《函数基本性质》PPT课件.ppt

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1、函数基本性质,1、增减函数（1）设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，总是都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.（2）如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.,2、图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的

2、.,3、函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取x1，x2D，且x1x2；2 作差f(x1)f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”在区间内g(x)的单调性与f(u)的单调性相同那么这个复合函数为增函数，不相同就为减函数。,注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写（成其并集）.,函数的

3、奇偶性（整体性质）（1）、偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数（2）、奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数（3）、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称,利用定义判断函数奇偶性的步骤：1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；若是不对称，则是非奇非偶的函数；若对称，则进行下面判断；2确定f(x)与f(x)的关系；3作出相应结论：若f(x)=f(x)或 f(x)f(x)=0，则f(x)是偶函数；若f(x)=f(x)或

4、f(x)f(x)=0，则f(x)是奇函数,（4）利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性 1）在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数；,2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇。,注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)f(-x)=1来判定;(3)利用定理，或借助函数的图象判定.,函数最值及性质的应用1、函数的最值1 利用

5、二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；,2、函数的奇偶性与单调性 奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性。,3、判断含糊单调性时也可以用作商法，过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较，作商法是与1作比较。4、绝对值函数求最值，先分段（自变量

6、0/0），再通过各段的单调性，或图像求最值。5、在判断函数的奇偶性时候，若已知是奇函数可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数。（高一阶段可以利用奇函数f(0)=0）。,练习,例1如图1-3-1-3是定义在区间5，5上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数y=f(x)的单调区间是-5,2),-2,1),1,3),3,5.其中函数y=f(x)在区间-5,2),1,3)上是减函数，在区间-2,1),3,5上是增函数.,（1）画出已知函数f(x)=-x2+2x+3的图象；（2）证明函数f(x)=-x2+2x+

7、3在区间(-,1上是增函数；（3）当函数f(x)在区间(-,m上是增函数时，求实数m的取值范围.,1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图1-3-1-4所示.(2)设x1、x2(-,1，且x10.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-,1上是增函数.（3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(-,m位于对称轴的左侧时满足题意，则有m1，即实数m的取值范围是(-,1.,已知函数f(x)是R上的增函数，设F(x)=f(x)-f(a-x).(1)用函数单调性定义证明F(x)是R上的增函数；(2)证

8、明函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.,1）设x1、x2R，且x1x2.则F(x1)-F(x2)=f(x1)-f(a-x1)-f(x2)-f(a-x2)=f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1).又函数f(x)是R上的增函数，x1x2，a-x2a-x2.f(x1)f(x2),f(a-x2)f(a-x1).f(x1)-f(x2)+f(a-x2)-f(a-x1)0.F(x1)F(x2).F(x)是R上的增函数.（2）设点M(x0,F(x0)是函数F(x)图象上任意一点，则点M(x0,F(x0)关于点(,0)的对称点M(a-x0,-F(x0).又F(a-x0)=f(a-

9、x0)-f(a-(a-x0)f(a-x0)-f(x0)-f(x0)-f(a-x0)=-F(x0),点M(a-x0,-F(x0)也在函数F(x)图象上，又点M(x0,F(x0)是函数F(x)图象上任意一点，函数y=F(x)的图象关于点(,0)成中心对称图形.,2(1)写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?(2)写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?,(3)定义在-4,8上的函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,y=f(x)的部分图象如图1-3-1-5所示,请补全函数y=f(x)的图

10、象,并写出其单调区间,观察：在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?,：(1)函数y=x2-2x的单调递减区间是(-,1),单调递增区间是(1,+);对称轴是直线x=1;区间(-,1)和区间(1,+)关于直线x=1对称,而单调性相反.(2)函数y=|x|的单调递减区间是(-,0),单调递增区间是(0,+);对称轴是y轴即直线x=0;区间(-,0)和区间(0,+)关于直线x=0对称,而单调性相反.(3)函数y=f(x),x-4,8的图象如图1-3-1-6.,函数y=f(x)的单调递增区间是-4,-1,2,5;单调递减区间是5,8,-1,2;区间-4,-1和区间5,8关于直线x=2对称,而单调性相

11、反,区间-1,2和区间2,5关于直线x=2对称,而单调性相反.(4)可以发现结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:不妨设函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间a,b上是增函数,区间a,b关于直线x=m的对称区间是2m-b,2m-a.由于函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,则f(x)=f(2m-x).设2m-bx12m-x2a,f(x1)-f(x2)=f(2m-x1)-f(2m-x2).又函数y=f(x)在a,b上是增函数,f(2m-x1)-f(2m-x2)0.f(x1)-f(x2)0.f

12、(x1)f(x2).函数y=f(x)在区间2m-b,2m-a上是减函数.当函数y=f(x)在对称轴直线x=m的右侧一个区间a,b上是增函数时,其在a,b关于直线x=m的对称区间2m-b,2m-a上是减函数,即单调性相反.,因此有结论:如果函数y=f(x)的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f(x)在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.,强调,1.单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.2.有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数).3.函数在定义域内的两个区间A、B上

13、都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AB上是增（或减）函数.,判断下列说法是否正确：已知f(x)=,因为f(-1)f(2),所以函数f(x)是增函数.若函数f(x)满足f(2)f(3),则函数f(x)在区间2,3上为增函数.若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数.因为函数f(x)=在区间(-,0)和(0,+)上都是减函数，所以f(x)=在(-,0)(0,+)上是减函数.,答案：这四个判断都是错误的,知识点1 复合函数如果y是u的函数，而u又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=fg(x)叫做函数f和g的复合函数

14、，u叫做中间变量若f(u)的定义域是集合A，g(x)的值域是集合B，当且仅当AB时，复合函数fg(x)的定义域是g(x)的定义域,知识点2 复合函数的单调性对于函数和，如果在区间上是具有单调性，当时，且在区间上也具有单调性，则复合函数在区间具有单调性的规律见下表：,以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减,证：设，且,在上是增函数，且.在上是增函数，.所以复合函数在区间上是增函数。设，且，在上是增函数，且,在上是减函数，.所以复合函数在区间上是减函数。设，且，在上是减函数，,且,在上是增函数，.所以复合函数在区间上是减函数。设，且，在上是减函数，且,在上是减函数，.所以复合函数在

15、区间上是增函数。,例1 设，当,时，试证明函数在区间0,上为单调减函数。,.画出函数y=x22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值.,解由图象得，函数的图象在区间（，1）和0，1上是上升的，在1，0和（1，）上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在（，1），0，1上是增函数；函数在1，0，（1，）上是减函数，最大值是4.,菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出去后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？,由二次函数的知识，对于函数h

16、(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当t=1.5时，函数有最大值,即烟花冲出去后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.,画出 f(x)=x2 f(x)=|x|,两个函数图象都是轴对称图形，都关于y轴对称；函数图象的这个特征反映在解析式上就是：都有f(-3)=f(3),f(-2)=f(2),f(-1)=f(1)。事实上，这两个函数对于定义域内任意的一个x都有f(-x)=f(x),这样的函数我们就称为是偶函数。,画 f(x)=x f(x)=1/x,两个函数图象都是中心对称图形，都关于原点轴对称；函数图象的这个特征反映在解析式上就是：都有f(-3)=-f(3),f(-2)=-f(2),f(-1)=-f(1)。事实上，这两个函数对于定义域内任意的一个x都有f(-x)=-f(x),这样的函数我们就称为是奇函数。,1.说出下列函数的奇偶性f(x)=x4(偶函数)f(x)=x3（奇函数）f(x)=x-2（偶函数）f(x)=x2+1(偶函数)f(x)=x,x-1,2)(非奇非,说出下列函数的奇偶性 f(x)=x3+x f(x)=3x4+6x2+a,解:定义域为R f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-(x3+x)即 f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数,