[信息与通信]第5章连续系统的s域分析.ppt

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1、1,第五章 连续系统的s域分析,2,5.1 拉普拉斯变换,一、从傅里叶到拉普拉斯变换,有些函数不满足绝对可积条件，为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t)，适当选取的值，使乘积信号f(t)e-t，当t时信号幅度趋近于0，从而使f(t)e-t的傅里叶变换存在。,相应的傅里叶逆变换 为,f(t)e-t=,F(+j)=f(t)e-t=,3,双边拉普拉斯变换对,F(s)称为f(t)的双边拉普拉斯变换（或象函数），f(t)称为F(s)的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）。,令s=+j，d=ds/j，有,4,只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。使 f(t)拉氏变换存

2、在的取值范围称为F(s)的收敛域，记为：ROC(region of convergence)实际上就是拉氏变换存在的条件,二、收敛域,5,例1 因果信号f1(t)=et(t)，求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。,收敛域,收敛边界,6,例2 反因果信号f2(t)=et(-t)，求其拉普拉斯变换。,解,可见，对于反因果信号，仅当Res=时，其拉氏变换存在。收敛域如图所示。,7,例3 双边信号求其拉普拉斯变换。,求其拉普拉斯变换。,解,其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s),仅当时，其收敛域为 Res的一个带状区域，如图所

3、示。,8,例4 求下列信号的双边拉氏变换。f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=e-3t(t)e-2t(t)f3(t)=e-3t(t)e-2t(t),解,Res=2,Res=3,3 2,可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必须标出收敛域。,9,对于因果信号f(t)，即,三、单边拉氏变换,简记为F(s)=f(t)，f(t)=-1F(s)或 f(t)F(s),10,四一些常用函数的拉氏变换,1.阶跃函数,2.指数函数,全 s 域平面收敛,3.单位冲激信号,11,4幂函数,四一些常用函数的拉氏变换,12,5正余弦信号,收敛域,收敛域,四一些常用函数的拉氏变换,13,6衰减的正

4、余弦信号,收敛域,收敛域,四一些常用函数的拉氏变换,14,5.2 拉普拉斯变换性质,一、线性性质,若f1(t)F1(s)Res1,f2(t)F2(s)Res2则 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s)Resmax(1,2),例f(t)=(t)+(t)1+1/s，0,二、尺度变换,若f(t)F(s),Res0，且有实数a0，则f(at),Resa0,15,例：如图信号f(t)的拉氏变换F(s)=,求图中信号y(t)的拉氏变换Y(s)。,解：,y(t)=4f(0.5t),Y(s)=42 F(2s),16,三、时移（延时）特性,若f(t)F(s),Res0,且有实常数t00,则

5、f(t-t0)(t-t0)e-st0F(s),Res0,注：与尺度变换相结合,f(at-t0)(at-t0),例1:求如图信号的单边拉氏变换。,解：f1(t)=(t)(t-1)，f2(t)=(t+1)(t-1),F1(s)=,F2(s)=?,17,例2:已知f1(t)F1(s),求f2(t)F2(s),解：f2(t)=f1(0.5t)f1 0.5(t-2),f1(0.5t)2F1(2s),f1 0.5(t-2)2F1(2s)e-2s,f2(t)2F1(2s)(1 e-2s),18,四、复频移（s域平移）特性,若f(t)F(s),Res0,且有复常数sa=a+ja,则f(t)esat F(s-s

6、a),Res0+a,例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=,求e-tf(3t-2)的象函数。,解：e-tf(3t-2),例2:f(t)=cos(2t/4)F(s)=?,解cos(2t/4)=cos(2t)cos(/4)+sin(2t)sin(/4),19,5.2 拉普拉斯变换性质,五、时域的微分特性（微分定理）,若f(t)F(s),Res0,则f(t)sF(s)f(0-)f(t)s2F(s)sf(0-)f(0-),f(n)(t)snF(s),若f(t)为因果信号，则f(n)(t)snF(s),例1:(n)(t)?,例2:,例3:,20,5.2 拉普拉斯变换性质,六、时域积分特性（积分定理

7、）,若f(t)F(s),Res0,则,例1:t2(t)?,21,5.2 拉普拉斯变换性质,例2:已知因果信号f(t)如图,求F(s),解：对f(t)求导得f(t)，如图,由于f(t)为因果信号，故,f(0-)=0,f(t)=(t)(t 2)(t 2)F1(s),结论：若f(t)为因果信号，已知f(n)(t)Fn(s)则 f(t)Fn(s)/sn,22,5.2 拉普拉斯变换性质,七、卷积定理,时域卷积定理 若因果函数 f1(t)F1(s),Res1,f2(t)F2(s),Res2则 f1(t)*f2(t)F1(s)F2(s),复频域（s域）卷积定理,例1：t(t)?,例2：已知F(s)=,例3：

8、,23,5.2 拉普拉斯变换性质,八、s域微分和积分,若f(t)F(s),Res0,则,例1：t2e-2t(t)?e-2t(t)1/(s+2),t2e-2t(t),24,5.2 拉普拉斯变换性质,例2：,例3：,25,5.2 拉普拉斯变换性质,九、初值定理和终值定理,初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(），而不必求出原函数f(t),初值定理,设函数f(t)不含(t)及其各阶导数（即F(s)为真分式，若F(s)为假分式化为真分式），则,终值定理,若f(t)当t 时存在，并且 f(t)F(s),Res0,00，则,26,5.2 拉普拉斯变换性质,例1：,例2：,27,5.3 拉

9、普拉斯逆变换,5.3 拉普拉斯逆变换,直接利用定义式求反变换-复变函数积分，比较困难。通常的方法（1）查表;（2）利用性质;（3）部分分式展开-结合,若象函数F(s)是s的有理分式，可写为,若mn（假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。,28,5.3 拉普拉斯逆变换,由于L-11=(t)，L-1sn=(n)(t)，故多项式P(s)的拉普拉斯逆变换由冲激函数构成。下面主要讨论有理真分式的情形。,部分分式展开法,若F(s)是s的实系数有理真分式（mn)，则可写为,式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方程，它的根称为特征根，也称为

10、F(s)的固有频率（或自然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。,29,5.3 拉普拉斯逆变换,（1）F(s)为单极点（单根）,例1:,30,5.3 拉普拉斯逆变换,31,5.3 拉普拉斯逆变换,例2:,32,5.3 拉普拉斯逆变换,33,5.3 拉普拉斯逆变换,特例：若F(s)包含共轭复根时(p1,2=j),K2=K1*,f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t),若写为K1,2=A jB,f1(t)=2e-tAcos(t)Bsin(t)(t),34,5.3 拉普拉斯逆变换,例3,35,5.3 拉普拉斯逆变换,36,5.3 拉普拉斯逆变换,例4：求象函数F(s)的原函数f(t)。,

11、解：A(s)=0有6个单根，它们分别是s1=0，s2=1，s3,4=j1，s5,6=1j1，故,K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=1 K3=(s j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(/2),K4=K3*=(1/2)e-j(/2)K5=(s+1 j)F(s)|s=-1+j=,K6=K5*,37,5.3 拉普拉斯逆变换,（2）F(s)有重极点（重根）,若A(s)=0在s=p1处有r重根，,K11=(s p1)rF(s)|s=p1，K12=(d/ds)(s p1)rF(s)|s=p1,38,5.3 拉普拉斯逆变换,举例:,39,5.3 拉普拉斯逆变换,40,

12、5.4 复频域分析,5.4 复频域系统分析,一、微分方程的变换解,描述n阶系统的微分方程的一般形式为,系统的初始状态为y(0-),y(1)(0-),，y(n-1)(0-)。,思路：用拉普拉斯变换微分特性,若f(t)在t=0时接入系统，则 f(j)(t)s j F(s),41,5.4 复频域分析,例1 描述某LTI系统的微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+6 f(t)已知初始状态y(0-)=1，y(0-)=-1，激励f(t)=5cost(t)，求系统的全响应y(t),解：方程取拉氏变换，并整理得,y(t)，yzi(t)，yzs(t),s域的代数方程,Yzi(s),Yzs(s

13、),42,5.4 复频域分析,y(t)=2e2t(t)e3t(t)-4e2t(t)+,yzi(t),yzs(t),自由响应yt(t)，,强迫响应ys(t),若已知y(0+)=1，y(0+)=9,Yzi(s),Yzs(s),43,5.4 复频域分析,二、系统函数,系统函数H(s)定义为,它只与系统的结构、元件参数有关，而与激励、初始状态无关。,yzs(t)=h(t)*f(t),H(s)=L h(t),Yzs(s)=L h(t)F(s),44,5.4 复频域分析,例2 已知当输入f(t)=e-t(t)时，某LTI因果系统的零状态响应 yf(t)=(3e-t-4e-2t+e-3t)(t)求该系统的冲

14、激响应和描述该系统的微分方程。,解,h(t)=(4e-2t-2e-3t)(t),微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t)=2f(t)+8f(t),s2Yf(s)+5sYf(s)+6Yf(s)=2sF(s)+8F(s),取逆变换 yf(t)+5yf(t)+6yf(t)=2f(t)+8f(t),45,5.4 复频域分析,三、系统的s域框图,时域框图基本单元,s域框图基本单元,46,5.4 复频域分析,X(s),s-1X(s),s-2X(s),例3 如图框图，列出其微分方程,解 画出s域框图,s-1,s-1,F(s),Y(s),设左边加法器输出为X(s)，如图,X(s)=F(s)3s-1X(s)

15、2s-2X(s),s域的代数方程,Y(s)=X(s)+4s-2X(s),微分方程为 y(t)+3y(t)+2y(t)=f(t)+4f(t),再求h(t)?,47,5.4 复频域分析,四、电路的s域模型,对时域电路取拉氏变换,1、电阻 u(t)=R i(t),2、电感,U(s)=sLIL(s)LiL(0-),U(s)=R I(s),元件的s域模型,48,5.4 复频域分析,3、电容,I(s)=sCUC(s)CuC(0-),4、KCL、KVL方程,49,5.4 复频域分析,例4 如图所示电路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=(t)，起始状态uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求电压u(t)。,解 画出电路的s域模型,Us(s)=1/s，Is(s)=1,u(t)=et(t)3tet(t)V,若求ux(t)和uf(t),