《通信原理教程》PPT课件.ppt
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1、1,第十章 信道编码和差错控制,10.1概述信道编码:目的:提高信号传输的可靠性。方法:增加多余比特,以发现或纠正错误。差错控制:包括信道编码在内的一切纠正错误手段。产生错码的原因:乘性干扰引起的码间串扰加性干扰引起的信噪比降低 信道分类:按照加性干扰造成错码的统计特性不同划分随机信道:错码随机出现,例如由白噪声引起的错码 突发信道:错码相对集中出现,例如由脉冲干扰引起的错码。混合信道,2,差错控制技术的种类:检错重发:能发现错码,但是不能确定错码的位置。通信系统需要有双向信道。前向纠错(FEC):利用加入的差错控制码元,不但能够发现错码,还能纠正错码。反馈校验:将收到的码元转发回发送端,将它
2、和原发送码元比较。缺点:需要双向信道,传输效率也较低。检错删除:在接收端发现错码后,立即将其删除。适用在发送码元中有大量多余度,删除部分接收码元不影响应用之处。,3,编码序列的参数n 编码序列中总码元数量k 编码序列中信息码元数量r 编码序列中差错控制码元数量(差错控制码元,以后称为监督码元或监督位)k/n 码率(n-k)/k=r/k 冗余度,4,自动要求重发(ARQ)系统停止等待ARQ系统 拉后ARQ系统,5,选择重发ARQ系统 ARQ和前向纠错比较:优点监督码元较少,即码率较高 检错的计算复杂度较低能适应不同特性的信道 缺点需要双向信道。不适用于一点到多点的通信系统或广播系统。传输效率降低
3、,可能因反复重发而造成事实上的通信中断。,6,10.2 纠错编码的基本原理分组码举例设:有一种由3个二进制码元构成的编码,它共有23=8种不同的可能码组:000 晴 001 云 010 阴 011 雨100 雪 101 霜 110 雾 111 雹 这时,若一个码组中发生错码,则将收到错误信息。若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气,例如:令000 晴 011 云 101 阴 110 雨 为许用码组,其他4种不允许使用,称为禁用码组。这时,接收端有可能发现(检测到)码组中的一个错码。这种编码只能检测错码,不能纠正错码。若规定只许用两个码组:例如000 晴 111 雨就能检测两个以下错码,或纠正
4、一个错码。,7,分组码概念分组码 信息位 监督位分组码符号:(n,k)其中,n 码组总长度,k 信息码元数目。r=n k 监督码元数目。右表中的码组为(3,2)码。分组码的一般结构:分组码的参数:码重:码组内“1”的个数码距:两码组中对应位取值不同的位数,又称汉明距离 最小码距(d0):各码组间的最小距离,8,码距的几何意义:以n=3的编码为例 一般而言,码距是 n 维空间中单位正多面体顶点之间的汉明距离。,9,一种编码的纠检错能力:决定于最小码距d0的值。为了能检测e个错码,要求最小码距为了能纠正 t 个错码,要求最小码距,10,为了能纠正t个错码,同时检测e个错码,要求最小码距纠检结合工作
5、方式:当错码数量少时,系统按前向纠错方式工作,以节省重发时间,提高传输效率;当错码数量多时,系统按反馈重发的纠错方式工作,以降低系统的总误码率。,11,10.3 纠错编码系统的性能10.3.1 误码率性能和带宽的关系 采用编码降低误码率所付出的代价是带宽的增大。,12,10.3.2 功率和带宽的关系采用编码以节省功率,并保持误码率不变,付出的代价也是带宽增大。,13,10.3.3 传输速率和带宽的关系对于给定的传输系统,其传输速率和Eb/n0的关系:式中,RB 码元速率。提高传输速率,采用编码以保持误码率不变;付出的代价仍是带宽增大。,14,10.3.4 编码增益定义:在保持误码率恒定条件下,
6、采用纠错编码所节省的信 噪比Eb/n0称为编码增益:式中,(Eb/n0)u 未编码时的信噪比(dB);(Eb/n0)c 编码后所需的信噪比(dB)。,15,10.4 奇偶监督码10.4.1 一维奇偶监督码奇偶监督码 分为奇数监督码和偶数监督码两类。在奇偶监督码中,监督位只有1位,故码率等于k/(k+1)。偶数监督码中,此监督位使码组中“1”的个数为偶数:式中,a0为监督位,其他位为信息位。奇数监督码中,此监督位使码组中“1”的个数为奇数:,16,检错能力 能够检测奇数个错码。设:码组长度为n,码组中各个错码的发生是独立的和等概率的,则在一个码组中出现 j 个错码的概率为 式中,为在n个码元中有
7、j个错码的组合数。奇偶监督码不能检测码组中出现的偶数个错码,所以在一个码组中有错码而不能检测的概率等于:当n为偶数时 当n为奇数时,17,例 右表中的编码是偶数监督码。设信道的误码率为10-4,错码的出现是独立的。试计算其不能检测的误码率。将给定条件代入式计算得出由计算结果可见,此编码可以将误码率从10-4降低到10-8量级。效果非常明显。,18,10.4.2 二维奇偶监督码码率等于有可能检测偶数个错码适合检测突发错码 能够纠正部分错码,19,10.5 线性分组码基本概念代数码 利用代数关系式产生监督位的编码线性分组码 代数码的一种,其 监督位和信息位的关系由线性代数方程决定汉明码 一种能够纠
8、正一个错码的线性分组码校正子:在偶数监督码中,计算实际上就是计算并检验S是否等于0。S称为校正子。监督关系式:,20,纠错基本原理 中,S只有两种取值,故只能表示有错和无错,而不能进一步指明错码的位置。若此码组长度增加一位,则能增加一个监督关系式。这样,就能得到两个校正子。两个校正子的可能取值有4种组合,即00,01,10,11,故能表示4种不同的信息。若用其中一种组合表示无错码,则还有其他3种组合可以用于指明一个错码的3种不同位置。从而可以有纠错能力。一般而言,若有 r 个监督关系式,则 r 个校正子可以指明一个错码的(2r 1)个不同位置。当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n
9、时,才能够纠正码组中任何一个位置上的错码,即要求,21,汉明码例:要求设计一个能够纠正1个错码的分组码(n,k),给定的码组中有4个信息位,即k=4。由这时要求监督位数r 3。若取r=3,则n=k+r=7。现在用a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0表示这7个码元,用S1 S2 S3表示校正子,则这3个校正子恰好能够指明23 1=7个错码的位置。若规定校正子和错码位置的关系如下表,则仅当在a6 a5 a4 a2位置上有错码时,校正子S1的值才等于1;否则S1的值为零。这就意味着a6 a5 a4 a2四个码元构成偶数监督关系:同理,有,22,在编码时,信息位a6 a5 a4 a3的值决定于输入
10、信号,它们是随机的。监督位a2 a1 a0是按监督关系确定的,应该保证上列3式中的校正子等于0,即有给定信息位后,为了计算监督位,上式可以改写为按照上式计算结果为,23,在接收端解码时,对于每个接收码组,先按式计算出校正子S1,S2和S3,然后按照表判断错码的位置。例:若接收码组为0000011,则按上三式计算得到:S1=0,S2=1,S3=1。这样,由上表可知,错码位置在a3。,24,上例中的汉明码是(7,4)码,其最小码距d0=3。由式可知,此码能够检测2个错码,或纠正1个错码。汉明码的码率:当r(或n)很大时,上式趋近于1。所以汉明码是一种高效编码。,25,分组码的一般原理线性分组码的监
11、督位和信息位的关系 可以改写为上式中,已经将“”简写成“+”。,26,监督矩阵上式可以写成矩阵形式:(模2)将上式简写为HAT=0T 或AHT=0,27,HAT=0T 式中,称为监督矩阵 监督矩阵的性质监督矩阵H确定码组中的信息位和监督位的关系。H 的行数就是监督关系式的数目,即监督位数 r。H 的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系。H 可以分成两部分,例如 典型监督矩阵 式中,P 为r k阶矩阵,Ir为 r r 阶单位方阵。,28,H 矩阵的各行应该是线性无关的,否则将得不到 r 个线性无关的监督关系式。若一个矩阵能写成典型阵形式P Ir,则其各行一定是线性无关的。生成矩阵例:可以
12、写为上式两端分别转置后,可以变成式中,Q为k r 阶矩阵,是P的转置,即 Q=PT,29,将Q的左边加上一个k阶单位方阵,称为生成矩阵:生成矩阵 G称为生成矩阵,因为可以用它产生整个码组A,即有生成矩阵的性质具有IkQ形式的生成矩阵称为典型生成矩阵。由典型生成矩阵得出的码组A中,信息位的位置不变,监督位附加于其后。这种形式的码组称为系统码。矩阵G的各行也必须是线性无关的。如果已有k个线性无关的码组,则可以将其用来作为生成矩阵G,并由它生成其余码组。,30,错误图样设:发送码组A是一个n列的行矩阵:接收码组是一个n列的行矩阵B:令接收码组和发送码组之差为E就是错码的行矩阵 称为错误图样 式中,(
13、i=0,1,n-1)若ei=0,表示该码元未错;若ei=1,表示该码元为错码。,31,校正子矩阵 B A=E 可以改写成 B=A+E上式表示发送码组A与错码矩阵E之和等于接收码组B。例如,若发送码组A=1 0 0 0 1 1 1,错码矩阵E=0 0 0 0 1 0 0,则 接收码组B=1 0 0 0 0 1 1。在接收端解码时,将接收码组B代入式AHT=0中A的位置进行计算。若接收码组中无错码,则B=A。代入后,该式仍成立,即有BH T=0只有当错码未超出检测能力时,上式才不成立。假设,这时该式的右端等于S,即有BH T=S将B=A+E 代入上式,得到:S=(A+E)H T=AH T+EH T
14、,32,S=(A+E)H T=AH T+EH T上式右端第一项等于0,所以 S=EH T 校正子矩阵当H 确定后,上式中S只与E 有关,而与A 无关。这意味着,S 和错码E 之间有确定的线性变换关系。若S 和E 有一一对应关系,则S 将能代表错码位置。线性码的封闭性:若A1和A2是一种线性码中的两个码组,则(A1+A2)仍是其中一个码组。证若A1和A2是两个码组,则有:A1HT=0,A2HT=0 将上两式相加,得出A1HT+A2HT=(A1+A2)HT=0 所以(A1+A2)也是一个码组。由于线性码具有封闭性,所以两个码组(A1和A2)之间的距离(即对应位不同的数目)必定是另一个码组(A1+A
15、2)的重量(即“1”的数目)。因此,码的最小距离就是码的最小重量(除全“0”码组外)。,33,10.6 循环码10.6.1 循环码的概念:循环性是指任一码组循环一位后仍然是该编码中的一个码组。例:一种(7,3)循环码的全部码组如下 表中第2码组向右移一位即得到第5码组;第5码组向右移一位即得到第7码组。,34,一般情况 若(an-1 an-2 a0)是循环码的一个码组,则循环移位后的码组:(an-2 an-3 a0 an-1)(an-3 an-4 an-1 an-2)(a0 an-1 a2 a1)仍然是该编码中的码组。多项式表示法一个长度为n的码组(an-1 an-2 a0)可以表示成 上式中
16、x 的值没有任何意义,仅用它的幂代表码元的位置。例:码组1 1 0 0 1 0 1可以表示为,35,10.6.2 循环码的运算 整数的按模运算在整数运算中,有模n运算。例如,在模2运算中,有1+1=2 0(模2),1+2=3 1(模2),2 3=6 0(模2)等等。一般说来,若一个整数m可以表示为式中,Q为整数,则在模n运算下,有m p(模n)所以,在模n运算下,一个整数m等于它被n除得的余数。,36,码多项式的按模运算 若任意一个多项式F(x)被一个n次多项式N(x)除,得到商式Q(x)和一个次数小于n的余式R(x),即则在按模N(x)运算下,有这时,码多项式系数仍按模2运算。例1:x3被(
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