的意义显示其真值的命题。综合命题是那

8、些必须有经验事实才能证实其真值的命题。，“今天下雨或者不下雨”；，“地球是圆的并且地球是方的”。，“如果磁铁被加热到红的程度，就会失去磁性”；，“面包对人的身体是有营养的食品”。、是分析的命题，因为我们不需要把它的意义与经验相契合，就知道一个是真的，一个是假的。、都是综合命题，因为前者是从实验中得到的科学发现，后者是从日常生活中得到的经验。,三，推理和有效性,自然语言中：推理是从已知的前提到结论的过程。证明是从真命题的前提到真命题的结论的过程。在形式系统中：演绎是对推理的刻画。是一个公式的序列。证明是一个特别的演绎，从初始公式出发到逻辑后承的过程。,表达推理的前提与结论关系的语词,自然语言中，

9、表达推理的前提与结论关系的语词有很多。主要有：“因为所以”、“由于因此”、“既然就”、“根据则”、“基于故”、“出于则”等等。当然，修辞上也可以省略表示前提或结论的语词。,1.推理的结构,推理是一个命题的序列关系，它从一个或几个已知的命题得到另一个新命题的思维形式。已知的命题叫前提，推出的新命题叫结论。一般形式结构可以表示为：P1 P2 Pn P,前提与结论的次序,在推理的结构上，并不总是把前提放在前面，结论放在后面。如果强调的是结论，就可以把结论放在前面。文化传统不同，也可以有不同的陈述次序，例如古代印度的“因明”逻辑，就是把结论放在前提的前面：宗（结论）：那山有火 因（小前提）：因为那山有

10、烟 喻（大前提）：凡有烟处必有火,推理的横写图式,这个形式也可以写成横的表达式：“P1、P2、Pn P”，“P1、P2、Pn”是推理的前提P是推理的结论，“”是表示推出关系的符号。,推理的命题形式写法,(P1P2Pn）P（P1P2Pn）是前提前提和结论之间用“,举例,“如果A认真上逻辑课就能通过考试，A没有认真上逻辑课，所以A没有通过考试。”“如果下雨，那么地会湿，今天没有下雨，所以地不会湿”。尽管推理的内容不同，但是推理形式是相同的，都可以表示为：PQPQ,把推理表述成命题形式,PQ，P Q（PQ P）Q这是三种不同的表达方式。推理其实就是一个复杂的命题，因此任何推理都可以通过命题来研究。,

11、把推理表示成一个复合命题,一般的来说，推理的形式构造方法：，前提和结论之间用“如果，则”（）连接。，前提之间用“并且（）”连接。,2，有效性,演绎推理的有效性 演绎推理的有效性是指推理的有效或无效。,演绎推理的有效：,“一个推理是有效的，当且仅当，如果前提是真的，那么结论不能假”。由于这是一个形式的定义，它的含义是对于有效的逻辑形式而言，在任何时间和条件下都不能前提真而结论假。,前提与结论可能有的四种情况：,前提真，结论真；前提真，结论假；前提假，结论真；前提假，结论假。有效的推理形式排除的是情况，前提真并且结论假的情况。有三层含义：第一，前提真结论一定真；第二，结论不真，前提一定不能够都真；

12、第三，前提假，结论不一定假。,例子,“所有的牛是羊，有的动物是牛，所以，有的动物是羊”“如果塑料是绝缘材料，那么金属不导电，塑料是绝缘材料，所以，金属不导电。”,例子,“只有罪犯如实交代所犯罪行才能得到从轻惩罚，罪犯如实交代了所犯罪行，因此罪犯会得到从轻惩罚。”“只有2+2=4，5才是偶数，2+2=4，所以5是偶数。”,思考：推理和科学说明,所有的人都有死张三是人所以张三有死这是一个推理，但它不是一个对张三有死的说明或解释什么是一个科学的说明或解释呢？医生会说：张三死于心脏衰竭：所有有某某特征的人都是心脏衰竭张三有某特征所以张三心脏衰竭这也是一个推理，为什么我们认为它是一个说明？请大家思考！,

13、3：真值表，命题的赋值和指派,二值逻辑原则：对于任一命题要么真要么假。真，假是命题的值域，或者是命题的外延。赋值：在二值逻辑的原则下，就是给命题一个确定的值。例如p=t，就是说p是一个真命题。指派：就是给命题的原子命题分配真值。这是一个真值组合的分配过程，满足2的n次方关系。例如：,pq的真值指派,真值表的结构,真值表是一种通过复合命题的原子支命题的真值推演出复合命题的真值的逻辑方法。它在结构上由列和行构成。分左右两个部分，左部分若干列填入基本复合命题的原子支命题以及真值。右部分依次填入非原子的各个层次的支命题及其真值。最后一个最长的支命题就是需要求值的复合命题。,4.推理的种类,主要是分为演

14、绎推理和归纳推理演绎推理是前提和结论之间有蕴涵关系的推理，二者之间有必然性推出关系。归纳推理是前提和结论时间没有蕴涵关系的推理，前提和结论的推出关系是或然的。,按照命题是不是含有模态词分为模态推理与非模态推理按照复合命题的逻辑词分为联言，选言，假言，负命题的推理。按照直言命题的个体现的数量区分为性质命题和关系命题,推理种类,5.推理的作用,人的知识可以分为两种，一种是直接从经验中通过感觉器官得到的直接知识 另一种是从已经有的知识推出的知识.推理的作用主要是关于间接知识的，有三点作用：推理是获取知识的工具推理是知识整理的工具推理是证明或反驳的工具,第二节，复合命题的推理,一，联言命题及其推理,（

15、一）联言命题（二）联言推理,（一），联言命题,联言命题是反映一个或几个思维对象同时具有某些属性的复合命题。构成联言命题的支命题叫“联言支”，它们是变项。联言命题的逻辑词叫“合取”，符号为“”，表示“且”，“并且”等。,自然语句表示的联言语句的涵义与逻辑的联言命题是有区别的,“小王考上了大学，小张也考上了大学。”“小王考上了山东大学，但小张考上了清华大学。”“不仅小王考上了大学，小张也考上了大学。”具有并列的意义，陈述两个基本事实；具有递进的涵义，有褒奖小张的意思；在陈述相同事实的基础上，带有不同于前两个命题的意思，对小张有一定的轻视之意。它们在意义上，两个支命题有内容上的相关性。但是在逻辑中这

16、些差别都没有了，都是“PQ”。,联言命题省略的形式,，省略部分主项的复合谓项形式。例如，“中国人是勤劳的勇敢的民族。”不省略就是“中国人是勤劳的民族并且中国人是勇敢的民族。”，省略部分谓项的复合主项形式。例如，“秦琼和戚继光都是山东的英雄好汉”。如果不省略就是“秦琼是山东的英雄好汉并且戚继光是山东的英雄好汉。”，省略部分主项和部分谓项的形式。这种命题的主项和谓项都是复合的。例如，“中国和印度都是亚洲国家，人口都超过10亿。”这个命题恢复后的形式可以是：“中国是亚洲国家并且人口超过10并且印度是亚洲国家并且人口超过10亿。”,联言命题的真值定义,“PQ”真，当且仅当，P真并且Q真；“PQ”假，当

17、且仅当，P假或者Q假。,联言命题真值定义的真值表,（二），联言推理,联言推理是依据联言的逻辑联词性质进行的推理。例如：今天是星期一并且今天有逻辑课。在自然语言中谁也不会这样说话，而是简单的说：“星期一有逻辑课”,联言推理的主要有效式,1.合成式联言推理 P Q 所以 PQ“中国是一个发展中国家，中国是一个大国，所以，中国是一个发展中的国家并且是一个大国。”,2.分解式联言推理,这是从一个联言命题推出其中一个支命题的推理形式。形式是：PQ P PQ Q，“今天是星期天并且是毛泽东的诞辰，因此，今天是毛泽东的诞辰。”,2，“阿尔伯特命题”,德国的逻辑学家萨克森的阿尔伯特（13161390）认为，从

18、一个矛盾命题可以推出任一命题，因此有推理形式：（PP）所以，Q“今天下雨并且今天不下雨，因此，喜马拉雅山将会在地震中消失。”,从这个推理形式可以得到一个著名的“蕴涵怪论”，这也是阿尔伯特的怪命题。只要把矛盾命题换成“假命题”，则有“假命题蕴涵任一命题”。例如，“太阳是冷的，因此，阿基里追不上龟”。不论阿基里是最善跑的人还是一点都不能动的人，这个推理都有效。因为矛盾命题一定是假命题，,二，选言命题及其推理,（一），选言命题 1.相容的选言命题 2,不相容的选言命题（二）.选言推理 1.相容的选言命题推理 2,不相容的选言命题推理,（一）选言命题,选言命题是反映一个或几个思维对象所具有的某些属性至

19、少有一种情况存在的复合命题。构成选言命题的支命题叫选言支。逻辑常项是一个二元联词。选言的逻辑词叫析取。,最简单的选言命题是只有两个选言支的命题，复杂的可以有三个或更多的选言支，但它们都可以归结为两个支命题的情况，这样的选言命题是基本的选言命题。因此，这里仅仅讨论两个选言支的复合命题。,1，不相容选言命题,不相容的选言命题只能有一个选言支真，这个真的支命题与其它的所有支命题都是相排斥的。，“或者美国代表队获得奥运会奖牌第一，或者中国代表队获得奥运会奖牌第一。”，“台湾是中国不可分割的宝岛，要么台海和平统一，要么台海战争统一。”,在自然语言中，表示不相容逻辑联词的标准用语是“要么要么”。符号是“”

20、。“PQ”读作“要么P要么Q”。在自然语言中，下列语词也表示不相容的选言：“或者或者二者不可兼之”，“不是就是”等。例子：“不是东风压倒西风就是西风压倒东风”。“或者你可以得到熊掌或者你可以得到鱼翅，但二者不可兼之”。,不相容的选言命题的真值定义,“要么P要么Q”真，当且仅当P真并且Q假，或者P假并且Q真；“要么P要么Q”假，当且仅当，P真并且Q真，或者P假并且Q假,真值表,2，相容的选言命题,相容的选言命题是选言支可以同时皆真的选言命题。也就是说，一个真的相容选言命题，其支命题至少有一个真，也可以所有的支命题都真。“这个实验的失败或者是设计错误或者是操作错误”,自然语言中表示相容选言逻辑联词

21、的语词是“或”。符号表示是“”；“PQ”读作“P或Q”。此类命题称为析取命题。在自然语言中，表示相容选言逻辑联词的语词主要有：“或者”、“可能也可能”、“也许也许”、“是还是”。,逻辑的“或”不同于自然语言的“或”,第一：日常语言中的命题不能随意增加选言支，增加选言支会增加甚至改变命题的涵义。但逻辑命题增加选言支不会影响命题的逻辑真值。第二：自然语言使用“或”，有意义上的关联性，逻辑学所研究的“或”是一种抽象，没有相关性。,真值定义,“PQ”真，当且仅当，P真或Q真；“PQ”假，当且仅当，P假并且Q假；用真值表表示为：,选言支穷尽问题,不论是不相容的选言命题还是相容的选言命题，如果要使命题真，

22、必须保证有一个选言支命题真（不相容的选言命题只能有一个支命题真）。穷尽选言支的命题一定是真的，不穷尽选言支的命题不必然是假的。因为如果不穷尽选言支但含有一个真的支命题，该选言命题也是真的。穷尽选择言支只能在有穷域内才有理论上的可能，在无穷域中无法穷尽选言支。因此，选言命题及其推理的有效性一般局限在有穷域内。,（二）.选言推理,选言推理是依据选言的逻辑性质进行的推理。能够使用选言的逻辑性质进行推理的，一定是前提中或者结论中含有选言命题的推理。我们讨论最基本的推理形式.,1.不相容的选言推理,不相容的选言推理是依据不相容的逻辑联词的性质进行的推理。不相容选言的逻辑性质是：选言支只能有一个是真的，不

23、能同真或同假。因此，肯定一个选言支就必须否定另一个选言支，否定一个选言支就要肯定另一个选言支。这个就是不相容选言推理的规则。,否定肯定式,“中国要么进行改革开放，要么继续贫穷落后，中国不能继续贫穷落后，所以中国要进行改革开放。”P Q 或者 P Q P QQ P,肯定否定式,PQ 或者 PQ Q P“要么权力大于法律，要么法律大于权力，法治社会不能权力大于法律，因此法治社会法律大于权力”。,2.相容的选言推理,相容的选言推理是依据相容选言联词的性质进行的选言推理。由于相容选言的性质是可以同真的，肯定一个或一部分选言支，并不能一定否定另外的选言支；但是，由于真的相容选言命题中至少有一个支命题是真

24、的，因此，知道一部分选言支假，就必然推出另一部分选言支是真的。因此，相容的选言推理只有一个有效的推理形式，否定肯定式，而肯定否定式不成立。,例子,，“社会改革常常出现社会动荡，或者因为传统力量的反对，或者因为政策探索的失误，中国的改革出现社会动荡不是因为传统力量的反对，所以是因为政策探索的失误。”，“A号计划实验失败，或者是因为设计上的错误，或者是制造工艺达不到要求，或者是实验的操作失误；经过对实验检查发现操作程序不对，因此，实验失败不是设计上的错误或者制造工艺达不到要求。”,有效式和无效式,有效式：PQ 或者 PQ P Q Q P（PQ）P）Q（PQ）Q）P。,无效式（肯定否定式）,（PQ）

25、P）Q（PQ）Q）P。今天或者小张值日或者小王值日，是小王值日，因此小张不值日。,一个特别的选言推理的有效式,选言推理也可以是从简单命题的前提推出选言的结论。例如：奥卡姆（13001350）提出过一个很简单的选言推理形式：“PPQ”为什么这个推理是有效的呢？请大家从“或”的逻辑性质考虑。,如何在推理中消除选言的逻辑词？,如何在推理中消除选言的逻辑词？或者说选言推理有没有分解式？,要注意的两点：,第一，如果选言命题的支在三个或者三个以上，推理怎么进行。一个简单的办法是把他们变成两个选言支的命题。例如“要么P要么Q要么R”变成“要么P要么（Q要么R）”，“PQR”变成“P（QR）”，第二，尽管真的

26、选言命题的支要求穷尽，但是，逻辑推理是形式的推理，我们判断推理形式是否有效的时候，是不可能知道选言支是不是已经穷尽。,三，假言命题及其推理,主要内容有：（一）假言命题（二）假言推理,（一），假言命题,假言命题陈述的是两个思维对象之间的条件关系。因此又叫条件命题、蕴涵命题。逻辑上把条件关系划分为三种类型：充分条件、必要条件和充分必要条件；例如：，“如果物体自由下落，那么下落的速度会越来越快。”，“只有通过预赛，才能进入决赛。”，“8是偶数，当且仅当，8能被2整除”,1.充分条件的假言命题,令P与Q之间有条件关系，如果有P就有Q，无P不一定无Q，则P是Q的充分条件。墨经中表述为“有之必然，无之不必

27、不然”。,语言,在自然语言中，“如果那么”是表示充分条件命题的标准用语，除此之外还有下列语词：“假使那么”、“若则”、“倘若则”、“只要就”、“要是就”；“当使”、“当时，就”、“一旦就”。等等。在逻辑中习惯的使用符号“”表示“如果那么”，命题形式“PQ”读作：“如果P那么Q”。,条件蕴涵的真值定义和真值表,真值定义：PQ真，当且仅当，P假或者Q真，PQ假，当且仅当，P真并且Q假。真值表：,“实质蕴涵”同自然语言的“如果P那么Q”之间有明显的不同,首先，自然语言的条件语句有意义上的相关性，前件与后件一般有某种关联时，才用“如果那么”陈述；例如下列语句在自然语言中是很少出现的，但是在实质蕴涵中都

28、是允许的：，“如果2+2=4，那么雪是白的。”，“如果2+2=5，那么雪是黑的。”,其次，在意义上不同。自然语言的语句除了真假关系之外，还有其它的涵义，例如因果的关系，虚拟条件的关系，推理的关系等。但是“实质蕴涵”的“如果P那么Q”只有真假的关系，其它的含义都被抽象去了。最后，“实质蕴涵”的真值定义有点“奇怪”，似乎与经验习惯不一致，这主要表现在规定“前件假时，无论后件真假，条件命题都真”的定义上，依照定义，上面的命题都是真命题。,2.必要条件假言命题,令P与Q之间有条件关系，如果没有P就没有Q，有P不一定有Q，则P是Q的必要条件。墨经中表述为“无之必不然，有之不必然”。,在自然语言中，表示必

29、要条件的标准逻辑语词是“只有才”；此外，下列语词也表示必要条件：“必须才”、“不不”、“没有就没有”、“除非才”、“想必须”等等。在逻辑中用符号“”表示“只有才”，“PQ”读作：“只有P才Q”。例如：，“不入虎穴，焉得虎子”。，“没有共产党，就没有新中国”。，“除非改变计划，才能按时完成任务”。,“除非，才”的条件分析,，“除非你触犯了国法，才会受到国法的惩罚”。-除非A，才B，“她明天不会来，除非她改变了主意”,-非B，除非A，“他可以参加复试，除非他没有通过初试”。-B,除非非A，“除非你没有违法，否则必受法律的惩罚”。-除非非A,否则B,命题是基本形式（PQ），表示“触犯了国法”是“受到

30、国法的惩罚”的必要条件。命题是“除非才”的倒装句（Q，除非P），含义是“如果她不改变主意，那么她就不会来”，因此，“改变主意（P）”是“明天会来（Q）”的必要条件。命题也是个基本句型的倒装句（Q，除非P），但它的后件“他可以参加复试”是肯定的，前件是否定的。含义是，“没有通过初试”是“不能参加复试”的充分条件，因此，“通过初试（P）”是“参加复试（Q）”的必要条件。,命题含有“除非否则”，后件有一个否定，表示充分条件。“没有违法（P）”是“不受法律的惩罚（Q）”的充分条件（PQ），因此“违法（P）是“受法律的惩罚（Q）”的必要条件。表示的涵义相同，但是表达的语句不同。,真值定义、真值表,真值定

31、义：PQ真，当且仅当，P真或Q假。PQ假，当且仅当，P假并且后真。真值表：,3.充分必要条件假言命题,令P与Q之间有条件关系，如果P是Q的充分条件（有P就有Q）并且P也是Q必要条件（有P就有Q），则P和Q互为充分必要条件关系（P Q）（P Q）。墨经中表述为“有之必然，无之必不然”。,在自然语言中，用“当且仅当”代表“充分必要条件”的逻辑联词。此外还有：“如果而且仅仅如果”、“如果那么而且只有中习惯用符号“”表示“当且仅当”。“PQ”读作“P当且仅当Q”。才”、“如果那么而且如果不那么不”、“所有，并且只有才”等等。在充分必要的语句中，有些量词或联词可以省略，例如“（所有）人民（并且）只有人民

32、才是创造历史的动力”，括号的部分可以省略。有时，充分必要条件关系也可以用“是”、“等于”、“相等”、“等值”表示。在逻辑中习惯用符号“”表示“当且仅当”。“PQ”读作“P当且仅当Q”。,真值定义和真值表,真值定义“PQ”真，当且仅当，P、Q同时真同时假；“PQ”假，当且仅当，P、Q不同时真不同时假。,，充分条件、必要条件的转换,第一，充分条件、必要条件的前后件之间的关系。（PQ）（QP）；（PQ）（QP）。第二，充分条件与必要条件之间的关系。（PQ）（PQ）；（PQ）（PQ）。,第三，充分必要条件的命题，由于是互为充分必要条件，因此可以互换。（）（）（）（）（）,（二），假言命题的推理,假言命

33、题的推理，是依据假言逻辑联词的性质进行的推理。需要依据假言逻辑词性质推理的一定是前提中含有假言命题的情况。,1.充分条件的假言推理,充分条件的假言推理是依据充分条件的性质进行的假言推理。充分条件的性质是有前件就有后件，无后件就无前件，因此它有两个有效的推理形式。,，充分条件的肯定前件式,在前提中如果肯定充分条件的前件，那么在结论中就可以推出充分条件的后件。推理的形式为：PQPQ这个推理的重言式是“（PQ）P）Q”。,例子,“如果公司A的经营业绩有了实质性的好转，则公司A的股票价格会上升”。“公司A的经营业绩有了实质性的好转”“公司A的股票价格会上升”形式公式：（PQ）P）Q,，充分条件的否定后

34、件式,在前提中如果否定充分条件的后件，那么就在结论中推出否定的充分条件的前件。推理形式是：PQ Q P,例子,“如果某区域有大地震将要发生，那么就会有某些地震的先兆出现，”“某区域没有任何地震的先兆出现，”“某区域没有大地震要发生”。公式:（PQ）Q）P),无效的推理,“（PQ）P）Q”。“（PQ）Q）P”验证,例子,，“如果在紫外线下长久暴晒，就会发生皮肤癌变，他没有在紫外线下长久暴晒，因此他不会发生皮肤癌变”。，“如果在紫外线下长久暴晒，就会发生皮肤癌变，他的皮肤发生了癌变，因此他曾在紫外线下长久暴晒”,2.必要条件的假言推理,必要条件的假言推理是依据命题的必要条件性质进行的假言推理。命题

35、的必要条件性质是，没有前件就没有后件，有了后件就有前件。因此它有两个有效推理形式：,，必要条件的肯定后件式,在前提中如果肯定必要条件的后件，那么在结论中就能推出必要条件的前件。推理的形式是：PQQP这个推理的重言式命题表示是“（PQ）QP”。例如：,例子,“只有认真的学习，才能通过逻辑课程的考试”“全班同学都通过的逻辑考试，”“全班同学都认真学习了”。,，必要条件的否定后件式,在前提中如果否定必要条件的前件，那么在结论中就能推出否定的必要条件后件。推理的形式是：PQ P Q这个推理的重言式命题表示是：“（PQ）PQ”。,必要条件的推理对于肯定前件式和否定后件式都是无效的,例如：,，“他只有违反

36、了国家的法律，才会受到国家法律的制裁，他没有受到国家法律的制裁，因此他没有违反国家的法律。”，“他只有违反了国家的法律，才会受到国家法律的制裁，他违反国家的法律。因此他受到了国家法律的制裁，”,3.充分必要条件的假言推理,充分必要条件的假言推理是依据充分必要条件的性质进行的假言推理。充分必要条件的性质是：肯定前件就要肯定后件，否定前件就要否定后件。肯定后件就要肯定前件，否定后件就要否定前件。因此，它的有效推理形式有四个。,有效式,，肯定前件式“（PQ）PQ”：，肯定后件式“（PQ）QP”：，否定前件式“（PQ）PQ”：，否定后件式“（PQ）QP”：,例如：,，“在标准的大气压力下水会沸腾，当且

37、仅当，水的摄氏温度要达到100度，水温达到摄氏100度，因此，水会沸腾”，“在标准的大气压力下水会沸腾，当且仅当，水的摄氏温度要达到100度，水沸腾了，因此水温达到了摄氏100度”。,世说新语.言语第二,孔文举年十岁，随父到洛。时李元礼有盛名，为司隶校尉。诣门者，皆俊才清称及中表亲戚乃通。文举至门，谓吏曰：我是李府君亲。既通，前坐。元礼问曰：君与仆有何亲？对曰：昔先君仲尼与君先人伯阳有师资之尊，是仆与君奕世为通好也。元礼及宾客莫不奇之。太中大夫陈韪后至，人以其语语之，韪曰：小时了了，大未必佳。文举曰：想君小时必当了了。韪大踧踖（j）。,推理,孔融的推理：如果小的时候了了，那么大了未必佳 省略：

38、你（陈韪）现在未必佳 所以，陈韪小时必当了了 这是一个充分条件的肯定后件式，推理不正确。,路边的果树,据说孔融小的时候与小朋友们到野外游玩，在饥渴的时候看到路边的一棵果树上挂满了果子，同伴们都去摘果子吃，只有他没有去。结果大家都扫兴而归。于是问孔融，你怎么知道那棵树的果子不好吃，他的推理是：如果路边的果子好吃，就不会剩下，现在它还有这么多的果子，一定是不好吃。,四，负命题及其推理,负命题是一种很特别的命题，关键是对否定词“非”的认识。,（一）、负命题,1，负命题的逻辑形式和真值：负命题是通过对一个命题的否定产生的命题。负命题不同于否定命题：，“所有的塑料都不是导体”；，“并非所有的塑料都是导体

39、”。命题是“否定命题”。命题是“负命题”。,符号和语言,负命题在自然语言中用“并非”表示 符号用“”表示。“P”读作“非P”。“”是一个一元逻辑联词，它只有一个支命题。在自然语言中，除了“并非”外，还有“没有”，“不”等语词。,真值,P真，当且仅当，P假；P假，当且仅当，P真；真值表,2、基本的负命题,基本的负命题有两类，一类是直言命题的负命题，这是对直言命题的否定命题，这里不讨论此类命题。另一类是对复合命题的否定，这里主要讨论基本的复合命题的负命题。,（1)负命题的负命题：“P”“并非并非今天没有下雪”，负联言命题：“（PQ）”，负选言命题：“（P Q）”、“（PQ）”。，负假言命题：“（P

40、Q）”、“（PQ）”、“（PQ）”“并非如果有闪电就可以听到雷声”。“并非只有犯法者才会受到司法惩罚”。“并非A是知识当且仅当你知道A”。,3，负命题的等值命题及其推理,主要掌握下列有效的等值式：，PP，（PQ）P Q，（PQ）P Q，（P Q）（PQ），（PQ）（P Q），（PQ）（PQ），（PQ）（PQ）（PQ）,（二）负命题的推理：等值置换,使用负命题的等值关系进行的推理叫等值置换。如果在前提中有等值命题的一个支命题，就可以在结论中推出与之等值的另一个支命题。，“并非今天是冬至并且今天下大雪”所以“并非今天是冬至或者并非今天下大雪”。，“并非并非你的话是真”所以，“你的话是真的”,其他的

41、几个有意思的负命题,P（P Q）；P P Q；（PP）Q；P（PQ）；,P（PQ）注意它的逆命题不成立。例如：“并非所有发光的东西都是黄金”所以,“并非所有发光的东西都是黄金并且有的人喜欢一切黄色的东西。”实际上，P（PQ）中的可以是任何一个命题，不管它是否与P有没有联系。P（PQ）和（PQ）（PS Q）反应了古典逻辑的单调性-如果pS则 p,q S,基本命题的有效推理形式联言推理：合成式，分解式P,q Pq Pq P选言推理不相容选言：肯定否定式和否定肯定式PQ、p Q PQ、p q相容选言：否定肯定式PQ、p q,假言推理：充分条件：肯定前件式，否定后件式必要条件：否定前件式，肯定后件式充

42、分必要：肯定前件式，否定前件式 否定前件式，肯定后件式负命题的等值命题双重否定率，德摩根率，假言等值形式,五，复合命题的其它推理,（一）、假言易位推理假言易位推理就是通过改变前提的假言命题的前后件的位置作为推理结论的推理。它的特点是前提和结论都是假言命题。假言易位推理的形式很多，主要的有下面三种：，（PQ）（QP）；，（QP）（PQ）；，（PQ）（QP）。,例子,“如果患者得的是肺炎，那么就会有高烧所以，“如果患者没有高烧，就不是患得肺炎”。“只有他犯法才受到法律的惩罚”所以，“如果他受到法律的惩罚，那么他犯法了”“N是偶数，当切仅当，n被2整除”所以，“n被2整除，当且仅当，N是偶数”,（二

43、）、假言联锁推理,假言联锁推理是由两个或两个以上的假言命题作前提，推出的结论也是假言命题的推理形式。主要形式有：，（PQ）（QR）（PR）；，（PQ）（QR）（RP）；，（PQ）（QR）（PR）；，（PQ）（QR）（RP）；，（PQ）（QR）（PR）；，（PQ）（QR）（P R）。,（三）、同一律，不矛盾律和排中律,同一律，不矛盾律，排中律在传统逻辑中具有重要的意义，下面还要专章讨论。它们是推理中最基本，最简单的形式，但不是不重要的逻辑形式：主要有，PP（同一律），（PP）（不矛盾律），PP（排中律）；,（四）、反证法和归谬法，反三段论推理,反证法和归谬法是证明的方法，它们也是推理。更详细的内

44、容看论证一章，反证法是假设命题的假推出逻辑矛盾，从而证明一个命题的真归谬法是从假设命题的真推出逻辑矛盾，从而证明命题的假。这里仅仅讨论这两种命题推理的形式：，反证法推理形式：（(Pq)（Pq）P(Pqq）P，归谬法推理形式：（(Pq)（Pq）P（(Pq)（Pq）（P S）又叫矛盾扩散律,例子：2不是有理数,毕达哥拉斯学派发现，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用2表示对角线的长度，2不是一个有理数，当时人们并不知道有“无理数”这种数，所以2的出现引起人们对数学的怀疑。关于2不是有理数的一个证明，载于欧几里德几何原本，但据说更早的毕达哥拉斯学派给出过证明，这个证明使用了“反证法”：

45、,“如果2是有理数，则2p/q，p/q是既约分数（p/q是除了外没有其它公约数的有理数）”。“如果2是有理数（2=p/q），则2=pq2，这表明p2是偶数，p也是偶数。设p=2k（k是整数），则pk，那么q2=k，q2=（2k）2，于是q也是偶数，并且p/q的公因数是，不是即约分数。因此，2不是有理数。,言尽悖,（墨）经下篇：“以言为尽悖，悖。说在其言”。经说下篇解释说：“以悖，不可也。之人之言可，是不悖，则是有可也；之人之言不可，以当，必不审。”解释的意思说：以言为尽悖，此说不可以成立。如果持此说的人，其言可以成立，则至少此言不 悖，还是有些言可以成立；如果其言不可成立，则以此说为当者也就错

46、了。,推理：如果“一切命题都是假的”真，那么一切命题都是假的。如果“一切命题都是假的”真，那么，并非一切命题都是假的。所以，并非“一切命题都是假的”,、反三段论推理,三段论推理将在下一章中讨论。严格来说“反三段论”是依据演绎推理的有效形式的定义从结论反推前提的充分条件假言推理的否定后件式和选言推理的否定肯定式的综合应用，不仅对三段论可以反推，对任何演绎推理都可以反推。基本思想是，以推理的有效为条件，如果前提是真的，那么结论就不能是假的。如果结论是假的，那么前提就不能都是真的，即每个前提都可能假。如果知道其中的某个或某些前提真，剩下的命题一定为假，这就是结论。事实上这个有效式应该叫做逆演绎推理。

47、反三段论推理有效式：，（）（），（）（）,例子,如果“所有的金属都是导体”并且“所有的木头都是金属”那么，“所有的木头都是导体”。并非“所有的木头都是导体”并且“所有的金属都是导体”所以，并非“所有的木头都是金属”。,（五）、假言联言推理,假言联言推理是综合应用假言的和联言的逻辑联词的性质进行的复合命题推理。这种形式的推理有许多种，这里仅仅选择两种比较基本的推理形式。，肯定式：（）（）（）（），否定式：（）（）（）（）,例子,“如果一个国家落后，在国际上就没有发言权，如果一个国家拥有发展经济的重要资源，就会导致别的国家的侵略。”“国又落后又拥有发展经济的重要资源”因此，“国在国际上就没有发言权

48、并且会导致别的国家的侵略”,（六）、二难推理（假言选言推理）,古希腊时期有一群“智者”，专门靠传授别人如何辩论、演讲为生。普罗泰戈拉就是著名的代表。半费之讼：有一个叫欧特勒斯的人曾跟随普罗泰戈拉学习，双方合同约定：在欧特勒斯入学时交一半的学费，另一半在毕业后第一次出庭打赢官司时再交。但是，欧提勒斯毕业后迟迟不出庭替人打官司，因而，另一半学费只能一拖再拖。普罗泰戈拉等得不耐烦了，决定向法庭起诉。他的推理是：,“如果这场官司中你败诉，那么，根据法庭判决，你应该付给我另一半学费”；“如果这场官司中你胜诉，那么，按照合同规定，你应付我另一半学费”，“你或者胜诉或者败诉”，“都要付给我另一半学费”。”,

49、欧特勒斯同样有一个推理，与老师的形式相同，但是结论相反：,“如果这场官司中我败诉，那么，根据合同规定，我不该付给你另一半学费”；“如果这场官司中我胜诉，那么，按照法庭判决，我不应付另一半学费”，“我或者胜诉或者败诉”，“都不应该付给你另一半学费”。二难推理的含义是“进退维谷，左右为难”。,有效式（1）简单构成式,简单构成式：“（PQ）（RQ）（PR）Q”“（PQ）（PQ）（PP）Q”简单式的结论是一个原子命题，构成式的结论是证明题。“如果P则Q，如果R则Q”“P或者R”所以，Q,例子：,“如果上帝能够创造一块自己举不动的石头，那么上帝不是万能的”，“如果上帝不能创造一块自己举不动的石头，那么上

50、帝不是万能的，”“或者上帝能够创造，或者上帝不能创造”；所以，“上帝不是万能的”。,简单破斥式,“（PQ）（PR）（QR）P”。破斥式的结论是负命题 如果P那么Q，如果P那么R 非Q或者非R 所以，非P,例子：,“如果C国对Y国的战争是正义的，那么就会得到国际舆论的支持，”“如果C国对Y国的战争是正义的，那么就会得到Y国人民的欢迎，”“C国对Y国的战争或者没有得到国际舆论的支持，或者没有得到Y国人民的欢迎”；所以，并非“C国对Y国的战争是正义的”,，复杂构成式,“（PR）（QS）（PQ）RS”。复杂式是结论为复合命题。“如果P则R，如果Q则S”“P或者Q”所以，“R或者S”,例子：,“如果冬季