《线系统的根轨迹法》PPT课件.ppt
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1、第四章 线性系统的根轨迹法,本章主要内容与重点 根轨迹方程根轨迹绘制的基本法则广义根轨迹,本章阐述了控制系统的根轨迹分析方法。包括根轨迹的基本概念、绘制系统根轨迹的基本条件和基本规则,参量根轨迹和零度根轨迹的概念和绘制方法,以及利用根轨迹如何分析计算控制系统的性能(稳定性、暂态特性和稳态性能指标等)。,本章重点,本章主要内容,学习本章内容,应重点掌握根轨迹的基本概念、绘制根轨迹的条件、系统根轨迹的绘制规则和利用根轨迹分析系统的稳定性、暂态特性和稳态性能,参量根轨迹的概念和绘制方法,理解零度根轨迹的基本概念和绘制方法。,4-1 根轨迹方程,根轨迹 开环系统(传递函数)的每一个参数从零变化到无穷大
2、时,闭环系统特征方程根在 s 平面上的轨迹称为根轨迹。,若闭环系统不存在零点与极点相消,闭环特征方程的根与闭环传递函数的极点是一一对应的。,例 二阶系统的根轨迹,开环增益K从零变到无穷,可以用解析方法求出闭环极点的全部数值。,根轨迹与系统性能稳定性 考察根轨迹是否进入右半 s 平面。稳态性能 开环传递函数在坐标原点有一个极点,系统为1型系统,根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹,K是根轨迹增益,根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。动态性能 由K值变化所对应的闭环极点分布来估计。,对于高阶系统,不能用特征方程求根的解析方法得到根轨迹。根轨迹法 图解法求根轨迹。从开环传
3、递函数着手,通过图解法来求闭环系统根轨迹。闭环零、极点与开环零、极点之间的关系,设 控制系统如图所示,和,:前向通路增益:前向通道根轨迹增益:反馈通道根轨迹增益,结论:(1)闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。(2)闭环系统的零点 开环前向通道传递函数的零点和反馈通道传递函数的极点所组成。(3)闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益 均有关。,根轨迹法的任务:由已知的开环零极点和根轨迹增益,用图解方法确定闭环极点。根轨迹方程,由闭环传递函数,当,求出相应的根,就可以在s平面上绘制出根轨迹。,根轨迹方程,根轨迹方程可以进一步表示为,相角条件(幅角条件):(充分必要条件),模值条件
4、(幅值条件):,4-2 根轨迹绘制的基本法则,可变参数为根轨迹增益,相角条件:180o相轨迹,规则1:根轨迹的起点和终点:根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点。简要证明:,又从,在实际系统通常是,则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处,这意味着在无穷远处有 个无限远(无穷)零点。,规则2:根轨迹的分支数和对称性根轨迹的分支数与开环极点数n相等(nm)或与开环有限零点数m相等(nm)根轨迹连续:根轨迹增益是连续变化导致特征根也连续变化。实轴对称:特征方程的系数为实数,特征根必为实数或共轭复数。,规则3:根轨迹渐近线当 nm 时,则有(n-m)条根轨迹分支终止于无限零点。这些根轨迹分支趋向无穷远的
5、渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,例1 设单位反馈系统的前向传递函数为,(2)有4条根轨迹的分支,对称于实轴,(1),(3)有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线,与实轴夹角,与实轴交点,图示P.135 4-6,规则4:实轴上的根轨迹若实轴的某一个区域是一部分根轨迹,则必有:其右边(开环实数零点数+开环实数极点数)为奇数。这个结论可以用相角条件证明。,由相角条件,图示证明:P.136 图4-7,规则5:根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点(会合点)。分离点(会合点)的坐标 d 由下列方程所决定:,或,注:(1)根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根
6、。(2)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点(包括无限零点)或开环极点(包括无限极点),则在此段根轨迹上必有分离点。(3)分离点若在复平面上,则一定是成对出现的。例 2 绘制图示系统大致的根轨迹,解(1)开环零点开环极点根轨迹分支数为3条,有两个无穷远的零点。,(2)实轴上根轨迹(3)趋向无穷远处的渐近线的夹角与交点(4)分离点(用试探法求解),例3:设单位反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。,解(1)一个开环零点,两个开环极点;两条根轨迹分支;有一个无穷远处的零点。(2)渐近线与实轴重合的,实轴上根轨迹(-,-2。(3)分离点,(4)由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分,圆心
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