《中值定理教学》PPT课件.ppt

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1、一、费马定理,二、罗尔(Rolle)定理,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,验证定理正确与否的命题，一定要验证两点：,（1）定理的条件是否满足；,（2）若条件满足，求出定理结论中的,思考2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,现在我们把曲线在平面内旋转一定角度,拉格朗日 Lagrange(法)1736-1813,拉格朗日中值定理,(1),(2),使得,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,注,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,微分中值定理,（3）拉氏公式精确地表达了函数

2、在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,平均值公式,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,8）拉格朗日中值定理的条件缺一不可：,拉格朗日中值定理,(1)在区间 a,b 上连续,满足:,(2)在区间(a,b)内可导,至少存在一点,使,思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,证明方法,作辅助函数,显然,在 a,b 上连续,在(a,b)内可导,且,证明:,问题转化为证,由罗尔定理知至少存在,即定理结论成立.,一点,例 1 证明若f(x)在a,b上可微，,(a,b),使,证明:,则至少存在一点,作辅助函数,显然 f(x)在

3、 a,b上满足拉格朗日定理条件,有,即,推论,证:在I上任取两点,由 的任意性知,在 I 上为常数.,例2.证明等式,证:设,由推论可知,(常数),令 x=0,得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例3.证明不等式,证:设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,柯西中值定理的 几何解释,三、柯西(Cauchy)中值定理,例8,证,分析:,结论可变形为,故证,例9.设,至少存在一点,使,证:结论可变形为,设,则,在 0,1 上满足柯西中值,定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使,即,证明,例11.试证至少存在一点,使,证:,法1 用柯西中值定理.

4、,则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令,因此,即,分析:,例11.试证至少存在一点,使,法2 令,则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使,因此存在,例11.试证至少存在一点,使,法3 令,则 f(x)在 1,e 连续,四、小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,费马(1601 1665),法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数

5、论,他提出,的费马大定理:,至今尚未得到普遍的证明.,他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中,提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,思考题,试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.,思考题解答,不满足在闭区间上连续的条件；,且,不满足在开区间内可微的条件；,以上两个都可说明问题.,练 习 题,练习题答案,