《组合投资理》PPT课件.ppt

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1、第四章 组合投资理论,第四章 组合投资理论,第一节 证券组合的收益与风险第二节 组合线第三节 最小方差集合与有效集合第四节 单指数模型第五节 多指数模型,第一节 证券组合的收益与风险,所谓证券投资组合(简称证券组合或投资组合)是指将全部投入资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的一个组合。假设证券组合 是由n 种不同证券构成，其中在第 i 种证券上投资的资金比例为，简称为第 i 种证券投资权重。则证券组合可记为如下的形式,第一节 证券组合的收益与风险,在证券X组合中，权重 时表示买入证券 i；表示卖空证券 i,将其所得资金投资于组合内其他证券；当 时，表示投资在证券上的资金有卖空其他

2、证券收入的资金。设证券 i 的收益率为，其概率分布为则证券的预期收益率(期望收益率)为,第一节 证券组合的收益与风险,证券 i(收益率)的方差为标准差为，而证券 i 和 k(收益率)的协方差为对于证券组合X，其收益率为,第一节 证券组合的收益与风险,X的预期收益率为X的方差为(4.4),第一节 证券组合的收益与风险,其中注意到 与 的相关系数定义为,第一节 证券组合的收益与风险,所以又有特别，我们来看等比例组合的情形，此时,第一节 证券组合的收益与风险,分别表示n个证券方差和它们的协方差的平均值。显然如果，我们仍用方差表示风险，则上式表明，如果按等比例做证券组合，当组合中的证券数量达到一定程度

3、时，单个证券的风险将不发生作用，而证券组合的风险主要取决于证券之间的协方差，即证券收益率之间的相互关系。对于非等比例组合，上述结论仍然成立。,第一节 证券组合的收益与风险,（4.4）的第一部分我们成为证券组合的非系统风险，第二部分我们称为证券组合的系统风险。组合投资使得系统风险平均化，大大地减少了非系统风险。在不允许卖空时，注意到,有,第一节 证券组合的收益与风险,即证券组合的风险，总是小于等于单一证券的最大风险，这是一个非常重要的结论，是现代证券理论的基础。同时，我们还可以通过改变 的比例，使 取最小值，这也是十分重要的推断，是现代证券投资理论的核心。,返回,第二节 组合线,给定一个证券组合

4、X，它的预期收益率和标准差确定了一个点对，当这个证券组合的权重发生变化时，我们得到一条曲线我们将其称为组合线。组合线上的每一点，表示一个权数不同的证券组合。因此组合线告诉我们证券组合的预期收益率与风险怎样随着证券组合权重的变化而变化。,第二节 组合线,一、由两个单一证券组成的证券组合线设证券，为两个单一证券，它们具有不同的预期收益率和风险，分别记为。如果证券组合仅包含这两种证券且允许卖空，则它的权重、满足关系 为记号简单，记则对证券组合有(4.5)(4.6),第二节 组合线,由(4.5)式知将其代入(4.6)得,第二节 组合线,注意到 从上式可见，证券1，2的组合线在 坐标系中是一双曲线的右半

5、支(如果在 坐标系中，则是一条抛物线)，实轴为与 轴平行的直线虚轴为 轴，顶点P在实轴上处。,(4.9)(4.10),第二节 组合线,将(4.9)代入(4.7)可得图4.1给出了 而 情形下1，2两个证券的组合线。其中点代表证券1,B点代表证券2，双曲线DAPBC是由1，2两证券构成的允许卖空的组合线；,第二节 组合线,第二节 组合线,顶点P处的预期收益率 由(4.9)式给出，标准差 由(4.10)式给出，其中证券1投资权重由(4.11)给出，P点处的证券组合是由1，2两证券构成的具有最小风险的证券组合；A点的投资组合为；B点的投资组合为 双曲线APB中部分对应的 有0 x11，其上的证券组合

6、是没有卖空情形的证券组合，即1，2两证券在不允许卖空时的组合线为APB有限的一段曲线；A点的证券组合表示全部资金只投资于证券1，而双曲线点右上方AD一段无限延伸()则构成了卖空证券2而将自有资金和卖空2所得资金全部投资于证券1的全部证券组合；,第二节 组合线,B点的证券组合表示全部资金只投资于证券2，而双曲线中B点右下方BC一段无限延伸()则构成了卖空证券1而将自有资金和卖空1所得资金全部投资于证券2的全部证券组合；双曲线的上半支PD部分上的证券组合表明随投资于证券1的比重越来越大，证券组合的风险 也越大，但预期收益率 也越高，而双曲线的下半支PC部分上证券组合表明随投资于证券2的比重越来越大

7、，证券组合的风险 也越大，但预收益率 却越来越小，一般情形下投资者将不选择这里的投资组合。,第二节 组合线,二、两个收益率具有特殊相关关系的证券组合线1.证券1和证券2的收益率不相关当证券1和证券2的收益率不相关时，则,这时两证券的组合线仍为双曲线，由式(4.8)(4.11)可知，其组合线方程为在双曲线的顶点P处,第二节 组合线,组合线的图形仍可参见图4.1。,第二节 组合线,2.证券1和证券2的收益率完全相关当证券1和证券2的收益率完全正相关时，,这时由(4.8)式，两证券组合线方程为,第二节 组合线,将上式两端开方，可得或写成,第二节 组合线,两证券组合线是从 轴上 点出发，斜率分别为 的

8、两条对称的直线，组合线的顶点(两直线的交点)对应证券1的权重为它对应的是一个无风险的 证券组合。,第二节 组合线,类似地，当证券1和证券2的收益率完全负相关时，对应的值为,第二节 组合线,两种证券的收益率在完全正相关时，一种证券收益率高，另一种证券的收益率亦高。这样，在做卖空时，你将从你的多头位置中获益，而从空头位置中受损，但得利于多投资的证券。当两种证券的收益率都低时，你将从多头中受损，而从空头中获益，投资较多的证券收益与卖空证券收益将相互抵消，证券组合的总体收益将较稳定。,第二节 组合线,两种证券的收益率在完全负相关时，一种证券的收益率高，另一种证券的收益率总是相对要低。如果卖空高收益证券

9、，而做多低收益证券，则证券组合的两部分都遭受损失。另一方面，如果做多高收益证券，卖空低收益证券，则两部分都获利。因此在完全负相关时，证券组合的风险较高，其结果要么是盛宴，要么是饥荒。,第二节 组合线,图.2画出了完全正相关和完全负相关时，两个证券组合的组合线。,第二节 组合线,三、无风险利率的借入和借出如果证券组合的两种证券中的一种，设为证券2是无风险证券，具有稳定的收益率 r(如国库券，由政府担保，具有稳定的收益率)，此时，它的风险为0，即，于是,第二节 组合线,可知即组合线是从r出发的射线，其斜率为 显然当 时当 时当 时,第二节 组合线,图4.3是一种证券为无风险证券时的证券组合的组合线

10、。,第二节 组合线,如果你在点A和点B之间选择了一个位置，则，表明你对风险证券和无风险证券均进行投资，此时，你是借出人，是你把资金借给了卖给你无风险证券的人。如果你在A点右上方选择了一个位置，则 表明你在借入资金，因为你卖出无风险证券2以筹集资金，并将这笔资金和你原有的资金均投资于证券1，你借入的资金越多，则在组合线上向点右上方偏离就越远，你的风险和预期收益率也随之增大。当 时，表明你卖空风险证券1并将全部资金投资于无风险证券2。,第二节 组合线,显然，如果无风险的借入和借出同时存在的话，你可以通过任何无风险证券的投资或卖出机会达到两条直线上任一点处的投资状况。,返回,第三节 最小方差集合与有

11、效集合,给定一组不同的单个证券，我们可以用它们构造不同的证券组合，这样，每一个证券或证券组合我们称为一个投资机会；全部投资机会的集合，称为机会集合。对机会集合中的每一个元素X，我们用它的预期收益率 和风险 或 来刻划它的绩效，因此每一个机会X都对应了数组 或，这样机会集合可以用预期收益率-标准差(或方差)二维空间的一个集合表示。如图4.4所示。,第三节 最小方差集合与有效集合,图4.4 投资机会集合,第三节 最小方差集合与有效集合,对于一个聪明理智的投资者来说，如果给定风险水平或者说标准差，他喜欢预期收益率高的投资机会；如果给定预期收益率水平，他喜欢风险低的投资机会。于是我们定义如下的最小方差

12、集合：机会集合中的一个证券组合，如果具有下述性质：没有其他的证券组合在与之相同的预期收益率水平下能达到更小的风险(标准差)，则我们称它为最小方差证券组合。最小方差证券组合的全体，我们称为最小方差集合。,第三节 最小方差集合与有效集合,显然，最小方差集合是机会集合的子集，是由证券组合的组合线上具有最小风险的证券组合的包络线组成。由于投资者所面临的投资条件不同，受到的投资约束不同，最小方差集合的形状也不同，因此最小方差集合的确定依赖于不同的约束条件。,第三节 最小方差集合与有效集合,下面我们来寻求最小方差集合，为此考虑一个证券组合X，它由N个证券组成，每个证券的预期收益率为，方差记为，证券间的协方

13、差记、于是证券组合的收益率 的方差 可以表示成在给定预期收益率水平之下，如何选择证券组合的权重，使证券组合具有最小方差呢?,第三节 最小方差集合与有效集合,记 为确定最小方差集合，我们考虑如下优化模型，即一般的马柯维茨模型这是一个等式约束的极值问题，我们可以构造Lagrange函数,第三节 最小方差集合与有效集合,根据Lagrange乘数法解得(4.25)得(4.26),第三节 最小方差集合与有效集合,（426）分别左乘 和 得记,第三节 最小方差集合与有效集合,于是解方程组得将 代入（4.26），得(4.29)其中,第三节 最小方差集合与有效集合,注意,第三节 最小方差集合与有效集合,为求全

14、局最小方差资产组合点，令：得到于是可解得,第三节 最小方差集合与有效集合,从而得全局最小方差组合又因为而,第三节 最小方差集合与有效集合,我们有两基金分离定理定理 任一最小方差集合上的投资组合 都可以唯一地表示为全局最小方差 和可分散化资产组合 的组合。我们将 代入(4.25)得(4.30),第三节 最小方差集合与有效集合,（4.29）式给出了证券组合权重与预期收益率的关系。（4.30）式给出了证券组合预期收益率与方差的关系,且说明在平面上面 有双曲线形式，而在 平面上可有抛物线形式。在 平面上的抛物线，其顶点在,如图4.6所示。,第三节 最小方差集合与有效集合,（通过上面的讨论，在 平面上，

15、最小方差集合是双曲线型，它能分成两部分：上半部和下半部，两部分以顶点为分界点，分界点代表了一个具有最小标准差的证券组合。显然我们愿意持有的证券组合是在顶点的上半部，而不愿意持有的证券组合是在顶点的下半部。,第三节 最小方差集合与有效集合,图4.5 平面上的一支双曲线型,图4.6 平面上的抛物线,第三节 最小方差集合与有效集合,最小方差集合在顶点上半部的证券组合集合称为有效集合。有效集合中所有证券组合符合以下准则：给定某一标准差，有效集合中的证券组合具有可获得的最大预期收益率。显然最小方差集合在顶点的下半部分对应点的预期收益率最低。在上面确定最小方差集合的过程中，权重约束为,求得的结果诸 中可能

16、有为正的也有为负的，它反映了允许卖空的情形。,第三节 最小方差集合与有效集合,在有些情况下，投资者把不进行卖空作为一种投资策略，因此，讨论在不允许卖空的约束下如何确定最小方差集合是必要的。这时在约束条件中需要加入 相应的模型为这是二次规划模型。利用Kuhn-Tucker条件，可得到其解所满足的必要条件。,第三节 最小方差集合与有效集合,如果以三个证券A，B，C在不许卖空的条件下考虑其证券组合的最小方差集合，则它将由组合线APSTC所确定(参见图4.4)，其中PST部分与允许卖空时的最小方差集合相同，余者受限于机会集合中的证券的最高预期收益率和最低预期收益率。下面我们再来看最小方差集合的证券组合

17、权重的几何意义。由于对于一个由n个证券组成的证券组合X，它的预期收益率和方差分别为,第三节 最小方差集合与有效集合,给定预期收益率时，证券组合的权重变化使我们可以得到一系列的证券组合，它们具有相同的预期收益率。这些证券组合的权重所在的平面我们称为等预期收益率平面。变化 可以得到一族平行的等预期收益率平面。同样给定证券组合收益率的方差时，证券组合权重的变化也会使我们得到一系列的证券组合，它们具有相同的收益率的方差。这些证券组合的权重所在的曲面 我们称为等方差椭球面。变化可以得到一族相似的等方差椭球面，它们的轴越短方差越小。,第三节 最小方差集合与有效集合,我们将等预期收益率平面和等方差椭球面画在

18、同一个 空间上。于是给定预期收益率平面后，我们可找到一个等方差椭球面与之相切，其切点坐标即为具有最小方差的证券组合权重。等预期收益率平面与等方差椭球面的切点轨迹我们称为临界线。由于等预期收益率面都是平行的，等方差椭球面以一个公共点为中心对称，可以证明临界线是直线。图4.7中NWPZY即为临界线，表示出最小方差集合上的所有证券组合权重。实线NWP部分为有效集合中的证券组合，虚线PZY部分代表了最小方差集合中的其他证券组合。其P点，表示了可能达到的最小方差的证券组合，它对应了图4.4的N点.,第三节 最小方差集合与有效集合,图4.7 等方差椭圆上的临界线,第三节 最小方差集合与有效集合,因为临界线

19、是直线，可以得出最小方差集合中所有的证券组合具有如下两个重要性质。性质1 如果把最小方差集合中的两个或两个以上的证券组合进行组合，则可得到最小方差集合上的另一种证券组合。这个性质告诉我们，如果每个投资者都持有一个有效的证券组合，那么他们的证券组合的组合，也将是一个有效的组合。这个性质引出了资本资产定价模型的中心论断。,第三节 最小方差集合与有效集合,性质2 给定市场证券总体，以M代表最小方差集合上的市场投资组合，则对任意证券J，其预期收益率与其风险因子 之间呈线性关系，即其中 是最小方差集合上市场投资组合M点处的切线在轴上的截距。图4.8所示是给定证券总体，在允许卖空情形下的最小方差集合，其中

20、的M点代表最小方差集合上的市场投资组合，J是任意证券。,第三节 最小方差集合与有效集合,图4.8 证券和市场投资组合的组合线,第三节 最小方差集合与有效集合,我们还可以看到，若以最小方差集合上的证券组合M代表市场投资组合，那么任一个证券的-因子均能通过下式计算把性质2所描述的线性关系，放在 平面，这条直线在资本资产定价模型中被称为证券市场线。图4.9给出了已知市场投资组合与证券市场线之间的关系。,第三节 最小方差集合与有效集合,图4.9 资本市场线与证券市场线之间的关系,返回,第四节 单指数模型,在上节的讨论中，各证券间协方差我们可以作任何假定，它们可以是由证券间存在的任意数量和种类的关系产生

21、，而且在计算风险时所用的公式中，我们必须对所选择的证券间的协方差进行估计。如果证券数目太大，我们就必须进行大量的协方差估计，使得在计算任一给定证券组合的方差时，需要花费大量时间。这是使用上节中的马柯维茨模型所存在的问题。单指数模型能使我们克服这一困难，使得确定证券组合的方差计算过程变得简单。,第四节 单指数模型,在股票市场中，我们发现，当市场投资组合(如股票市场指数)的收益率显著上升或下降时，几乎所有股票的收益率都随之上升或下降，虽然可能有一些股票的收益率可能比另一些股票的收益率上升或下降得要快，但总的来说都是呈相同趋势变化。这意味着，市场投资组合收益率的变化，能充分反映各种证券的共同变化趋势

22、。因此，对各个证券收益率之间的协方差的计算，可用每一证券收益率与市场投资组合收益率之间的协方差代替。单指数模型就是在假定证券的收益率只受市场投资组合即单指数收益率的影响下，去确定证券组合的权重。,第四节 单指数模型,设证券的收益率具有简单线性结构，即其收益率r和市场投资组合收益率 具有关系式其中A、B为待估参数，为残差。假设市场中有N个证券，则按上述结构，第J证券的收益率满足,(4.33),第四节 单指数模型,在单指数模型的讨论中，假定影响各个证券收益率的因素有两类：第一类称为宏观因素。例如通货膨胀率，主要利率的变化、就业率等，在任何情况下，这些因素的影响都是相当大的，几乎所有企业，所有公司都

23、不同程度地受到它们的影响，会引起证券价格总体水平的变化，再通过市场的推动，会影响到市场投资组合收益率水平，进而影响到各证券的收益率。因而宏观因素影响整个市场的收益率。,第四节 单指数模型,第二类称为微观因素。例如一种新产品的推出或老产品的淘汰，局部地区火灾或一个公司主要领导的变化，它们都只对个别企业或公司产生影响而不会影响到市场投资组合的收益率。从而使个别证券的收益率偏离市场特征线，出现残差。所以微观因素仅影响个别证券的收益率。其他类型的因素在单指数模型中不予考虑。例如行业因素，某些事件对某一行业内的所有企业产生影响，但却不足以影响到整个经济形势或市场投资的收益率。虽然这类因素也能引起残差，但

24、我们假设残差只由微观因素所致。,第四节 单指数模型,从而我们有如下的假设，对证券 有(4.35)同时我们还假设(4.36)(4.37),第四节 单指数模型,式（4.36）说明在任一时期残差可能为正，也可能为负，但期望值为零。式（4.37）说明证券残差与市场投资组合收益率不相关，即它与市场投资组合是多头或空头无关，不因市场投资组合为多头而成正值，也不因市场投资组合为空头而为负值。由单指数模型结构假设(4.33)和以上各项假设有(4.38),第四节 单指数模型,(4.39),第四节 单指数模型,从而,第四节 单指数模型,(4.38)式给出了证券的特征方程，(4.42)式表明特征方程中的系数即模型结

25、构中的系数恰好为证券的风险系数。(4.39)式给出了证券收益率的方差，它刻画了证券的风险，（4.39）式右边的第一项称为证券投资的系统风险。可以看做是与整个市场投资组合有关的风险。它是由市场投资组合中各证券的风险共同作用而产生。是所有证券都无法避免的风险。（4.39）式右边的第二项称为残差方差或非系统风险，可以看做是由微观因素所带来的风险，它仅影响到个别证券，是可以通过证券组合所能消去的风险。因而（4.39）式表明 证券总体风险系统风险非系统风险,第四节 单指数模型,另外，我们再注意，系统风险本身是两项之积，第一项是证券的-因子，它表示证券收益率随市场投资组合的变动影响程度，第二项是市场投资组

26、合收益率的方差，表示市场投资组合收益率的变化幅度。第二项非系统风险，即残差方差，表示证券收益率由于偏离了特征线而引起的那部分方差的大小。因而在单指数模型的假设下，证券收益率的总体方差来自两部分：一部分是特征线的变动(即系统风险)，另一部分是各点偏离特征线的程度(即非系统风险)。,第四节 单指数模型,下面考虑在单指数模型下，证券组合的结构。设满足单指数模型的n个证券的证券组合，则证券组合仍有单指数结构(4.43),第四节 单指数模型,注意(4.35)(4.37)式，有,(4.44)(4.45),第四节 单指数模型,在单指数模型下，(4.43)表明证券组合仍具有同类的单指数结构，(4.44)表明证

27、券组合的 因子为各证券 因子的加权平均，而(4.45)表明证券组合的方差(风险)与单个证券类似，仍由两部分构成，第一项是由市场投资组合方差反映的系统性风险，第二项反映的是组合中各证券非系统风险的加权平均(以 为权重)。,第四节 单指数模型,通过以上讨论，在单指数模型下，马柯维茨组合投资模型为：,第四节 单指数模型,与马柯维茨组合投资模型相比，该模型所需要估计的数值大为减少，它只需估计各证券的 值、预期收益率、值、残差方差及市场投资组合的预期收益率和方差，这比估计各证券之间协方差的工作量少一个数量级。但该模型的精确程度不如马柯维茨组合投资模型，它依赖于各证券收益率的单指数结构假设的合理性。,返回

28、,第五节 多指数模型,在更多的情况下，证券的收益率要受到包括市场因素在内的多种因素共同作用的影响，使得影响协方差的因素有多个。这些因素，可能是一系列经济指数，如通货膨胀率、失业率、利率、工业增长率等。设有个影响因素，把这些因素作为指数，它们的收益率分别用 表示。显然，如果各指数收益率之间不存在相关关系，那么它们就可以直接用于证券分析。但是现在经济活动中各种指数之间，往往存在某种程度的相关性，这些需要我们剔除它们之间的相关性。在斯密特正交化手续中，当我们把内积用协方差代替时，就可以作到这点。正因如此，在下面的讨论中，我们假定各指数收益率之间不存在相关性。,第五节 多指数模型,设任一证券的收益率可

29、以表示成如下的多指数模型：其中 是影响证券收益率的第i个指数的收益率(),是度量第i个指数收益率变化对证券J收益率影响的因子，是证券J与各指数无关的平均收益率，是证券J收益率与各指数无关的残差。,第五节 多指数模型,在多指数模型中，假设在上述假设下，类似单指数模型，我们可以得到,第五节 多指数模型,同单指数模型一样，对于证券组合，有,第五节 多指数模型,其中从而在多指数模型下，证券组合收益率的方差为,第五节 多指数模型,这时，马柯维茨组合投资模型为,第五节 多指数模型,在多指数模型中，使用较广泛的情形是证券收益率依赖于一个市场指数M和一个行业指数G的模型。即N=2的情形，此时其中,第五节 多指数模型,目前来看，能够用来解释证券收益率之间相关因素的指数有个，这时构造的多指数模型效果较好。在使用多指数模型时，所需要估计的数据为：n个证券的预期收益率 n个证券的残差方差 n个市场指数的-因子n个指数的预期收益率n个指数收益率的方差,第五节 多指数模型,这样，在给定目标预期收益率下，我们就可以构造优化模型，可以求出投资组合的权重，使其具有最小的证券组合方差。,返回,