《行列式的计算》PPT课件.ppt

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1、3.2 行列式的性质,3.3 行列式与矩阵的逆,3.4 行列式的计算,3.5 行列式与矩阵的秩,3.1 n 阶行列式的概念,第3章 行列式,3.4 行列式的计算,3.4.1 降阶法,内容小结,3.4.2 三角化方法,3.4.3 归纳法,3.4.4 递推法,3.4.5 分拆法,3.4.6 升阶法,3/29,行列式计算常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.,行列式计算的理论根据:行列式的按行(列)展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法则,4/29,例3.9 计算四阶行列式,3.4.1 降阶法,应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多,然后按该行或该列展开,化为低阶

2、行列式来计算.,5/29,解,6/29,解 将|A|按第 n 行展开,得,例3.10 计算 n 阶行列式,7/29,例3.11 计算 n 阶行列式,解,将第 2,3,n 列都加到第一列得,3.4.2 三角化方法,利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.,8/29,9/29,10/29,例3.12 计算,解,先把第一行乘以(1)加到以下各行,再把后面各列加到第一列.,11/29,3.4.3 归纳法,通过计算低阶行列式,发现某种规律,进而猜想 k 阶行列式符合这种规律,然后证明 k1 阶行列式也呈现此规律,这就是数学归纳法的思想.,12/29,证,对行列式的阶数 n 用数学归纳法.,例3.13 证

3、明 Vandermonde 行列式,因为,所以 n 2 时,等式成立.,13/29,假设等式对 n 1阶 Vandermonde 行列式 Vn 1 成立,n 1阶Vandermonde行列式,则,14/29,因此由归纳法假设得,所以等式对所有 n 2 都成立.,15/29,3.4.4 递推法,利用按行(列)展开法则,将 n 阶行列式化成形式相同的 n 1 阶行列式,从而建立递推关系,反复应用这个递推关系便可求出 n 阶行列式.,16/29,例3.14 计算,解,将 Dn 按第一行展开,得,Dn 1,Dn 2,17/29,从而,因,故,再把第二个行列式按第一列展开,得,18/29,于是,19/2

4、9,3.4.5 分拆法,分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积.,例3.15 计算 n 阶行列式,解 先将 Dn 的最后一行拆开,得,20/29,将 y 与 z 互换,行列式 Dn 不变,从而,21/29,当 z y 时,解得,当 z y 时,由例3.11 的结果知,22/29,解,细心观察可以发现,当 n 3 时,有,例3.16 计算行列式,23/29,从而当 n 3 时,A 0.,24/29,当 n 1 时,显然,当 n 2 时,有,25/29,3.4.6 升阶法,为便于应用行列式的性质,有时在原来的行列式中添加一行一列,即把行列式的阶数增加1,这就是升阶法.升阶必须给计算带来方便,而且要求升阶后的行列式与原来的行列式相等.升阶法也叫加边法.,26/29,解 将行列式升阶,得,例3.17 计算,27/29,将新行列式的第二列依次与第 3,4,n 列交换,再将新行列式第二列依次与第 3,4,n1 列交换,再将新行列式第二列依次与第 3,4,n2 列交换,得,将新行列式第一行乘 i 加到第 i 行,得,28/29,转置的Vandermonde行列式,将新行列式第一行的元乘 i 加到第 i 行,得,29/29,内容小结,行列式计算常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.,