《小波变换简介》PPT课件.ppt

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1、小波变换简介,傅立叶变换,信号分析是为了获得时间和频率之间的相互关系。1807年，Joseph Fourier傅立叶变换以在两个方向上都无限伸展的正弦曲线波作为正交基函数，提供了有关频率域的信息，但有关时间的局部化信息却基本丢失。原因是对于瞬态信号或高度局部化的信号（如边缘），由于这些成分并不类似于任何一个傅立叶基函数，它们的变换系数（频谱）不紧凑的，频谱上呈现出一幅相当混乱的构成。,傅立叶变换,有限宽度基函数的分析方法逐步出现。基函数在频率和位置上都是变化的。“小”。小波变换是通过缩放母小波（Mother wavelet）的宽度来获得信号的频率特征，通过平移母小波来获得信号的时间信息。对母小

2、波的缩放和平移操作是为了计算小波系数，这些小波系数反映了小波和局部信号之间的相关程度。,傅立叶变换,将信号分解为不同频率的正弦波的叠加,傅立叶变换,架起了时域和频域的桥梁只有频率分辨率而没有时间分辨率。可确定信号中包含哪些频率的信号，但不能确定具有这些频率的信号出现在什么时候。,傅立叶变换,如果想要研究函数在区间(a,b)上的性质，一个很自然的想法就是利用函数 乘f(t),傅立叶变换,这就是1945 Gabor提出的STFT(short time Fourier transform)。但是，在ta，b处存在间断，这会使得傅立叶变换附加新的高频成分。这种人为引入的高频成分显然不是我们希望的。频谱

3、“泄露”问题。,STFT的时间-频率关系图,窗口傅立叶变换,取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，在有限区间外恒等于0，或者很快的趋近于0,窗口傅立叶变换,优点：Gf(,)确实包含了f(t)的全部信息，并且窗口位置随而变，符合研究信号局部性质的要求；缺点：Gabor窗口的大小和形状保持不变，与频率无关。但是，在实际中，窗口的大小应该随着频率的变化而变化。,时域加窗分析,时频平面划分示意图,窗口傅立叶变换,窗口傅立叶变换,另一个缺点是：无论怎样离散化，都不能使Gabor变换成为一组正交基；而傅立叶变换经离散化后可得到按正交函数展开的傅立叶级数。,1909:Alfred HaarAlfred H

4、aar对在函数空间中寻找一个与傅立叶类似的基非常感兴趣。1909年他发现并使用了小波，后来被命名为哈尔小波(Haar wavelets),1980：Morlet1970s，在法国石油公司工作的年轻地球物理学家Jean Morlet提出小波变换(wavelet transform，WT)的概念。1980s,连续小波变换(continuous wavelet transform，CWT)。1986：Y.Meyer法国科学家Y.Meyer与其同事创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，用于分析函数；用缩放(dilations)与平移(translations)均为2 j(j0的整数)的倍数构造了L2

5、(R)空间的规范正交基，使小波分析得到发展。,1988：Mallat算法法国科学家Stephane Mallat提出多分辨率概念，从空间上形象说明小波的多分辨率的特性，并提出了正交小波的构造方法和快速算法，称为Mallat算法1该算法统一了在此之前构造正交小波基的所有方法，其地位相当于快速傅立叶变换在经典傅立叶分析中的地位,小波母函数,设 为一平方可积函数，若其傅立叶变换 满足条件：（容许性条件：频域也衰减）称 为一个基本小波或者小波母函数。特点：小（紧支撑，速降）；波动性（均值为0，）；频域也衰减。,小波,小波是一个衰减的波形，在有限的区域里存在，即不为零。且其均值为零。,从小波和正弦波的形

6、状可以看出，变化剧烈的信号，用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好，即用小波更能描述信号的局部特征。,连续小波基函数,将小波母函数 进行伸缩和平移后得到函数,称该函数为依赖于参数a,的 小波基函数。a为尺度因子，b为位移因子。,许多数缩放函数和小波函数以开发者的名字命名的，例如，Moret小波函数是Grossmann和Morlet在1984年开发的；db6缩放函数和db6小波函数是Daubechies开发的,Marr小波，墨西哥草帽（Mexican Hat）：高斯函数的二阶导数,例子,可以看到，小波基函数的窗口随着尺度因子的不同而不同。a增大，时间窗口随着增大，对应的频域窗口减小，中心频率

7、变低。在大尺度上，基函数搜索信号中大的特征，而在较小的尺度上，则寻找信号中的细节信息。,连续小波变换CWT,小波系数的意义,Wf(a,b)表示信号与尺度为a小波的相关程度。小波系数越大，二者越相似。,连续小波变换的简单步骤,选择尺度为a确定的小波，与信号开始的一段比较；计算小波系数；向右移动小波，重复以上两步，直至处理完整个信号；增大尺度因子a，重复上述三步。直到完成所需的所有尺度。,图示,离散小波变换DWT,在每个可能的尺度因子和平移参数下计算小波系数，其计算量相当大，将产生惊人的数据量，而且有许多数据是无用的。如果尺度因子和平移参数为：a=2j,b=k.2j（j,k为整数），即只选择部分缩

8、放因子和平移参数来进行计算，就会使分析的数据量大大减少。,Mallat算法,执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器，该方法是Mallat于1988年提出的，称为Mallat算法。S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器组，其中一个滤波器为低通滤波器，通过该滤波器可得到信号的近似值A（Approximations），另一个为高通滤波器，通过该滤波器可得到信号的细节值D（Detail）。,有限带宽信号，若将其分解为窄带分量，特别地当采用双通道子带时，对应带宽划分为两个分量（子带），例如低半带和高半带。,图示,注意：在使用滤波器对真实的数字信号进行变换时，得到的数据将是原始数据的两倍例如，如果原始

9、信号的数据样本为1000个，通过滤波之后每一个通道的数据均为1000个，总共为2000个。于是,根据尼奎斯特(Nyquist)采样定理就提出了采用降采样(downsampling)的方法，即在每个通道中每两个样本数据中取一个，得到的离散小波变换的系数(coefficient)分别用cD和cA表示。,离散小波的多分辨率分析,又称为多尺度（分辨率）分析,对多尺度的理解,若我们把尺度理解为照相机镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于照相机镜头由远及近的接近目标。在大尺度空间里，对应远镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，对应近镜头下观察到的目标，可观察到目标的细微部分。因此，

10、随着尺度的由大到小，在各个尺度上可以由粗及细的观察目标。这就是多尺度的思想。,二维离散小波变换,二维离散小波变换是一维离散小波变换的推广，其实质上是将二维信号在不同尺度上的分解，得到原始信号的近似值和细节值。由于信号是二维的，因此分解也是二维的。分解的结果为：近似分量cA、水平细节分量cH、垂直细节分量cV和对角细节分量cD。同样也可以利用二维小波分解的结果在不同尺度上重构信号。,小波重构,重构概念把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构(wavelet reconstruction)或合成(synthesis)，数学上叫做逆离散小波变换(inverse discrete wavelet

11、transform，IDWT)两个过程在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样(downsampling)两个过程，在小波重构时也包含升采样(upsampling)和滤波两个过程。升采样是在两个样本数据之间插入“0”，目的是把信号的分量加长。,重构与升采样,Wavevlet“dB1”,一级分解,水平细节分量cH,近似分量cA,垂直细节分量cV,对角细节分量cD,Wavevlet“dB1”二级分解,二维小波变换示例,水平细节分量cH,近似分量cA,垂直细节分量cV,对角细节分量cD,C,S=wavedec2(X,N,wname),returns the wavelet decomposition

12、 of the matrix X at level N,using the wavelet named in string wname.Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.,A=appcoef2(C,S,wname,N),computes the approximation coefficients at level N using the wavelet decomposition structure C,S,Matrix C is such that:C=A(N)

13、|H(N)|V(N)|D(N)|.H(N-1)|V(N-1)|D(N-1)|.|H(1)|V(1)|D(1)Matrix S is such that:S(1,:)=size of app.coef.(N)S(i,:)=size of det.coef.(N-i+2)for i=2,.,N+1 and S(N+2,:)=size(X).,d=detcoef2(type,C,S,N),extracts from the wavelet decomposition structure C,S,the horizontal,vertical or diagonal detail coefficien

14、ts for type=h(or v or d,respectively),at level N.H,V,D=detcoef2(all,C,S,N)returns the horizontal H,vertical V,and diagonal D detail coefficients at level N.,X=waverec2(C,S,wname),reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure C,S,Matrix C is such that:C=A(N)|H(N)|V(N)|D(N)|.H(N-1)|V(N-1)|D(N-1)|.|H(1)|V(1)|D(1)Matrix S is such that:S(1,:)=size of app.coef.(N)S(i,:)=size of det.coef.(N-i+2)for i=2,.,N+1 and S(N+2,:)=size(X).,小波变换 应用图象压缩,修改系数后重建,修改系数后重建,压缩示例,小波变换 应用图象压缩,小波变换 应用图象压缩,去噪示例,请多提宝贵意见！谢谢！,思考：小波变换与窗口傅立叶变换的区别？（1）基函数都是带通滤波器（2）时频分辨率，分析窗口特征（3）基函数的形式和正交性,