《重积分的应用》PPT课件.ppt

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1、柱面坐标系,球面坐标系,重积分计算的基本方法,累次积分法,第六节,一、平面图形的面积及立体体积,二、曲面的面积,三、物体的重心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,重积分的应用,解：,所求立体的体积为,解：,另解：,1.能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性.,分布在有界闭域上的整体量.,2.用重积分解决问题的方法,-元素法,问题：满足什么条件的量可用重积分解决？,元素法的步骤：,把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.,元素法也可推广到三重积分上,设曲面S的方程为,曲面S在xoy面上的投影为区,域D，,如图，,设小区域,点(x,y),为S上过点,M(x,y,z)的切平面，

2、,以,的边,界为准线，,母线平行于z轴的,小柱面，,截曲面S为,为,则有,-曲面S的面积元素,a,b,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,曲面面积公式为：,即 设曲面的方程为：,解：,曲面方程：,由对称性知：,面积为：,二、重 心,V 上连续.为求得 V 的重心坐标,先对 V 作分割 T,物体就可用这 n 个质点的质点系来近似代替.由于,质点系的重心坐标公式为,的重心坐标:,重心坐标:,例2 求密度均匀的上半椭球体的重心.,故得,即求得上半椭球体的重心坐标为,因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,得：,例3

3、.求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径的转动惯量.,解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量,G 为引力常数,推广到空间立体：,设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力,利用元素法,其密度函数,曲 线 积 分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,定义,联系,计算,三代一定,二代一定(与方向有关),与路径无关的四个等价命题,条件,等价命题,(3)在G内，,在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的,1.定积分与不定积分的联系,牛顿-莱布尼茨公式,2.二重积分与曲线积分的联系,格林公式,第二类曲线积分,计算中涉及的有关公式,1.两类曲线积分的几何意义,闭区域D的面积,解,8.,解,