《波动方程》PPT课件.ppt

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1、内容复习,德布罗意波光谱里德伯公式玻尔理论的三个假设氢原子r，E 的公式,文化物理,南京航空航天大学理学院,朱岩,http:/,德拜：德布罗意波只有波动理论，没有波动方程，太肤浅了。,波动方程轨道角动量电子自旋量子数及元素周期表,第七章 波动方程,波动方程（wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，例如声波，光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。,第七章 波动方程,一、波动方程,历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。,波动方程是双曲形偏微分方程

2、的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：,这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具）上，波速可以慢到1米/秒,7.1 波动方程的提出,一、波动方程,克莱因-戈尔登方程,描述光子的平面波：,波动方程：,作能量动量关系代换：,得算符方程：,作用在波函数A(r,t)上即得波动方程,作用在能量动量关系式：,克莱因-戈尔登方程，描述自由介子，不能描述氢原子。,一、波动方程,薛定谔方程,氢原子中

3、的电子非相对论能量动量关系：,把式中的能量E和动量P换成相应的算符，并作用在波函数上：,再用它算氢原子，结果对了，这就是薛定谔猜到的薛定谔方程。,一般写成：,哈密顿算符,如果H中不包含时间，即V(r)不含t：,分离坐标和时间：,上式左边是坐标的函数，右边是时间的函数，要相等，只能等于一个常数E，那么右边：,E就是系统的能量。E为常数的状态称为定态。*uu*，所以发现粒子的几率与时间无关。,一、波动方程,左边也等于E，那么：,定态薛定谔方程。,对于自由粒子，V0，u的解是平面波：,薛定谔方程和定态薛定谔方程都是线性方程，解具有叠加性,一、波动方程,狄拉克方程,薛定谔方程式非相对论性的，相对论性波

4、动方程的哈密顿算符为：,p是动量算符，而和是44矩阵,由这个哈密顿量给出的薛定谔方程称为狄拉克方程，它是狄拉克在1928年提出来的。狄拉克用它不仅算出了氢原子能级的精细结构，并且解释了电子的自旋角动量和固有磁矩，还进一步语言了正电子的存在。,薛定谔与狄拉克因波动方程的提出同获1933年诺贝尔物理学奖。,代表力学量的算符,一个力学量可以用一个算符来表示，下面是薛定谔方程中常用的算符：,波函数两边取对x的偏导,所以动量px可以用算符 来表示。同理有,一、波动方程,那么,波函数两边取对t的偏导,所以E的算符是,一、波动方程,薛定谔(Erwin Schrodinger,1887-1961),薛定谔方程

5、的理解与意义：,波函数,（r）和E分别代表粒子的微观状态（它的平方就是粒子在空间出现的概率）和对应的能量。,一、波动方程,薛定谔方程是量子力学的基本方程，不可能从其它更基本的方程推导出来;,薛定谔方程在量子力学中的地位和作用，相当于牛顿方程在经典力学中的地位和作用;,若已知粒子运动所满足的薛定谔方程，可从方程求出波函数，从而掌握粒子的运动情况.,说明：,一、波动方程,一、波动方程,7.2 量子化的能级,7.2.1 一维无限深势阱,V 0 当,V 当,定义一维势阱：,求解能量为E（有限）的粒子的运动状态就需要求解定态薛定谔方程：,(1),一、波动方程,先解绿色区域的方程，此时V0，式1成为：,(

6、2),设 那么 代入上式,故,2式就是绿色区域的通解。,一、波动方程,在红色区域V，1式写为：,设，代入上式,故,一、波动方程,再来考虑绿色区域的2式：,(2),根据波函数连续条件，在 处，绿区红区u的取值应该一样，由于红区u0，故绿区的u也是0，那么,(3),(4),一、波动方程,3+4：,3-4：,(5),(6),5，6两式合并：,(7),一、波动方程,把5，6代回2式,n,1，3，5,2，4，6,当xa/2时,n1，3，5,n2，4，6,一、波动方程,的值应该为0，故,n1，3，5,n2，4，6,一、波动方程,验证：,1,2,3,4,5,6,势阱中的驻波只能如图所示，有：,代入ph/得到

7、：,n 1，2，3，,结果和准确计算结果一致,一、波动方程,7.2.2 一维简谐振子的简单讨论,一个弹簧振子的势能是：,系统的薛定谔方程就是：,此方程比较难解，令 那么,(1),(2),一、波动方程,令括号内第二项的常数部分为1，用代替括号内第一项，那么2化简为：,(3，4),其中 是简谐振子的角频率，是振动频率。,方程3的解是：,(5),其中 是厄米多项式：,(6),一、波动方程,Hn(),一、波动方程,方程5是满足波函数条件的本征函数。为了使函数满足有限条件，演算中必须有2n+1，n是整数。由4式：,(7),7式给出能量算符H的本征值，是简谐振子的量子化能级。能级差为h，最低能级是 h/2

8、 而不是0！,许多物理问题可以简化为简谐振子问题，这一结果具有普遍意义。例如电磁振荡可以分解为一系列的简谐振动，所以辐射场的能量子是一份一份的，每一份的能量为h，这就是普朗克假设的物理本质。,一、波动方程,7.2.3 一维势垒的简单讨论,V,0(0E(x1x2)III区,粒子在I区，具有能量E0。各区的势垒如下，求粒子在各区出现的几率。,一、波动方程,列出此问题的薛定谔方程：,在I区，V0：,（1）,设uex，则u”2u，那么,（2）,一、波动方程,在II区，VV2E，那么,设uex，则u”2 u，那么,2，3两式第一项都表示从左向右运动的粒子，第二项则是经过边界反射后从右向左运动的粒子。,（

9、3）,一、波动方程,在III区，V0：,这和第I区的方程一样，所以它的解是：,在III区没有反射粒子，那么B30，故：,（4）,（5）,一、波动方程,2，3，5式分别是I，II，III区的波函数，由边界处连续条件有：,在x1处：,在x2处：,一、波动方程,在量子力学中，用几率流密度J表示粒子流量：,一维情况下简化为：,所以可以算出入射波，反射波 和透射波 的几率流密度为：,一、波动方程,可以看到，在I区前进的一部分粒子会透入III区，透入III区的粒子数目与I区前进粒子数目之比称为透射系数D：,其中dx2x1，是势垒厚度。可以看出：势垒厚度越大，通过的几率越小；势垒越高，通过的几率越小。,fo

10、r e-with 5 eV,一、波动方程,扫描隧道显微镜（Scanning Tunneling MicroscopySTM）,一、波动方程,一、波动方程,一、波动方程,Fe on Cu(111),一、波动方程,Fe on Cu(111),一、波动方程,一、波动方程,一、波动方程,一、波动方程,一、波动方程,一、波动方程,Xe on Ni,一、波动方程,内容复习,一维无限深势阱,一维谐振子,一维势垒,一、波动方程,7.4 轨道角动量,x,y,z,r,若势能V(r)只依赖于场点到原点的距离r，与极角，幅角无关，显然V具有球对称性，那么描述粒子运动的波在r，三个方向互相独立，定态波函数可以写为：,球

11、坐标中的拉普拉斯算符为：,二、轨道角动量,代入薛定谔方程，得到：,左边只依赖于r，右边只依赖于和，故只能等于一个常数,同样的道理，第二式只能等于常数,(1),(2),(3),一、波动方程,3式的解是：,由单值性要求，()(2N)，这要求 也是整数，记为m：,那么2式就改写为：,此方程要有解，需要满足,一、波动方程,这样就可以解出：,称为连带的勒让德（Legendre）函数。,由于解2式时需要取特殊的值l(l+1)，故1式改写为：,将氢原子势能代入，就解得：,L是连带的拉盖尔多项式，a1是玻尔最小轨道半径，n为正整数，且l0，1，2，n1,一、波动方程,小结：解径向波函数R时，n1，2，3l0，

12、1，2，n1解，时，ml，l1，l,各个参数的物理意义：n轨道量子数，l轨道角动量量子数,l1,l2,m=1,m=-1,m=1,m=2,m=-1,m=-2,m=0,m=0,一、波动方程,薛定谔方程的实验验证-氢原子问题中的应用,氢原子的一些微观状态，又称量子态.每一个图样表示电子处在在某一个微观态上，在空间不同地方出现的概率.,一、波动方程,P132,一、波动方程,一、波动方程,P155,l=0,l=1,l=2,最可几处事波尔能级处,严格的解析结果和波尔理论有三个特点：,1，能级相符，但波尔理论没有能级简并，亦即只考虑了一个态，而严格的解除基态外都是简并。,2，波尔理论的半径是这里电子态的最概

13、然半径，即峰的位置。,3，在波尔理论中，每个态都有一个在z轴方向的角动量，亦即每个态都是一个绕z轴的电子环波。而实际上，严格的解只有磁量子数不为0的那些态才是绕z轴转动的电子环波，其余的都是驻波,无论是环波还是驻波，都表示电子在原子核周围有一概率分布，这个电子的概率分布，有时形象地称为电子云。,7.5 电子的轨道磁矩,电子绕z轴形成一个电流密度，对应一个轨道磁矩：,称B为玻尔磁子。,二、轨道角动量,对于多电子体系，每个电子的轨道磁矩和它的轨道角动量都有上述关系，但是各个电子的轨道角动量并不一定彼此平行。但是总的轨道磁矩的投影z与总角动量投影Lz之间仍然存在一个比例关系：,其中g称为朗德（Lan

14、de）因子。对于单电子体系，g1,二、轨道角动量,原子射线在不均匀磁场中的分裂,具有磁矩的体系，在外磁场中具有势能：,其中假定外磁场沿z轴方向。如果磁场在z轴方向是不均匀的，有一个梯度，那么体系降收到一个在z轴方向的力：,P135 斯特恩盖拉赫试验,二、轨道角动量,7.6 电子的自旋,1925年，乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和高德施密特（S.A.Goudsmit）提出，电子本身存在固有的自旋角动量S，与其相连的是固有磁矩s，有：,三、电子的自旋,“你们还年轻，犯点错误上帝也会原谅的。”,旋转速度达到了光速的10倍,电子自旋(1925年乌伦贝克与古兹密特)电子具有的内禀运动.,三、电子

15、的自旋,所有微观粒子都具有一个与三维空间坐标无关的自由度，即都具有自旋量子数。,自旋量子数是整数的微观粒子被称为是玻色子(光子的自旋量子数是1);自旋量子数是半整数的微观粒子被称为是费米子(电子、质子、中子的自旋量子数是1/2)。,玻色子不满足泡利不相容原理，费米子必须满足泡利不相容原理。,说明：,三、电子的自旋,自旋是微观粒子的内禀属性,其意义是不同方向看粒子，它呈现的样子是不同的.,三、电子的自旋,狄拉克(P.A.M.Dirac，1902-1984）,给出了电子自旋的解释；预言了正电子；获1933年诺贝尔物理学奖。,三、电子的自旋,四个量子数电子的运动状态可用波函数或原子轨道来描述，对给定

16、的电子来说，它在一定的原子轨道上运动，这个原子轨道离核有多远，能量有多大？形状怎样？它在空间的伸展方向如何？如果这些问题确定了，也就是说波函数有一个确定值，以上三个问题即原子轨道的能量、形状、取向可用三个参数来表示，这些参数都是量子化的，叫做量子数。已经知道，当三个量子数（n,l,m）取值一定时，就确定了一个波函数（或一条原子轨道），也就确定了核外电子的一种空间运动状态。因此，人们常用这三个量子数来描述核外电子运动。后来人们用更精密的分光镜发现核外电子除空间运动之外还有一种“自旋运动”，用自旋量子数ms表示。n,l,m,ms,三、电子的自旋,四个量子数,如：n=3,l=0(3s亚层，s亚层只有

17、一个球形的s轨道)，m=0，一种取向；为3s轨道。n=3,l=1(3p亚层，p亚层有三个p轨道)，m=0,1，三种取向。n=3,l=2（3d亚层，d亚层有五个d轨道），m=0,1,2，五种取向。n=3,l=3,是错误的。等价轨道（简并轨道）：指n,l相同，m不同的原子轨道，或能量相同的各原子轨道。如3p亚层的三个p轨道就是等价轨道。,三、电子的自旋,每间房间都有一个四位数的门牌号码,一层2个房间,二层8个房间,三层18个房间,泡利（E.Pauli,19001958）,泡利原理（不相容原理）：指在原子中不能容纳运动状态完全相同的电子。,三、电子的自旋,没有两个电子（房客）可以入住同一个房间。,不相容原理,三、电子的自旋,1905年，爱因斯坦，26岁（光量子理论）,1913年，玻尔，28岁（氢原子理论）,1923年，德布罗意，31岁（相波）,1925年，海森伯，24岁（不确定关系）,1925年，泡利，25岁（不相容原理）,1927年，狄拉克，25岁（相对论量子力学）,1925年，薛定谔，36岁（薛定谔方程）,1925年，乌仑贝克 25岁 古兹密特，23岁（电子自旋）,1926年，费米，25岁（量子统计）,光阴迅逝风华难驻转瞬即过而立年空悲切,揭开宇宙奥秘事少年赢得身后命岂怜白发生！,五、德布罗意波的意义和方程,