《超静定问题》PPT课件.ppt
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1、1,第六章 简单的超静定问题,6-1 超静定问题及其解法,.关于超静定问题的概述,(a),(b),图a所示静定杆系为减小杆1,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1,FN2,FN3,但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。,图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx,FA,FB,FC,但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。,超静定问题:单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。,.解超静定问题的基本思路,例1,超静定结构,解除“多余”约束,静定基,(例如杆3与接点A的连接),在静定基上加上原有荷
2、载及“多余”未知力,并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件,相当系统,于是可求出多余未知力FN3。,由位移相容条件,利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程:,补充方程为,于是可求出多余未知力FC。,例2,.注意事项,(1)超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数,因而任何超静定问题都是可以求解的。,(2)求出“多余”未知力后,超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。,(3)无论怎样选择“多余”约束,只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同,则所得最终结果是一样的。,(4)“多余”约束的选择虽然是任意的,但应以计算方便为原则。,如
3、上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束,则求解比较复杂。,例1 设1、2、3 三杆用绞链连结,如图所示,l1=l2=l,A1=A2=A,E1=E2=E,3杆的长度 l3,横截面积 A3,弹性模量E3.试求在沿铅垂方向的外力 F 作用下各杆的轴力.,这是一次超静定问题,6-2 拉压超静定问题,(2)变形几何方程,由于问题在几何,物理及 受力方面都是对称,所以变形后A点将沿铅垂方向下移.变形协调条件是变形后三杆仍绞结在一起,变形几何方程为,(3)补充方程,物理方程为,(4)联立平衡方程与补充方程求解,15,例题2 求图a所示等直杆AB上,下端的约束力,并求C截面的位移。杆的拉压刚度为EA。,解:
4、1.列平衡方程 有两个未知约束力FA,FB(见图a),但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 为一次超静定问题。,第六章 简单的超静定问题,16,2.取固定端B为“多余”约束。相应的相当系统如图b,它应满足相容条件BF+BB=0,参见图c,d。,第六章 简单的超静定问题,3.补充方程为,由此求得,所得FB为正值,表示FB的指向与假设的指向相符,即向上。,17,得 FA=F-Fa/l=Fb/l。,5.利用相当系统(如图)求得,4.联立求解 FA+FB-F=0,第六章 简单的超静定问题,例3 如图所示刚性梁AB由1,2,3杆悬挂,三杆的刚度均为EA。求P力作用下三杆的轴力。,解:,(1),平
5、衡方程:,变形协调方程:,(2),物理方程:,(3),联解(1)(2)(3)式得:,此时,变形协调条件为,注意:受力图与变形图必须一致!,例4 图示结构,AB为刚性梁,1、2两杆刚度相同。求1、2杆的受力。,平衡方程:,变形关系:,物理关系:,联立解出:,.装配应力和温度应力,(1)装配应力,超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束,因此如果各杆件在制造时长度不相匹配,则组装后各杆中将产生附加内力装配内力,以及相应的装配应力。,图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了De,装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时,杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b),而杆1,2在汇
6、交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。,(a),(b),求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a),列出补充方程,由此可得装配力FN3,亦即杆3中的装配内力为,(拉力),(a),至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。,由此可见,计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。,而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为,例题5 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1,2(图a),其长度l=200 mm,直径d=10 mm。试求将长度为200.11 mm,亦即De=0.11
7、mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知:铜杆3的横截面为20 mm30 mm的矩形,钢的弹性模量E=210 GPa,铜的弹性模量E3=100 GPa。,解:1.如图d所示有三个未知的装配内力FN1,FN2,FN3,但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程,故为一次超静定问题。也许有人认为,根据对称关系可判明FN1=FN2,故未知内力只有二个,但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程:,所以这仍然是一次超静定问题。,(d),2.变形相容条件(图c)为,这里的Dl3是指杆3在装配后的缩短值,不带负号。,3.利用物理关系得补充方程:,4.将补充方程与平衡
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