《极限的概念全》PPT课件.ppt
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1、第一章函数极限连续,第二节极限的概念,一、数列的极限,二、函数的极限,三、无穷大量,定义设函数 un=f(n),其中 n 为正整数,一、数列的极限,若存在一个常数 M 0,使得|un|M(n=1,2,)恒成立,,或存在两个数 M 和 m,使得 m un M(M 称为上界,m 称为下界),,若数列 un 满足 un un+1(n=1,2,)或 un un+1(n=1,2,)则分别称 un 为单调递增数列或单调递减数列,,则称数列 un 为有界数列,或称数列有界;,这两种数列统称为单调数列.,例如 un:,为单调递减数列;,为单调递增数列;,是有界数列,但不是单调数列.,又如,而,前面三个数列都有
2、一种共同的现象,即当 n 无限变大时,它们都无限地接近于 1,这就是极限现象.,显然,数列 un 无限地接近于 1,可用数列 un与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述.,如果用符号 e 表示任意小的正数,那么就可用|un-1|e 表示.,于是,数列 un 的极限现象可表述为:当 n 无限变大时,就有|un-1|e.,一般地,当 n 无限变大时,数列 un 无限接近于一个常数 A 的极限现象可定义如下:,定义如果当 n 无限变大时,数列 un 与 A 之差的绝对值小于任意小正数 e,即|un A|e,,此时亦称数列收敛,记作,那么称当 n 趋向无穷大时,数列 un以 A 为极限,(或数列 un
3、 趋向于 A).,前面三个数列的极限可分别表示为,几点说明:,(1)在数列 un 趋向于 A 的过程中,它的变化较复杂.,还可举出其他变化的例子.这种变化的多样性如不注意,易在概念上发生 错误.,(2)对于 n 无限变大这句话,也可用一个式子来表示,,如果记 N 为一个充分大的正整数,那么当 n N 就表示了这个意思,N 表示了n 无限变大的程度,,恒有|un A|e.,(3)数列极限的几何解释,存在一充分大正整数 N,当 n N 时,点 un 都落在点 A 的 e 邻域内,而不管 e 有多么小(如图),,形象一点讲,数列 un 会密集在点 A 的周围.,A,A-e,A+e,uN+1,uN+2
4、,如果把数列 un 中每一项都用数轴 Ox 上一个点来表示,那么数列 un 趋向于 A 可解释为:,定理若数列收敛,则数列有界.,并非所有数列都是有极限的,,例如,当 n 时,它们均不与一个常数 A 无限接近,所以这些数列没有极限,没有极限的数列称为发散数列或称数列发散.,二、函数的极限,当 x 无限接近于 1 时,,显然,当 x 1 时,趋向于什么?,函数,一般地,当 x 无限接近于 x0 时,函数 f(x)趋向于 A 的定义如下:,定义如果当 x 无限接近于 x0 时,恒有|f(x)-A|e(e 是任意小的正数),,则称当自变量 x 趋向于 x0 时,函数 f(x)趋向于 A,记作,几点说
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