《微分方程模型》PPT课件.ppt

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1、微分方程模型,马忠明,动态模型,描述对象特征随时间(空间)的演变过程,分析对象特征的变化规律,预报对象特征的未来性态,研究控制对象特征的手段,根据函数及其变化率之间的关系确定函数,微分方程建模,根据建模目的和问题分析作出简化假设,按照内在规律或用类比法建立微分方程,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,一、人口增长模型,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0,年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以

2、前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,阻滞增长模型(Logistic模型),人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟

3、合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),Leslie模型与人口发展模型,中国人口增长预测论文1中国人口增长预测论文2,人口预测和控制,年龄分布对于人口预测的重要性,只考虑自然出生与死亡，不计迁移,人口发展方程,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）

4、,生育率的分解,总和生育率,h生育模式,人口发展方程和生育率,总和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制 N(t)不过大,控制(t)不过高,二、随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X(t)时刻 t 的人口,随机变量.,Pn(t)概率P(X(t)=n),n=0,1,2,研究Pn(t)的变化规律；得到X(t)

5、的期望和方差,若X(t)=n,对t到t+t的出生和死亡概率作以下假设,1)出生一人的概率与t成正比，记bnt;出生二人及二人以上的概率为o(t).,2)死亡一人的概率与t成正比，记dnt;死亡二人及二人以上的概率为o(t).,3)出生和死亡是相互独立的随机事件。,bn与n成正比，记bn=n,出生概率；dn与n成正比，记dn=n，死亡概率。,进一步假设,模型假设,建模,为得到Pn(t)P(X(t)=n),的变化规律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).,事件X(t+t)=n的分解,X(t)=n-1,t内出生一人,X(t)=n+1,t内死亡一人,X(t)=n,t内没有出生和死亡,其它(出生

6、或死亡二人，出生且死亡一人，),概率Pn(t+t),Pn-1(t),bn-1t,Pn+1(t),dn+1t,Pn(t),1-bnt-dn t,o(t),一组递推微分方程求解的困难和不必要,(t=0时已知人口为n0),转而考察X(t)的期望和方差,微分方程,建模,X(t)的期望,求解,基本方程,求解,比较：确定性指数增长模型,X(t)的方差,-=r D(t),D(t),X(t)大致在 E(t)2(t)范围内（(t)均方差）,r 增长概率,r 平均增长率,三、经济增长模型,四、传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播

7、过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI 模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt 最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS 模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1

8、/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数=1 阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立 的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线 的定义域,在D内作相轨线 的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线 及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,1/阈值,P1:s01/i(t)先升后降至 0,P2:s01

9、/i(t)单调降至0,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/,的估计,降低 s0,提高 r0,提高阈值 1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,小,s0 1,提高阈值1/降低被传染人数比例 x,s0-1/=,五、微分方程解的稳定性分析,对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,方法：一、直接法二、相轨线分析方法,稳定性理论-理论搜寻,捕鱼业的持续收获,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等

10、）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,问题及 分析,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,直接法举例,产量模型,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件,r固有增长率,N最大鱼量,h(x)=Ex,E捕捞强度,x(t)渔场鱼量,一阶微分方程的平衡点及其稳定性,一阶非线性（自治）方程,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点,不求x(t),判断x0稳定性的方法直接法

11、,(1)的近似线性方程,产量模型,稳定性判断,x0 稳定,可得到稳定产量,x1 稳定,渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T=ph(x)=pEx,支出 S=cE,捕捞过度,封闭式捕捞追求利润R(E)最大,开放式捕捞只求利润R(E)0,R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ER,临界强度下的渔场鱼量,捕捞过度,令=0,相轨线分析方法,