《线性代数实验》PPT课件.ppt

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1、说明：本次课件不作为课程内容，没有作业，仅供参考！,第1章 矩阵与行列式,【矩阵与行列式简介】在计算机日益发展的今天，线性代数起着越来越重要的作用。线性代数起源于解线性方程组的问题，而利用矩阵来求解线性方程组的Gauss消元法至今仍是十分有效的计算机求解线性方程组的方法。矩阵是数学研究和应用的一个重要工具，利用矩阵的运算及初等变换可以解决求解线性方程组等问题。特殊的矩阵方阵的数字特征之一是方阵的行列式，使用行列式可以描述方阵的一些重要的性质。通过计算行列式可求逆矩阵，n个,第1章 矩阵与行列式,未知量n个方程的线性方程组的惟一解等问题。向量也是研究矩阵的有力工具，可通过向量组的秩来定义矩阵的秩

2、。向量与矩阵、行列式都是线性代数的重要基本概念，它们是建立线性方程组的解的构造理论与系统求解方法的三个基本工具。,第1章 矩阵与行列式,验证性实验实验一 矩阵的运算【实验目的】1理解矩阵、逆矩阵的概念2掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、逆、方阵的幂的运算【实验要求】理解矩阵赋值命令、符号变量说明syms、加法+、乘法*、转置、逆矩阵inv、方阵的幂等命令,第1章 矩阵与行列式,【实验内容】1已知下列矩阵：（1），；（2），计算，,第1章 矩阵与行列式,【实验过程】1（1）A=3 1 1;2 1 2;1 2 3;B=1 1-1;2-1 0;1 0 1;C=A+B运行结果：C=4 2 0 4 0 2

3、 2 2 4,第1章 矩阵与行列式,AB=A*B运行结果：AB=6 2-2 6 1 0 8-1 2 D=6*A运行结果：D=18 6 6 12 6 12 6 12 18,第1章 矩阵与行列式,sym c;cA=c*A运行结果：cA=3*c,c,c 2*c,c,2*c c,2*c,3*c F=A运行结果：F=3 2 1 1 1 2 1 2 3,第1章 矩阵与行列式,G=inv(A)运行结果：G=1/4 1/4-1/4 1-2 1-3/4 5/4-1/4 H=A5运行结果：H=1492 1006 1460 1558 1069 1558 1914 1331 1946,第1章 矩阵与行列式,（2）A=

4、sym(a b;c d);B=sym(1 a;1 b);C=A+B运行结果：C=a+1,b+a c+1,d+b AB=A*B运行结果：AB=b+a,a2+b2 c+d,c*a+d*b,第1章 矩阵与行列式,D=6*A运行结果：D=6*a,6*b 6*c,6*d sym c;cA=c*A运行结果：cA=c*a,c*b c2,c*d,第1章 矩阵与行列式,F=A运行结果：F=conj(a),conj(c)conj(b),conj(d)%conj为复数共轭即 G=inv(A)运行结果：G=d/(a*d-c*b),-b/(a*d-c*b)-c/(a*d-c*b),a/(a*d-c*b)即,第1章 矩阵

5、与行列式,实验二 矩阵的初等变换【实验目的】1理解矩阵初等变换的概念 2掌握矩阵的初等变换及用初等变换求矩阵的逆矩阵【实验要求】掌握矩阵的表示、符号变量说明syms、逆矩阵inv等命令,【实验内容】1已知矩阵，求对矩阵实施如下的初等变换后所得矩阵。矩阵的第2行乘以m；矩阵的第3列的n倍加到第1列上去；矩阵的第1行与第2行交换。2已知矩阵，提取矩阵的第2、3、4行与第3、4列的元素构成矩阵B，提取矩阵的第2、3、4行与第1、4列的元素构成矩阵C,第1章 矩阵与行列式,3.用初等变换求矩阵 的逆矩阵。4已知，且，求,第1章 矩阵与行列式,【实验过程】1（1）syms m;A=sym(a b c d

6、;e f g h;i j k l);A(2,:)=m*A(2,:)运行结果：A=a,b,c,d m*e,m*f,m*g,m*h i,j,k,l（2）syms n;A=sym(a b c d;e f g h;i j k l);A(:,1)=A(:,1)+n*A(:,3)运行结果：A=a+n*c,b,c,d e+n*g,f,g,h i+n*k,j,k,l,第1章 矩阵与行列式,（3）A=sym(a b c d;e f g h;i j k l);A(2,1,:)=A(1,2,:)运行结果：A=e,f,g,h a,b,c,d i,j,k,l2 A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12;

7、13 14 15 16;B=A(2:4,3:4)运行结果：B=7 8 11 12 15 16,第1章 矩阵与行列式,C=A(2:end,1,4)运行结果：C=5 8 9 12 13 16 3 A=0 1 2;1 1 4;2-1 0;E=eye(3);B=A,E运行结果：B=0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 2-1 0 0 0 1,第1章 矩阵与行列式,B(1 2,:)=B(2 1,:)运行结果：B=1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2-1 0 0 0 1 B(3,:)=B(3,:)-2*B(1,:)运行结果：B=1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0-3

8、-8 0-2 1,第1章 矩阵与行列式,B(3,:)=B(3,:)+3*B(2,:)运行结果：B=1 1 4 0 1 0 0 1 2 1 0 0 0 0-2 3-2 1 B(2,:)=B(2,:)+B(3,:);B(1,:)=B(1,:)+2*B(3,:)运行结果：B=1 1 0 6-3 2 0 1 0 4-2 1 0 0-2 3-2 1,第1章 矩阵与行列式,B(1,:)=B(1,:)-B(2,:);B(3,:)=-1/2*B(3,:)运行结果：B=1 0 0 2-1 1 0 1 0 4-2 1 0 0 1-3/2 1-1/2 4 A=1 0 1;-1 1 1;2-1 1;B=1 1;0 1

9、;-1 0;X=inv(A)*B运行结果：X=3 1 5 2-2 0,第1章 矩阵与行列式,实验三 Gauss消元法【实验目的】掌握解线性方程组的Gauss消元法【实验要求】掌握矩阵赋值命令、初等变换相关命令、简化矩阵为阶梯形式rref等命令【实验内容】1用Gauss消元法解线性方程组：（1）；（2）,第1章 矩阵与行列式,【实验过程】1（1）解法一：Gauss消元法A=1 2 1 8;1 2 3 10;2 3 1 13;1 2 2 9;A(2,:)=A(2,:)-A(1,:);A(3,:)=A(3,:)-2*A(1,:);A(4,:)=A(4,:)-A(1,:)运行结果：A=1 2 1 8

10、0 0 2 2 0-1-1-3 0 0 1 1 A(2,3,:)=A(3,2,:)运行结果：A=1 2 1 8 0-1-1-3 0 0 2 2 0 0 1 1,第1章 矩阵与行列式,A(2,:)=(-1)*A(2,:);A(3,:)=1/2*A(3,:)运行结果：A=1 2 1 8 0 1 1 3 0 0 1 1 0 0 1 1 A(4,:)=A(4,:)-A(3,:);A(1,:)=A(1,:)-A(3,:);A(2,:)=A(2,:)-A(3,:)运行结果：A=1 2 0 7 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0,第1章 矩阵与行列式,A(1,:)=A(1,:)-2*A(2,:)

11、运行结果：A=1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0由上可知，方程组有惟一解解法二：A=1 2 1 8;1 2 3 10;2 3 1 13;1 2 2 9;A=rref(A)运行结果：A=1 0 0 3 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 0由上可知，结果同解法一。,第1章 矩阵与行列式,（2）解法一：Gauss消元法 A=2 4 1 1 5;-1-2-2 1-4;1 2-1 2 1;A(1,3,:)=A(3,1,:)运行结果：A=1 2-1 2 1-1-2-2 1-4 2 4 1 1 5 A(2,:)=A(2,:)+A(1,:);A(3,:)=A(3,:)-2*A

12、(1,:)运行结果：A=1 2-1 2 1 0 0-3 3-3 0 0 3-3 3,第1章 矩阵与行列式,A(3,:)=A(3,:)+A(2,:)运行结果：A=1 2-1 2 1 0 0-3 3-3 0 0 0 0 0 A(2,:)=-1/3*A(2,:)运行结果：A=1 2-1 2 1 0 0 1-1 1 0 0 0 0 0 A(1,:)=A(1,:)+A(2,:)运行结果：A=1 2 0 1 2 0 0 1-1 1 0 0 0 0 0由上可知，方程组 有解，其中 是自由未知量。,第1章 矩阵与行列式,解法二：A=2 4 1 1 5;-1-2-2 1-4;1 2-1 2 1;A=rref(A

13、)运行结果：A=1 2 0 1 2 0 0 1-1 1 0 0 0 0 0由上可知，结果同解法一。,第1章 矩阵与行列式,实验四 行列式及应用【实验目的】1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质2掌握行列式的计算方法3掌握Gramer法则求解线性方程组【实验要求】掌握计算行列式det、解线性方程组solve、生成Vandermonde行列式vander等命令【实验内容】1计算下列行列式的值：（1）；（2）；,第1章 矩阵与行列式,（3）2已知，验证 3用Gramer法则解线性方程组 4c为何值时，齐次线性方程组 有非零解？,第1章 矩阵与行列式,【实验过程】1（1）A=-2 5-1 3;1-9

14、13 7;3-1 5-5;2 8-7-10;det(A)运行结果：ans=312（2）A=sym(a b b b b;b a b b b;b b a b b;b b b a b;b b b b a);det(A)运行结果：ans=a5-10*a3*b2+20*a2*b3-15*a*b4+4*b5即行列式的值为（3）A=1,2,3,4;V=vander(A);det(V)运行结果：ans=12,第1章 矩阵与行列式,3解法一：A=2 1-5 1;1 4-7 6;1-3 0-6;0 2-1 2;A1=8 1-5 1;0 4-7 6;9-3 0-6;-5 2-1 2;A2=2 8-5 1;1 0-7

15、 6;1 9 0-6;0-5-1 2;A3=2 1 8 1;1 4 0 6;1-3 9-6;0 2-5 2;A4=2 1-5 8;1 4-7 0;1-3 0 9;0 2-1-5;a=det(A);a1=det(A1);a2=det(A2);a3=det(A3);a4=det(A4);X=a1/a,a2/a,a3/a,a4/a运行结果：X=3-4-1 1 即得方程组的解为，,第1章 矩阵与行列式,解法二：A=2 1-5 1 8;1 4-7 6 0;1-3 0-6 9;0 2-1 2-5;A1=A(:,5),A(:,2:4);A2=A(:,1),A(:,5),A(:,3:4);A3=A(:,1:2

16、),A(:,5),A(:,4);A4=A(:,1:3),A(:,5);a=det(A(:,1:4);a1=det(A1);a2=det(A2);a3=det(A3);a4=det(A4);X=a1/a,a2/a,a3/a,a4/a运行结果：X=3-4-1 1,第1章 矩阵与行列式,4 syms c;A=c-1-2-2;-2 c-1-2;-2-2 c-1;a=det(A);c=solve(a,c)运行结果：c=5-1-1即当或时，原线性齐次方程组有非零解。,第1章 矩阵与行列式,实验五 向量【实验目的】理解向量、向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关的概念掌握向量组线性相关、线性无

17、关的有关性质及判别法理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念会求向量组的极大线性无关组和秩5掌握矩阵秩的求法【实验要求】掌握简化矩阵为阶梯形式rref、计算行列式det、计算矩阵的秩rank等命令【实验内容】设向量：，问b能否由 线性表示？,第1章 矩阵与行列式,2判断下列向量组是否线性相关：（1），；（2），3求向量组，的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大线性无关组中的向量线性表示。4求矩阵 的秩。,第1章 矩阵与行列式,5求向量 在基，下的坐标【实验过程】1解法一：A=-1 3 1;0 4 4;1-2 0;2 5 9;b=5;4;-4;1;B=A,b;r=rank(A),rank(

18、B)运行结果：r=1 2由上可知，故方程组有解。,第1章 矩阵与行列式,解法二：设，即有 A=-1 3 1 5;0 4 4 4;1-2 0-4;2 5 9 1运行结果：A=-1 3 1 5 0 4 4 4 1-2 0-4 2 5 9 1B=rref(A)运行结果：B=1 0 2-2 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0由上可知，故方程组有解，即b可由 线性表示，且。,第1章 矩阵与行列式,2（1）A1=1;0;5;7;A2=-1;1;-2;3;A3=2;-1;7;4;A=A1,A2,A3;r=rank(A)运行结果：r=2此向量组的秩等于2，故此向量组线性相关。（2）A1=1;1;1

19、;A2=0;2;5;A3=1;3;6;A=A1,A2,A3;a=det(A)运行结果：a=0此向量组组成的矩阵的行列式的值为0，故此向量组线性相关。,第1章 矩阵与行列式,3 A=2 3 1 4;1-1 3-3;3 2 4 1;-1 0-2 1;B=rref(A)运行结果：B=1 0 2-1 0 1-1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 由上可知，是向量组的一个极大线性无关组，且，4解法一：A=1 2-1 4;2 4 3 5;-1-2 6-7;r=rank(A)运行结果：r=2,第1章 矩阵与行列式,解法二：format ratA=1 2-1 4;2 4 3 5;-1-2 6-7;B=rre

20、f(A)运行结果：B=1 2 0 17/5 0 0 1-3/5 0 0 0 0 由上可知，矩阵A的秩为2,第1章 矩阵与行列式,5.即求满足方程 的解。A1=1;1;0;A2=1;0;1;A3=0;1;1;A=A1,A2,A3;b=3;-5;9;X=inv(A)*b 输出X=-5.5000 8.5000 0.5000,第1章 矩阵与行列式,设计性实验Cayler-Hamilton定理【实验目的】1理解特征多项式的概念 2掌握Cayler-Hamilton定理【实验要求】掌握生成Vandermonde矩阵的vander命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm命令及矩阵多

21、项式运算的polyvalm命令【实验内容】Cayler-Hamilton定理是矩阵理论中的一个比较重要的定理，其内容为：若矩阵A的特征多项式为则有 亦即假设矩阵A为Vandermonde矩阵，试验证其满足Cayler-Hamilton定理。,第1章 矩阵与行列式,【实验方案】Matlab提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产生一定的误差，而该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨大的误差，从而得出错误的结论。在实际应用中还有其他简单的数值方法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。例如，下面给出的Fadeev-Fadeeva递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。,第1章

22、 矩阵与行列式,可以直接由下面的Matlab语句编写一个函数实现：Function c=poly1(A)nr,nc=size(A);if nc=nr%给出若为方阵，则用Fadeev-Fadeeva算法求特征多项式 I=eye(nc);R=I;c=1 zeros(1,nc);for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I;end elseif(nr=1 nc=1)%给出为向量时，构造矩阵 A=A(isfinite(A);n=length(A);%出去非数或无界的特征根 c=1 zeros(1,n);for j=1:n c(2:(j+1)=c(2:

23、(j+1)-A(j).*c(1:j);endelse%参数有误则给出错误信息 error(Argument must be a vector or a square matrix.)end.,第1章 矩阵与行列式,【实验过程】A=vander(1 2 3 4 5 6 7);运行结果：A=1 1 1 1 1 1 1 64 32 16 8 4 2 1 729 243 81 27 9 3 1 4096 1024 256 64 16 4 1 15625 3125 625 125 25 5 1 46656 7776 1296 216 36 6 1 117649 16807 2401 343 49 7 1

24、 A运行结果：aa1=1.0e+009*0.0000-0.0000-0.0002 0.0287 1.1589-6.2505-2.4223 0.0249,第1章 矩阵与行列式,如调用新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。aa1=poly1(A);b1=polyvalm(aa1,A);norm(B1)运行结果：ans=0可见，由此得出的B矩阵就会完全等于0，故该矩阵满足Cayley-Hamilton定理。,第1章 矩阵与行列式,第2章 线性方程组,【线性方程组简介】线性方程组的求解问题促进了线性代数的产生和发展，利用矩阵、行列式和向量这三个基本工具可较好的解决线性方程组的求解问题。利用

25、解向量所构成的基础解系可方便的描述解空间的基本特征及写出通解，从而较好地描述了线性方程组解的结构问题。,第2章 线性方程组,验证性实验实验一 线性方程组【实验目的】理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念掌握齐次线性方程组的基础解系和通解的求法3理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念【实验要求】掌握分数数据格式format rat、求基础解系null、简化矩阵为阶梯形式rref、解方程组solve等命令,第2章 线性方程组,【实验内容】1.求齐次线性方程组 的基础解系及通解。2.判断方程组 是否有解？,第2章 线性方程组,3.求方程组 的基础解系及通解。4.求方程组 的基础解系及通解

26、。,第2章 线性方程组,【实验过程】1解法一：format ratA=1 1 1 1;1 3 2 4;2 0 1-1;B=rref(A)运行结果：B=1 0 1/2-1/2 0 1 1/2 3/2 0 0 0 0,第2章 线性方程组,由上可知，方程组有解，其中，是自由未知量。故得方程组的基础解系为，通解为，其中 为任意常数。,第2章 线性方程组,解法二：format rat A=1 1 1 1;1 3 2 4;2 0 1-1;B=null(A,r)运行结果：B=-1/2 1/2-1/2-3/2 1 0 0 1 syms k1 k2 X=k1*B(:,1)+k2*B(:,2),第2章 线性方程组

27、,运行结果：X=-1/2*k1+1/2*k2-1/2*k1-3/2*k2 k1 k2即原方程组的通解为，其中 为任意常数。,第2章 线性方程组,2解法一：A=1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;b=1;2;4;r=rank(A),rank(A,b)运行结果：r=2 3 即系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，故原方程组无解。,第2章 线性方程组,解法二：A=1 1 1 1 1;1 2 3 4 5;2 3 4 5 6;b=1;2;4;B=rref(A,b)运行结果：B=1 0-1-2-3 0 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 从上面所得阶梯形矩阵可以看出系数矩

28、阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，故原方程组无解。,第2章 线性方程组,3解法一：A=1 1 1;-10 12 1;1-9 12;b=66;77;99;r=rank(A),rank(A,b)运行结果：r=3 3 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩3，且等于未知量的个数，故原方程组有惟一解。X=inv(A)*b%X=Ab 运行结果：X=21 22 23,第2章 线性方程组,解法二：syms x1 x2 x3;f1=x1+x2+x3-66;f2=-10*x1+12*x2+x3-77;f3=x1-9*x2+12*x3-99;x1 x2 x3=solve(f1,f2,f3,x1,x2,x3)运行结果：x1=2

29、1x2=22x3=23,第2章 线性方程组,4解法一：A=1 1-2 1 3;2-1 2 2 6;3 2-4-3-9;b=1;2;3;rA=rank(A)运行结果：rA=3 rAb=rank(A,b)运行结果：rAb=3 即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩3，故原方程组有解。,第2章 线性方程组,x0=Ab运行结果：x0=1 0 0 0 0 即原线性方程组的一个特解,第2章 线性方程组,B=rref(A)运行结果：B=1 0 0 0 0 0 1-2 0 0 0 0 0 1 3 由上可知，原方程组的导出组的解为，即可得其导出组的基础解系为，故原方程组的通解为，其中 为任意常数。,第2章 线性方程组,

30、解法二：A=1 1-2 1 3;2-1 2 2 6;3 2-4-3-9;b=1;2;3;X=Ab运行结果：X=1 0 0 0 0,第2章 线性方程组,B=null(A,r)运行结果：B=0 0 2 0 1 0 0-3 0 1故原方程组的通解为，其中 为任意常数。,第2章 线性方程组,设计性实验小行星轨道问题【实验目的】1.掌握线性方程组求解2.加深对正交变换的理解3.掌握Matlab软件中的ezplot、zplot命令的区别和适用范围【实验要求】掌握绘制隐函数曲线ezplot命令和彗星状轨迹图comet命令,第2章 线性方程组,【实验内容】天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，在轨道平面内

31、建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。在五个不同的时间点对小行星作了观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下:表 2-1 小行星观测数据,第2章 线性方程组,由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆。设方程为 试确定椭圆的方程并在轨道的平面内以太阳为原点绘出椭圆曲线。并应用坐标平移变换和正交变换将上例题中的二次曲线方程化为标准方程，绘椭圆轨道图，完成小行星运行的动态模拟。,第2章 线性方程组,【实验方案】（1）二次曲线方程中有五个待定系数：，。将观察所得的五个点坐标数据，代入二次曲线方程得到关于，的线性方程组 求解该方程组得椭圆方

32、程的系数：，。,第2章 线性方程组,（2）将椭圆的一般方程写成矩阵形式 通过变量变换（平移变换和旋转变换）化为椭圆标准方程。首先化去一次项，然后将二次型化为标准型。为了用平移变换消去一次项，令，（，待定），代入方程整理，得,第2章 线性方程组,其中，。要化简消去一次项，只须选择，使满足二阶线性方程组将，代入椭圆的一般方程，得令 求出特征值 极其对应的特征向量。可以取与 等价的正交单位向量。构造正交矩阵，利用正交变换,第2章 线性方程组,得椭圆的标准方程：。椭圆长半轴和短半轴分别为，。,第2章 线性方程组,【实验过程】(1)MATLAB程序如下：x=4.5596;5.0816;5.5546;5.

33、9636;6.2756;y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=x.2,2*x.*y,y.2,2*x,2*y;b=-1;1;1;1;1;a=Ab;syms x y a1 a2 a3 a4 a5fun=a1*x2+2*a2*x*y+a3*y2+2*a4*x+2*a5*y+1;fun=subs(fun,a1,a(1);fun=subs(fun,a2,a(2);fun=subs(fun,a3,a(3);,第2章 线性方程组,fun=subs(fun,a4,a(4);fun=subs(fun,a5,a(5);ezplot(fun,-1.4,7,-1.5,6.5)运

34、行结果：a=-0.33780.1892-0.38180.46090.4104结果表明：二次曲线方程中的各项系数为=-0.3378，=0.1892，=-0.3818，=0.4609，=0.4104。,第2章 线性方程组,图2-2小行星绕太阳运行的轨道,第2章 线性方程组,(2)MATLAB程序如下：x=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756;y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=x.2,2*x.*y,y.2,2*x,2*y;b=-1;1;1;1;1;ak=Ab;C=ak(1),ak(2);ak(2),ak(3);X=-Cak(

35、4);ak(5);x0=X(1);y0=X(2);X=X;1;D=ak(1),ak(2),ak(4);ak(2),ak(3),ak(5);ak(4),ak(5),1;F=X*D*X;U d=eig(C);,第2章 线性方程组,a=sqrt(-F/d(1,1);b=sqrt(-F/d(2,2);t=2*pi*(0:5000)/5000;u=a*cos(t);v=b*sin(t);V=U*u;v;x1=V(1,:)+x0;y1=V(2,:)+y0;plot(x1,y1,x,y,*,x0,y0,rO),hold onx2=x1,x1,x1;y2=y1,y1,y1;comet(x2,y2)disp(x

36、0,y0)disp(a,b),第2章 线性方程组,图2-3 椭圆轨道图,第2章 线性方程组,运行结果：2.7213 2.42342.4299 4.3799。结果表明：椭圆标准方程为：,【矩阵的特征值与特征向量简介】矩阵的特征值与特征向量是矩阵的数字特征，利用矩阵的特征值与特征向量可判断矩阵的相似、解决矩阵对角化及实对称矩阵正交化等问题，促进了矩阵理论的进一步发展及应用。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,验证性实验 矩阵的特征值与特征向量【实验目的】理解矩阵的特征值和特征向量的概念会求矩阵的特征值和特征向量掌握将矩阵化为相似对角矩阵的方法【实验要求】掌握求矩阵的特征多项式poly、求矩阵的特征值

37、和特征向量eig、矩阵的范数norm、值空间正交化orth、单位阵eye等命令,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验内容】设，求矩阵A的特征多项式和特征值。求矩阵 的特征值和特征向量。求矩阵 的特征值和特征向量。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,判断矩阵 是否可以对角化，若能，将其对角化。5设矩阵，求正交矩阵T，使得 为对角矩阵。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验过程】1 A=1 0 0;0 1 8;0 1 3;poly(A)运行结果：ans=1-5-1 5 即矩阵A的特征多项式为 lamda=eig(A)运行结果：lamda=5-1 1即矩阵A的特征值为，,第3章 矩阵的特征值与特征

38、向量,2 A=1 2 2;2 1 2;2 2 1;kesai,lamda=eig(A)运行结果：kesai=0.6015 0.5522 0.5774 0.1775-0.7970 0.5774-0.7789 0.2448 0.5774lamda=-1.0000 0 0 0-1.0000 0 0 0 5.0000即矩阵A的特征值为，对应的特征向量为：，,第3章 矩阵的特征值与特征向量,3 A=sym(0 0 a;0 b 0;c 0 0);kesai,lamda=eig(A)运行结果：kesai=1/c*(c*a)(1/2),-1/c*(c*a)(1/2),0 0,0,1 1,1,0lamda=(c

39、*a)(1/2),0,0 0,-(c*a)(1/2),0 0,0,b即矩阵A的特征值为，对应的特征向量为：，,第3章 矩阵的特征值与特征向量,4 A=0 1 1;1 0 1;1 1 0;kesai,lamda=eig(A)运行结果：kesai=-0.7152 0.3938 0.5774 0.0166-0.8163 0.5774 0.6987 0.4225 0.5774lamda=-1.0000 0 0 0-1.0000 0 0 0 2.0000 inv(kesai)*A*kesai-lamda运行结果：ans=1.0e-015*0.6661 0 0 0 0-0.1943-0.4441 0.22

40、20 0,第3章 矩阵的特征值与特征向量,因1.0e-015 kesai*A*kesai运行结果：ans=-1.0000 0-0.0000 0-1.0000 0.0000-0.0000-0.0000 2.0000即存在正交矩阵 使得,第3章 矩阵的特征值与特征向量,5解法一：A=7-3-1 1;-3 7 1-1;-1 1 7-3;1-1-3 7;kesai,lamda=eig(A)运行结果：kesai=-0.0000 0.7071 0.5000-0.5000-0.0000 0.7071-0.5000 0.5000 0.7071-0.0000 0.5000 0.5000 0.7071 0-0.5

41、000-0.5000lamda=4.0000 0 0 0 0 4.0000 0 0 0 0 8.0000 0 0 0 0 12.0000即所求正交矩阵为,第3章 矩阵的特征值与特征向量,kesai*A*kesai运行结果：ans=4*4*0*8*0*12 即经验证有 norm(kesai*kesai-eye(4)运行结果：ans=9.7171e-016由上可知，所求正交矩阵精度很高。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,解法二：A=7-3-1 1;-3 7 1-1;-1 1 7-3;1-1-3 7;T=orth(A)运行结果：T=-0.5000 0.5000-0.7071 0 0.5000-0.5

42、000-0.7071-0.0000 0.5000 0.5000 0.0000 0.7071-0.5000-0.5000-0.0000 0.7071 norm(T*T-eye(4)运行结果：ans=7.6679e-016由上可知，所求正交矩阵精度很高。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,设计性实验实验一 矩阵相似变换在控制理论中的应用【实验目的】1.掌握矩阵的相似变换2.利用矩阵相似变换方法，将控制理论中一般的状态方程变换成某种特殊的形式，以便于更好地进行系统的性质分析3.掌握控制系统的可控标准型、可观察标准型和Jordan标准型【实验要求】掌握Matlab软件中有关相似变换的命令【实验内容】给出

43、系统的相似变换的概念，介绍基于矩阵相似变换的各种标准及变换方法，并用MATLAB编程实现。试求出下面系统的可控标准型:+，并求该状态方程模型的可观测标准型以及Jordan标准型。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验方案】1.线性系统的相似变换 假设存在一个非奇异矩阵，且定义了 一个新的状态变量 使得，这样关于新状态变量 的状态方程模型可以写成，且 式中，。在矩阵 下的状态变换称为相似变换，称为相似变换矩阵。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,2.单变量控制系统的可控、可观测标准型转换对单变量系统（1）来说，若系统的特征多项式可以写成+则可以够造出变换矩阵 这样就可以将原来系统变换成可控制标准

44、型。可以用容易地写出变换矩阵;%求特征多项式系数，建议用ploy1()取代ploy(),第3章 矩阵的特征值与特征向量,3.控制系统的Jordan标准型转换 系统的Jordan标准型可以由 函数直接求出。值得指出的是，若系统的矩阵含有复数特征值，则用 函数不能得出正确结果，应该结合前面Jordan变换的方法手工构造变换矩阵，得出合适的变换系统。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,实验二 矩阵的三角分解【实验目的】1.理解矩阵的三角分解（又称为LU分解）2.掌握 函数的两种调用方法【实验要求】掌握Matlab软件中有关矩阵LU分解的命令【实验内容】分别用两种方法调用MATLAB中的 函数，实现矩阵

45、LU分解问题。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验方案】矩阵的三角分解又称为LU分解，它的目的是将一个矩阵分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，亦即A=LU,其中L和U矩阵可以分别写成 由这两个矩阵可以简单的写出一个矩阵,其中,第3章 矩阵的特征值与特征向量,这样产生的矩阵与原来的A矩阵的关系可以写成,第3章 矩阵的特征值与特征向量,因此，可以立即得出求取 和 的递推计算公式该公式的递推初值为 注意，在上述的算法中并未对主元素进行任何选取，因此该算法并不一定数值稳定，因为在运算过程中0或很小的数值可能被用作除数。在MATLAB中也给出了基于主元素的矩阵LU分解函数，该函数的调用格

46、式为,第3章 矩阵的特征值与特征向量,分解，为置换矩阵，其中，分别为变换后的下三角和上三角矩阵。在MATLAB的 函数中考虑了主元素选取的问题，所以该函数一般会给出可靠的结果。又该函数得出的下三角矩阵L并不一定是一个真正的下三角矩阵，因为选取它可能进行了一些元素行的交换，这样主对角线的元素可能不是1，而在矩阵L内存在一个唯一的置换，其各个元素的值均是1.如果想获得有关换行信息，则可以由后一种格式调用 函数，这时P为单位阵变换出的置换矩阵，A矩阵可以分解成。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验过程】（1）求出三角分解矩阵。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,可见，这样得出的 矩阵并非下三角矩阵

47、，这是因为再分解过程中采用了主元素交换的方法。现在考虑 函数的另一中调用方法。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,注意，这里得出的P矩阵不是一个单位矩阵，而是单位矩阵的置换矩阵。结合得出的 矩阵可以看出，P矩阵的，表明需要将 矩阵的第4行换到第2行，表明需要将 的第2行换至第3行，将原来第3行换至第4行，这样就可以得出一个真正的下三角矩阵L了。将L,P,U代入并检验，可以精确地还原A矩阵。,第3章 矩阵的特征值与特征向量,第3章 矩阵的特征值与特征向量,实验三 线性方程组的数值解法【实验目的】1掌握求解上三角形方程组的回代法，求解线性方程组的Gauss消去法、LU分解、Jacobi迭代法、Gau

48、ss-Seidel迭代法2比较各种算法的收敛条件及运算效率3使用Matlab编写线性方程组数值解法的M文件及程序【实验要求】1求解上三角形方程组的回代法、求解线性方程组的Gauss消去法、LU分解、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法的原理及步骤2能Matlab编写线性方程组数值解法的M文件及程序,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验内容】用回代法解上三角形方程组，用列主元Gauss消去法、矩阵直接三角分解法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解线性方程组。1.求解上三角线性方程组2.用列主元Gauss消去法求解线性方程组,第3章 矩阵的特征值与特征向量,3.用

49、矩阵的LU 分解求解线性方程组4.用Jacobi迭代法求解线性方程组5.用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组,第3章 矩阵的特征值与特征向量,第3章 矩阵的特征值与特征向量,【实验方案】对于上三角形方程组，其矩阵形式表示为：形如：其中，U称为上三角矩阵。若，即，亦即矩阵 U是非奇异的，则原方程组有唯一解，且可从最后一个方程解出，即：,代入倒数第二个方程，得到：一般地，设已求得,则由方程的第 i个方程，可得：上述求解过种，称为回代过程。回代过程所用乘除法运算次数为，加减法运算次数为,第3章 矩阵的特征值与特征向量,2.Gauss消去法的操作过程如下：将原线性方程组写成增广矩阵的形式，其

50、中，,第一步消元：设，将 中的第一行乘以，加到第 i行上去，可得到同解方程组的增广矩阵：,第3章 矩阵的特征值与特征向量,第3章 矩阵的特征值与特征向量,其中，通常，称为消元因子，表 为主元。上述做法，直至第 n-1步完成，得到同解的方程组：,即为上三角矩阵，可表示为式(11.2.2)，这时用回代过程便可求得解向量 x。而列主元Gauss消去法的基本思想是：设已作 k-1步消元，在进行第 k步消元之前，选出第 k列中位于对角线及其以下元素绝对值中的最大者，即确定t，使得：将 的第t行和第k行互相交换，则元素 为新的主元素，其余元素也均以交换后的位置表示。然后再按Gauss消去法进行第k 步消元