《运动微分方程》PPT课件.ppt

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1、动力学绪论,1 动力学的研究对象 动力学的研究对象：质点和质点系。质点是指几何尺寸可以忽略不计，但具有一定质量的物体。质点系是由几个或无限个相互联系的质点组成的系统。刚体是质点系的一种特殊情形。2 动力学的研究内容动力学是研究物体的机械运动与作用力之间的关系。已知运动求力 已知力求运动 既有未知的运动量,又有未知力.,4 动力学的理论基础 牛顿定律的适用范围：惯性坐标系；速度远远小于光速；宏观物体;质点(平动刚体)动力学理论有着广泛的应用。航天航空中的动力学计算、结构的动荷响应、高速转动机械的动力学行为分析等都需要有动力学的知识作为基础。,解决动力学问题的基本方法 质点运动微分方程-质点动力学

2、普遍定理(三大动力学定理+达朗伯原理)-质点系分析力学方法虚位移原理,第一章 质点运动微分方程,11 质点运动微分方程12 质点动力学的两类问题13 质点相对运动基本方程,第一定律 不受力（平衡力系）作用的质点将永远保持静止或作匀速直线运动。又称惯性定律。两个基本概念：质点都有惯性，即保持原来运动状态的性质；力是改变质点运动状态的原因。（定性）,第二定律 质点的质量与加速度的乘积等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。即,11 质点运动微分方程,1 动力学基本定律牛顿三定律,此式即质点动力学的基本方程。此定律给出：物体的受力与物体运动状态的改变之间定量关系（定量）。,力使物体产生

3、沿其方向的加速度 F作用在质点上的合力(共点力系的合力)a质点相对惯性系的加速度(绝对加速度)瞬时运动量的关系 适用范围(质点,平动刚体),(1)质点运动微分方程在直角坐标轴上投影,2运动微分方程,(2)质点运动微分方程在自然轴上投影,(3)质点运动微分方程的复合运动形式,12 质点动力学的两类问题,具体求解步骤:明确研究对象分析受力-全部外力 分析运动-一般位置(运动描述的方法)3.建立方程并求解,例：小球M的重量为G，设以匀速vr沿直管OA运动，同时管OA以匀角速度w 绕铅直轴z转动。求小球对管壁的水平压力。,已知质点的运动，求作用于质点的力。,解：研究小球,例,一质量为3kg的小球连于绳

4、的一端，可以在铅垂面内摆动，绳长l=0.8m。已知当q=60时绳的张力为25N,求此瞬时小球的速度和加速度。,解,根据质点动力学方程,研究小球,解得：,an=3.33m/s2 at=8.66m/s2,再根据an=v2/l,可求v=1.632m/s,已知作用于质点的力，求质点的运动,例,图示质量为m的质点O带有电荷e，如已知质点在均匀电场中所受力F=esinkt,k为常数。又质点的初速为v0,与x轴夹角为q,且取坐标原点为起始位置。如不计重力影响，求质点的运动方程。,解,根据质点动力学方程：,已知作用于质点的力，求质点的运动,速度初始条件为：,位置初始条件为：,弹簧质量系统，物块的质量为m，弹簧

5、的刚度系数为k，物块自平衡位置的初始速度为v0。求物块的运动方程。,1.重力mg只改变了系统的平衡位置，对运动规律并无影响。2.物块垂直悬挂时，坐标原点选择不同对运动微分方程的影响这一问题请同学们自己研究。,取坐标轴 x 铅直向下，原点在物体的初始位置。写出物体 M 的运动微分方程,例题 质量是m的物体M在均匀重力场中沿铅直线由静止下落，受到空气阻力的作用。假定阻力F与速度平方成比例，即F=v2，阻力系数单位取kg/m，数值由试验测定。试求物体的运动规律。,解:,加速度为零时,于是物体速度随时间而变化的规律为,th 是双曲正切。,物体的运动方程为,分析例,神州6号载人飞船回收过程中的动力学问题

6、。假设回收舱重为P,回收舱在距离地面h处打开阻力伞，此时速度为v0，回收舱受到的空气阻力与速度成正比：F=cv，c为常数。求回收舱到达地面时的速度和加速度。,例题粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0时（如图）才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。,n,视铁球为质点。铁球被旋转的滚筒带着沿圆弧向上运动，当铁球到达某一高度时，会脱离筒壁而沿抛物线下落。,F=ma,铁球在未离开筒壁前的速度，等于筒壁上与其重合点的速度。即,当=0 时铁球将落下，这时FN=0，于是得滚筒转速,2.当0=0时，铁球就会紧贴筒壁转过最高点而不脱离

7、筒壁落下，起不到粉碎矿石的作用。,1.显然，0 越小，要求n 越大。,讨论,n,13 非惯性系中质点运动微分方程,牵连惯性力,科氏惯性力,质点相对运动微分方程,例 设车厢以匀加速度a沿水平直线轨道向右行驶。求由车厢棚顶M0处自由落下的质点M的相对运动。,分析质点M，取动坐标系 O1x1y1z1,固连于车厢。,mar=F+Fe+FC,mar=W+Fe,Fe=mae,当 t=0 时,例题 一质量是m的小环M套在半径是R的光滑圆环上，并可沿大圆环滑动，而大圆环在水平面内以匀角速度绕通过点O的铅垂轴转动。在初瞬时，=0，=2，试写出小环M相对于大圆环的运动微分方程，并求出大圆环对小环M的约束力。,解:,分析小环。取动坐标系与大圆环固连，小环M相对于大圆环的位置用弧坐标 s=R 表示。,作用于小环M的力有大圆环的约束力FN。为了写出小环的相对运动微分方程，还要加上相应的牵连惯性力Fe和科氏惯性力FC。,受力分析,运动分析,这就是小环 M 相对于大圆环的运动微分方程。,应用循环变换，将式(a)的变量分离并代入初始条件进行积分,由式(1)得,大圆环对小环的约束力为,将上式代入下式,本章小结,1质点动力学的基本方程为,2质点动力学的两类问题,3质点相对非惯性参考系矢量形式的微分方程为,