《算法策略》PPT课件.ppt

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1、第四章 基本的算法策略,4.1 迭代算法 4.1.1 递推法 4.1.2 倒推法 4.1.3 迭代法解方程,4.1 迭代算法,迭代法（Iteration）也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法一般用于数值计算。迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础应用。利用迭代算法策略求解问题，设计工作主要有三步：1）确定迭代模型 2）建立迭代关系式 3）对迭代过程进行控制,411 递推法,【例1】兔子繁殖问题问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子只生不死

2、，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每个月各有多少只兔子。问题分析：因一对兔子从出生后第三个月开始每月生一对小兔子，则每月新下小兔子的对儿数(用斜体数字表示)显然由前两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下：一月 二月 三月 四月 五月 六月 1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8,算法1：,main()int i,a=1,b=1;print(a,b);for(i=1;i=10;i+)c=a+b;print(c);a=b;b=c；,数学建模：y1=y2=1，yn=yn-1+yn-2，n=3，4，5，。,算法2：,表4-1 递推迭代表达式1 2 3 4 5 6 7 8 9a

3、 b c=a+b a=b+c b=a+c c=a+b a=b+c b=a+c 由此归纳出可以用“c=a+b;a=b+c;b=c+a;”做循环“不变式”。算法2如下：main()int i,a=1,b=1;print(a,b);for(i=1;i=4;i+)c=a+b;a=b+c;b=c+a;print(a,b,c);,算法2，最后输出的并不是12项，而是2+3*4共14项。,表4-2 递推迭代表达式1 2 3 4 5 6 7 8 9a b a=a+b b=a+b a=a+b b=a+b 由此归纳出可以用“a=a+b;b=a+b;”做循环“不变式”，从而得到以下算法3:main()int i,a

4、=1,b=1;print(a,b);for(i=1;i=5;i+)a=a+b;b=a+b;print(a,b);,算法3：,【例2】求两个整数的最大公约数。数学建模：辗转相除法是根据递推策略设计的。不妨设两个整数ab且a除以b商x余c；则a-bx=c，不难看出a、b的最大公约数也是c的约数（一个数能整除等式左边就一定能整除等式的右边），则a、b的最大公约数与b、c的最大公约数相同。同样方法推出b、c的最大公约数与，直到余数为0时，除数即为所求的最大公约数。算法设计：循环“不变式”第一次是求a、b相除的余数c，第二次还是求“a”“b”相除的余数，经a=b,b=c操作，就实现了第二次还是求“a”“

5、b”相除的余数，这就找到了循环不变式。循环在余数c为0时结束。,算法如下：main（）int a,b;input(a,b);if(b=0)print(“data error”);return;else c=a mod b;while c0 a=b;b=c;c=a mod b;print(b);,4.1.2 倒推法,所谓倒推法：是对某些特殊问题所采用的违反通常习惯的，从 后向前推解问题的方法。如下面的例题，因不同方面的需求而采用了倒推策略。例1在不知前提条件的情况下，经过从后向前递推，从而求解问题。即由结果倒过来推解它的前提条件。又如例2由于存储的要求，而必须从后向前进行推算。另外，在对一些问题

6、进行分析或建立数学模型时，从前向后分析问题感到比较棘手，而采用倒推法（如例3），则问题容易理解和解决。下面分别看这几个例子：,【例1】猴子吃桃问题一只小猴子摘了若干桃子，每天吃现有桃的一半多一个，到第10天时就只有一个桃子了，求原有多少个桃？数学模型：每天的桃子数为：a10=1,a9=(1+a10)*2,a8=(1+a9)*2,a10=1，递推公式为：ai=(1+ai+1)*2 I=9,8,7,61算法如下：main()int i,s;s=1;for(i=9;i=1;i=i-1)s=(s+1)*2 print(s)；,【例2】输出如图4-1的杨辉三角形（限定用一个一维数组完成）。数学模型：上下

7、层规律较明显，中间的数等于上行左上、右上两数之和。问题分析：题目中要求用一个一维数组即完成。数组空间一定是由下标从小到大利用的，这样其实杨辉三角形是按下图4-2形式存储的。若求n层，则数组最多存储n个数据。,1 1 1 1 2 1 1 3 3 11 4 6 4 1 图4-1 杨辉三角形,11 11 2 11 3 3 114 6 4 1,图4-2 杨辉三角形存储格式,算法设计：,A1=Ai=1Aj=Aj+Aj-1 j=i-1，i-2，2i行 i-1行 i-1行,算法如下：main()int n,i,j,a100;input(n);print(“1”);print(“换行符”);a1=a2=1;p

8、rint(a1,a2);print(“换行符”);for(i=3;i1，j=j-1)aj=aj+aj-1;for(j=1;j=i;j=j+1)print(aj);print(“换行符”);,【例3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为500加仑，耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库，必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮油量。,问题分析：1）先看一简单问题：有一位探险家用5天的时间徒步 横穿A、B两村，两村间是荒无人烟的沙漠，如果一 个人只能担负3天的食物和水，那么这个探险家至 少雇几个人才能顺利

9、通过沙漠。,A城雇用一人与探险家同带3天食物同行一天，然后被雇 人带一天食物返回，并留一天食物给探险家，这样探险 家正好有3天的食物继续前行，并于第三天打电话雇B城 人带3天食物出发，第四天会面他们会面，探险家得到一 天的食物赴B城。如图4-3主要表示了被雇用二人的行程。A B 图4-3 被雇用二人的行程,2）贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达终 点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量均为0。这样只 能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。,数学模型：根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段讨论。第一段长度为500公里且第一个加油点贮油为500加仑。第二段中为了贮备油，吉普车在这段

10、的行程必须有往返。下面讨论怎样走效率高：1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。2）每次向前行进时吉普车是满载。3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。,下图是满足以上条件的最佳方案，此段共走3次：第一、二次来回耗油2/3贮油1/3，第三次耗油1/3贮油2/3，所以第二个加油点贮油为1000加仑。由于每公里耗油率为1加仑，则此段长度为500/3公里。第三段与第二段思路相同。下图是一最佳方案此段共走5次：第一、二次来回耗油2/5贮油3/5，第三、四次来回耗油2/5贮油3/5，第五次耗油1/5贮油4/5，第三个加油点贮油为1500加仑。此段长度为500/5。500/5公里 第二

11、 第三 终点贮油点（500）贮油点（1000）贮油点（1500）图4-4 贮油点及贮油量示意,综上分析，从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5，500/7，（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000公里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，。算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决。变量说明：dis表示距终点的距离，1000-dis则表示距起点的距离，k表示贮油点从后到前的序号。,desert（）int dis，k，oil,k;dis=500;k=1;oil=500;do print(“storepoint”,k

12、,”distance”,1000-dis,”oilquantity”,oil)；k=k+1;dis=dis+500/(2*k-1);oil=500*k;while(dis1000)oil=500*(k-1)+(1000-dis)*(2*k-1);print(“storepoint”,k,”distance”,0,”oilquantity”,oil)；,4.1.3 迭代法解方程,迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列x0,x1,xn,来逐步逼近方程f(x)=0的解：1）选取适当的初值x0；2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改 写为x=(x)的等价形式；构造序列x0，x

13、1，xn，即先求得x1=(x0)，再求 x2=(x1)，如此反复迭代，就得到一个数列x0，x1，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数(x)连续，则很容易得到这个极限值 x*就是方程f(x)=0的根。,【例1】迭代法求方程组根算法说明：方程组解的初值X=（x0，x1，xn-1）,迭代关系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,n-1),w为解的精度,则算法如下：for(i=0;iw and kmaxn)；for(i=0;in;i+)print(i，“变量的近似根是”，xi)；,【例2】牛顿迭代法 牛顿迭代法又称为切线法，它比一般的迭代法有更高的收敛速度，如图4-5所示。首先,选择一个接近函数

14、f(x)零点的x0,计算相应的f(x0)和切线斜率f(x0)（这里f 表示函数f的导数）。然后我们计算穿过点(x0,f(x0)且斜率为f(x0)的直线方程为：和x轴的交点的x坐标,也就是求如下方程的解：,将新求得交点的x坐标命名为x1。如图4-5所示，通常x1会比x0更接近方程f(x)=0的解。接下来用x1开始下一轮迭代.,图4-5 牛顿迭代法 示意图,迭代公式可化简为：此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明,如果f是连续的,并且待求的零点x是孤立的,那么在零点x周围存在一个区域,只要初始值x0位于这个邻近区域内,那么牛顿法必定收敛。下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程

15、根的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输出。,main()float a,b,c,d,fx;print(输入系数 a,b,c,d:);input(a,b,c,d);fx=f(a,b,c,d);printf(方程的根为：,fx);,float f(a,b,c,d)float a,b,c,d;float x1=1,x0,f0,f1;do x0=x1;f0=(a*x0+b)*x0+c)*x0+d;f1=(3*a*x0+2*b)*x0+c;x1=x0-f0/f1;while(fabs(x1-x0)=1e-4);return(x1);

16、,令a0,b0=a,b，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，则c0为方程f(x)=0的根；否则，若f(a0)与f(c0)异号，即 f(a0)*f(c0)0，则令a1,b1=a0,c0；若f(b0)与f(c0)异号，即 f(b0)*f(c0)0，则令a1,b1=c0,b0。依此做下去，当发现f(cn)=0时，或区间an,bn足够小，比如|an-bn|0.0001时，就认为找到了方程的根。用二分法求一元非线性方程f(x)=x3/2+2x2-8=0（其中表示幂运算）在区间0，2上的近似实根r，精确到0.0001.算法如下：,图4-6 二分法求解 方程示意,【例3】二分法求解方程f(x)=0根 用二分法求解方程f(x)=0根的前提条件是：f(x)在求解的区间a,b上是连续的，且已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)0。,main()float x,x1=0,x2=2,f1,f2,f;print(“input a,b(f(a)*f(b)0)printf(No root);return;do x=(x1+x2)/2;f=x*x*x/2+2*x*x-8;if(f=0)break;if(f1*f0.0)x1=x;f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8;else x2=x;while(fabs(f)=1e-4);print(root=,x);,