《群同态基本定理》PPT课件.ppt

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1、群同态基本定理,离散数学 第15讲,上一讲内容的回顾,群中元素的阶循环群的定义循环群中的生成元素循环群的子群无限循环群与整数加群同构有限循环群与相应的剩余加群同构,群同态的基本定理,正规子群商群同态核自然同态群同态基本定理同态基本定理的应用,正规子群的概念,定义：群G的子群H是G的正规子群，当且仅当：对任意aG,Ha=aH。(记法：HG)平凡子群是正规子群。阿贝尔群与正规子群阿贝尔群的任何子群一定是正规子群。Ha=aH的充分必要条件是：对任意hiH,aG，一定存在某个hjH，使得hia=ahj。(不是：对任意hiH,aG,一定有hia=ahi。),正规子群的例子,S3,即1,2,3上所有一一对

2、应的函数构成的群：e,构成正规子群。注意：H=e,构成子群，但不是正规子群：H=,而H=,又一个正规子群的例子,设G是群，定义G的子集H=a|aG,对任意bG:ab=ba，则H是正规子群。H非空(显然单位元素eH)封闭性：a1b=ba1,a2b=ba2(a1a2)b=b(a1a2)子群：ab=ba a-1b=a-1baa-1=ba-1 正规子群：ab=ba(aH)Hb=bHH称为G的中心。,正规子群的判定（1）,设N是群G的子群，N是群G的正规子群当且仅当：对任意gG,nN,有 gng-1N。任取gG,nN,有n1N,使得：gn=n1g,因此：gng-1=n1N；先证明 gN Ng:任取gng

3、N,已知gng-1N，可令gng-1=n1，则gn=n1gNg；类似可证：Ng gN。设N是群G的子群，N是群G的正规子群当且仅当：对任意gG,有 gNg-1=N。,正规子群的判定(2),设N是群G的子群，若G的其它子群都不与N等势，则N是G的正规子群。只需证明：gNg-1=N。首先证明：gNg-1是子群。封闭性:(gn1g-1)(gn2g-1)=gng-1 子群判定条件2:(gn1g-1)(gn2g-1)-1=(gn1g-1)(gn2-1g-1)=gng-1 其次，因为其它子群都不与N等势，因此只需证明：gNg-1N。由消去率可得.,正规子群的判定(3),设N是群G的子群，且N恰有两个右陪集

4、，则N是正规子群。注意：若gN,则由子群满足封闭性和消去律可知：gN=Ng=N 若gN,则gN和Ng均不可能与N有公共元素，因此：gN=Ng=G-N。,右陪集关系,设H是群G的子群。定义G上的关系R如下：对任意a,bG,aRb iff.ab-1H实际上：aRb 即：a与b在同一个右陪集中。aRbab-1H ab-1=hi,hiH aHb右陪集关系是等价关系,同余关系,狭义的同余关系：例：对3同余:ab(mod 3)iff.|a-b|/3是整数。等价类：1=-3,0,3,6,9,2=-2,1,4,7,10,3=-1,2,5,8,11,“运算按照等价类保持。”aRb,cRd ac R bd同余关系

5、,正规子群的陪集关系是同余关系,设N是群G的正规子群，可以证明：若ap-1N,bq-1N，则(ab)(pq)-1N令ap-1=n1,bq-1=n2(n1,n2N)则:(ab)(pq)-1=abq-1p-1=an2p-1 而N是正规子群，an2=n3a(n3N)所以：(ab)(pq)-1=n3ap-1=n3n1N,陪集的运算,设H是群G的正规子群。在H的右陪集构成的集合上定义如下运算：Ha*Hb=H(ab)这里ab是指G中的运算。关于上述定义的合法性：运算结果是以右陪集的代表元素之间的运算表示的，运算结果必须与代表元素的选择无关。这一点由“H是正规子群”来保证。,商群,设N是群G的正规子群，(G

6、/N,*)是群封闭性：*的定义保证。结合律：G的运算满足结合律。单位元素：N本身(注意：G的单位元素eN)逆元素：Na的逆元素是Na-1。(G/N,*)称为G的商群。,同态核,假设G1,G2是群，f:G1G2是同态映射，定义集合 ker f=x|xG1,且f(x)=e2,其中e2是G2的单位元素，ker f称为同态核。,同态映射 f,G2的单位元素,G2,G1,ker f,同态核是正规子群,ker f是G1的正规子群。非空：G1的单位元必在ker f 中。子群：任取a,b ker f,则：f(a)=f(b)=e2;因此：f(ab-1)=f(a)*f(b)-1=e2。正规子群：任取a ker f

7、,xG1,则：f(a)=e2;因此：f(xax-1)=f(x)*f(a)*f(x)-1=e2。,单同态,代数系统(G1,)与(G2,*)单同态 当且仅当：存在一对一的函数f:G1G2,满足：对任意x,yG1,f(xy)=f(x)*f(y)假设G1,G2是群，f:G1G2是同态映射。f是单同态映射 当且仅当 ker f=e1,e1是G1的单位元 设aker f,且ae1,但f(a)=f(e1)=e2,f不是单射。任取a,bker f,则f(a)=f(b)，f(a)*f(b)-1=f(ab-1)=e2,ab-1ker f=e1,ab-1=e1,由逆元素唯一：a=b,即ker f 只有唯一的元素，它

8、只能是e1。,自然同态,任意的群G总与其商群满同态,称为自然同态假设N是G的正规子群G/N是由N所确定的商群(G/N的元素是N的(右)陪集)定义g:GG/N,对任意aG,g(a)=Na,显然：g是满射。g是满同态映射：对任意a,bG:g(ab)=N(ab)=Na*Nb=g(a)*g(b)ker g即为N:注意：N是商群的单位元。g(x)=N xN,自然同态的几个例子,例：群G本身也是G的正规子群。自然同态g:GG/G是零同态。注意：G/G=G,对任意xG,g(a)=G。例：设e1是群G的单位元，e1是G的正规子群，定义函数g:GG/G如下：对任意xG,g(x)=x 则g是G到G/e1的自然同态

9、，这也是同构。注意：G/e1=x|xG设G1，G2是群，其单位元分别是e1,e2。定义：f:G1G2G1:对任意G1G2,f()=a 易证：f 是满同态映射，ker f=e1G2,同态基本定理,假设G,G是群，f:GG是满同态映射，则G/ker f G。,G,G,G/ker f,h:同构,g:自然同态,f:同态,f=goh,同态基本定理的证明,令ker f=K,即K是关于f 的同态核对任意a,bG,Ka=Kb当且仅当f(a)=f(b)注意：Ka=Kb a,b在同一右陪集中 ab-1K f(ab-1)=e f(a)*f(b-1)=e f(a)与f(b)-1互为逆元素 f(a)=f(b)定义h:G

10、/KG:h(Ka)=f(a)。由上述讨论可知：h是一对一的；由于f是满射，显然h也是满射，h是从G/K到G的双射。对任意Ka,KbG/K,h(KaKb)=h(K(ab)=f(ab)=f(a)*f(b)=h(Ka)*h(Kb)所以：G/KG,群同态的例子,(R,+)是实数加群。是其生成子群。显然这是不变子群。商群(R,+)/的每个元素是2k+|k是整数，0(U,),同构映射是f(2k+)=ei,循环群与群同态,G和G分别是阶为m,n的循环群，G与G同态 当且仅当 n整除m 设f是G到G的同态映射。则GG/ker f,因此，G/ker f的阶为n，ker f是G的子群,根据拉格郎日定理，n能整除m

11、。定义f:GG,对任意akG,f(ak)=bk。其中a,b分别是G和G的生成元素。若aj=ak，则j,k对m同余，也对n同余，所以：bj=bk，因此f是函数。f(aj ak)=f(aj+k)=bj+k=bj*bk=f(aj)*f(ak),同态基本定理的应用,例：G是群，H和K都是G的正规子群，且HK，证明：G/K(G/H)/(K/H)比较同态基本定理，G/ker f G定义f:G/HG/K,对任意HaG/H,f(Ha)=Ka注意：Ha=Hb ab-1H ab-1K Ka=kb易证 f 是满同态映射，且同态核是K/H G/K(G/H)/(K/H),同态群的商群的关系,设f是群G到G的满同态，H是

12、G的不变子群，H=a|aG,f(a)H,则H也是G的不变子群，并且：G/HG/H 比较“基本定理”：G/ker f G证明思路：建立从G到(G/H)的满同态h证明h的同态核即为H立即由同态基本定理得到结论令G到商群G/H的自然同态为g,则h=fgH=ker hHker h：对任意aH,f(a)H,h(a)=g(f(a)=H,a ker hker h H：对任意aker h，则h(a)=H,即g(f(a)=H,所以f(a)H,即a H,同态群的子群的对应,设f是群G到G的满同态。A=H|HG,且ker fH，A是G的幂集。定义g:AA:对任意HA，g(H)=f(H)。则g是双射。g是映射：对任意

13、HA,f(H)是G的子群g是满射：对任意HA,令H=a|aG,f(a)H，则a,bHf(a),f(b)Hf(a)f(b)Hf(ab)HabH(封闭性)；又：aH f(a)H f(a)-1Hf(a-1)Ha-1H(逆元素)；所以H是子群。任给xker f,f(x)=eH，即xH,所以：ker fH。g是单射：注意：若H包含ker f，则f-1(f(H)=H(这里的f-1不是反函数，表示集合的完全原象集);因此：f(H1)=f(H2)f-1(f(H1)=f-1(f(H2)H1=H2。注意：H是G的不变子群 当且仅当 f(H)是G的不变子群。,作业,假设f从群G到G的映射，H是G的一个子集，证明：(1)H f-1(f(H),但是H=f-1(f(H)不一定成立。这里：对任意SG,f-1(S)=x|xG,且f(x)S(2)若H包含ker f，则f-1(f(H)=H设f是群G到G的满同态。证明：H是G的正规子群 当且仅当 f(H)是G的正规子群。这里：f(H)=x|xG,且存在xH,使f(x)=x设H，K是群G的两个正规子群，则HK，HK均是G的正规子群，且：HK/K H/HK这里：HK=ab|aA,bB,