《概率论总复习》PPT课件.ppt
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1、2023/7/30,概率论与数理统计复习,引言,2023/7/30,第一章 随机事件与概率,1.1 样本空间与随机事件,一.随机试验:对随机现象进行一次观察和实验,统称为随机试验。随机实验简称为实验,用E 表示 特点:(1)实验可以在相同的条件下重复进行;(2)实验的全部可能结果不止一个,并且在实验之前能够明确知道所有的可能结果;(3)每次实验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个,2023/7/30,二 样本空间与随机事件,1.样本空间,实验E的所有可能结果构成的集合,称为E的样本空间,用S表示.样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点.,2023/7/30,定义,一般将样本空间的子集称为
2、随机事件。随机事件用大写字母A,B,C表示.,在一次试验中,事件A发生的含义是,当且仅当A中一个样本点(或基本事件)发生(或出现)。事件A发生也称为事件A出现。,事件的发生,2.随机事件,2023/7/30,其中T1,T2分别是该地区的最低与最高温度,观察某地区每天的最高温度与最低温度,观察总机每天9:0010:00接到的电话次数,投一枚硬币3次,观察正面出现的次数,例 给出一组随机试验及相应的样本空间,2023/7/30,一.古典概型,1-2 事件的概率,定义1 若随机试验满足下述两个条件:(1)它的样本空间只有有限多个样本点;(2)每个样本点出现的可能性相同.,称这种试验为古典型试验,简称
3、古典概型.,2023/7/30,定义2 设试验E是古典概型,其样本空间S由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为:,称此概率为古典概率.这种确定概率的方法称为古典方法.,排列组合是计算古典概率的重要工具.,2023/7/30,三.概率的频率定义,例2:从同一型号同一批次的反坦克弹中任抽一发反坦克弹射击目标,观测命中情况。设A代表“命中”这一事件,求P(A)?,1.事件的频率 在一组不变的条件下,重复作n次试验,记m是n次试验中事件A发生的次数。频率 f=m/n,2.频率的稳定性,掷一枚均匀硬币,记录前400次掷硬币试验中频率P*的波动情况。(正面出现频率的趋势,横轴为对数
4、尺度),2023/7/30,3概率的频率定义,在一组不变的条件下,重复作n次试验,记m是n次试验中事件A发生的次数。当试验次数n很大时,如果频率m/n稳定地在某数值p附近摆动,而且一般地说,随着试验次数的增加,这种摆动的幅度越来越小,称数值p为事件A在这一组不变的条件下发生的概率,记作P(A)=p.,2023/7/30,定义 设A、B为两事件,P(A)0,则,称为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率.,1.3 条件概率,2023/7/30,例3 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率,解 令 A
5、灯泡能用到1000小时,B 灯泡能用到1500小时,所求概率为,2023/7/30,三全概率公式,定义,若事件组B1,Bn,满足:,(1),B1,Bn互不相容且P(Bi)0,i=1,n,(2),则称事件B1,Bn为样本空间的一个划分,2023/7/30,三全概率公式,事件B1,Bn,为样本空间的一个划分则对任何事件A,均有,上式称为全概率公式.,定理,2023/7/30,1.4 事件的独立性,例 已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次,设第 i 次取得白球为事件 Ai(i=1,2).,求,解,一事件的独立性,2023/7/30,事件 A1 发生与否对 A2 发生的概率没有影响,定
6、义,设 A,B 为两事件,若,则称事件 A 与事件 B 相互独立,可视为事件A1与A2相互独立,2023/7/30,三事件 A,B,C 相互独立是指下面的关系式同时成立:,(2),定义,2023/7/30,n 个事件 A1,A2,An 相互独立 是指下面的关系式同时成立,定义,常由实际问题的意义 判断事件的独立性,2023/7/30,第二章 随机变量及其分布,为了更好的揭示随机现象的规律性并利用数学工具描述其规律,引入随机变量来描述随机试验的不同结果.,例 电话总机某段时间内接到的电话次数,可用一个 变量 X 来描述,例 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果,也可以用一 个变量来描述,2023/7/
7、30,这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数.,这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数不一样。,2023/7/30,有了随机变量,随机试验中的各种事件,就可以通过随机变量的取值来表达.,二、引入随机变量的意义,如:单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示,它是一个随机变量.,事件收到不少于1次呼叫 X 1,没有收到呼叫 X=0,2023/7/30,2.1 随机变量的概念,定义 设E是一随机试验,S 是它的样本空间,若,则称 S 上的单值实值函数 X()为随机变量,随机变量一般用 X,Y,Z,或小写希腊字母,表示.,2023/7/30,2023/7/30,2023/7/30,随机变
8、量的分类,离散型随机变量,非离散型随机变量,其中一种重要的类型为 连续性随机变量,2023/7/30,定义了一个 x 的实值函数,称为随机变量X 的分布函数,记为F(x),即,2023/7/30,分布函数的性质,F(x)单调不减,即,且,F(x)右连续,即,2023/7/30,利用分布函数可以计算,2023/7/30,2.2 离散型随机变量及其概率分布,定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或 无穷可列多个,则称 X 为离散型随机变量,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或分布律,即,概率分布的性质,2023/7/30,F(x)是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处发生间断,
9、间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk,2023/7/30,(1)0 1 分布,注 其分布律可写成,服从0 1分布的随机变量描述,如产品是否合格、系统,是否正常、电力消耗是否超负荷等等.,2023/7/30,(2)二项分布,背景:若在每次试验中,事件A发生的概率均为p,则 在独立的 n 次试验中事件A发生的次数(X)是一离散型随机变量,若P(A)=p,则,称 X 服从参数为n,p 的二项分布,记作,0 1 分布是 n=1 的二项分布,2023/7/30,解(1)设 需要配备 N 个维修工人,设 X 为90 台,设备中发生故障的台数,则 X B(90,0.01),例6 设有同类型设备9
10、0台,每台工作相互独立,每台设备发生故障的概率都是 0.01.在通 情况下,一台设备发生故障可由一个人独立维修,每人同时也只能维修一台设备.问至少要配备多少维修工人,才能保证当设备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01?,2023/7/30,在一定时间间隔内电话总机接到的电话次数,一匹布上的疵点个数;,大卖场的顾客数;,应用场合,一个容器中的细菌数;,2023/7/30,注意:离散型随机变量的分布函数是分段阶梯函数,在 X 的可能取值 xk 处发生间断,间断点为第一类跳跃间断点,在间断点处有跃度 pk。,2023/7/30,2.3 连续型随机变量,定义 设 X 是一随机变量,若存在一个非负
11、可积函数 f(x),使得,其中F(x)是它的分布函数,则称 X 是连续型随机变量,f(x)是它的概率密度函数(p.d.f.),简称为密度函数或概率密度,2023/7/30,分布函数F(x)与密度函数 f(x)的几何意义,2023/7/30,p.d.f.f(x)的性质,在 f(x)的连续点处,,f(x)描述了X 在 x 附近单位长度的区间内取值的概率,2023/7/30,注意:对于连续型随机变量X,P(X=a)=0,命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零,2023/7/30,对于连续型随机变量X,2023/7/30,2023/7/30,(1)均匀分布,(a,b)上的均匀分布,记作,若 X 的密
12、度函数为,则称 X 服从区间,其中,X 的分布函数为,2023/7/30,2023/7/30,即 X 的取值在(a,b)内任何长为 d c 的小区间的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正比.这正是几何概型的情形.,在进行大量数值计算时,如果在小数点后第 k 位进行四舍五入,则产生的误差可以看作服从,应用场合,2023/7/30,例11:钟的最小刻度差为1秒.若计时精度是取最近的刻度值,求使用该秒表计时产生的随机误差X 的概率密度及分布函数(并画图),并计算误差大于0.1且不超过0.4秒的概率.,解 由题设知随机误差 X 等可能地取得区间-0.5,0.5上的任一值,则,所以,2023/7/30
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