《函数及其运算》PPT课件.ppt
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1、函数及其运算,离散数学:第7讲,上一讲内容的回顾,偏序关系与偏序集拟序哈斯图偏序集中的特殊元素极大元与极小元最大元与最小元上(下)界与上(下)确界全序良序,函数及其运算,函数的定义像与完全原像几种特殊的函数满射、单射(一对一的)、双射(一一对应的)集合的特征函数自然映射函数的复合反函数鸽巢原理,函数:一个你非常熟悉的名词,0,x,y,y=f(x),a,函数f 在a点的“值”,x2,x1,y2,y2,f 是定义在实数集上的函数b是对应于a的值一般要求对定义域中的每个元素有一个,也只有一个函数值与之对应区间x1,x2是定义域的子集区间y1,y2是对应于x1,x2的像,b,函数的推广:映射,从集合A
2、到B的函数 f:AB是一种特殊的二元关系,满足:f 在其定义域中的每个元素都有唯一的值注意::AB表示定义域是A,但值域可能是B的真子集。若A,B皆非空有限集合,从A到B的不同的函数有|B|A|个。注意:空关系本身是一个从空集到任意集合S(包括空集)的函数,因为它满足:x,x!yS,像与完全原像,设:AB,AA,则(A)=y|y=(x),xA称为A在下的像。值是对定义域中一个元素而言,像是对定义域的一个子集而言。设BB,则-1(B)=x|xA,(x)B称为B的完全原像定义域A的一个子集A1的像的完全原像包含A1,但未必相等。,几种特殊的函数,满射:AB是满射的:ran=B,iff.yB,xA,
3、使得(x)=y单射(一对一的):AB是单射的:y ran,!xA,使得(x)=y iff.x1,x2A,若x1x2,则(x1)(x2)iff.x1,x2A,若(x1)=(x2),则x1=x2。双射(一一对应的)满射+单射,几种特殊的函数:例子,:RR,(x)=-x2+2x-1:Z+R,(x)=ln x,单射:RZ,(x)=x,满射:RR,(x)=2x-1,双射:R+R+,(x)=(x2+1)/x注意:f(x)2,而对任意正实数x,f(x)=f(1/x):RRRR,()=,双射。注意:(|x,yR且y=x+1)=R-1:NNN,()=|x2-y2|注意:(N0)=n2|nN,而-1(0)=|nN
4、,集合的特征函数,设A为集合,对任意的AA,特征函数A:A0,1 定义为:A(x)=1 iff.xA。可以在A的幂集与A的所有特征函数的集合之间建立一一对应的函数。定义函数:(A)|是A的特征函数如下:对任意A(A),(A)=A显然是双射,自然映射,R是A上的任一等价关系,g:AA/R,对任意aA,g(a)=a,称G为自然映射。自然映射是满射。对任意的等价类x A/R,存在xA,使得g(x)=x,交集与并集的函数象,设函数f:AB,且X,Y是A的子集,则f(XY)=f(X)f(Y)f(XY)f(X)f(Y),A,B,X,Y,a1,a2,c,f,在f(X)f(Y)中,但不在f(XY)中,函数的复
5、合,关系的复合适用于函数,运算的结果当然是关系实际上:函数的复合仍然是函数定理:如果f:AB,g:BC,则f g:AC,且xA都有f g(x)=g(f(x),结合律,函数的复合即关系的复合关系的复合运算满足结合律所以:函数的复合满足结合律即:对任意函数f:AB,g:BC,h:CD,(f g)h=f(g h),复合运算保持 函数性质:满射,满射的复合是满射 定理:如果f:AB,g:BC均是满射,则f g:AC也是满射。证明要点:任给yC,根据g的满射性质,一定有tB,使得g(t)=y,而根据f的满射性质,一定有xA,使得f(x)=t,因此,f g(x)=y。,但是,若f g是满射,能推出f 和g
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