《积分的极限定》PPT课件.ppt

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1、第19讲 Lebesgue积分的极限定理,本讲目的：掌握控制收敛定理，并能熟练运用，了解一个函数Riemann可积的充要条件。重点与难点：控制收敛定理及其证明。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,基本内容：如所周知，函数序列的积分之极限 与该函数序列的极限之积分是否相等是 微积分中的重要问题，也是困难的问题，同时，它又是应用十分广泛的问题。有 时，为了讨论这类问题，人们常常要进 行十分复杂的推导与演算。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,由Levi定理知，对于E上非负单调递 增可测函数列fn，其积分与极限可以交 换顺序，即 limEfn(x)dx=Elimfn(x)dx(1),

2、对一般非负可测函数fn，由Fatou引理知有如下的不等式：Elimfn(x)dx limEfn(x)dx(2),第19讲 Lebesgue积分的极限定理,问题1：对非负可测函数列 fn，上述 不等式中严格不等式能否成立？举例说明。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,既然对一般的可测函数列fn，等式(1)未必成立，下面的问题便是自然的：问题2：对一般可测函数列fn，等式(1)何时成立？,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,一个平凡的事实是：如果有限测度集E上的Lebesgue可积函数列 fn一致收敛到 f，则f也是E上的Lebesgue可积

3、函数，且等式（1）成立。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,然而，一致收敛性条件太强，大部分情况 下难以做到。不过它还是能给我们带来一些启 示。假设 fn 是有限测度集E上的Lebesgue可 积函数列，且一致收敛到f，则对任意0，存 在自然数N，当nN时，有|fn(x)-f(x)|(xE)，于是|fn(x)|f(x)|+(xE)（3）,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,因 E是有限测度集，故|f(x)|+是 E上的可积函数，由（3）可以看出，函 数序列由一个可积函数控制住了。,Lebesgue积分的极限定理,在Levi定理中,是单调递增的非负函数序列,其极限函数f满足:这就是

4、说，该函数列由它的极限函数控制。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,回忆一下，为什么（2）中不等式 可以成立？问题出在哪里？我们回过头 再来看看例子 0 x(1/n,1)，fn(x)=n x(0,1/n，为什么该函数列使得等式(1)不成立呢?,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,尽管fn(x)在（0，1）上处处收敛到0，但 该函数列随着n增大其函数值可以取得充分大，它在（0，1）上不能被任何可积函数控制住。（为什么？）上述分析给了我们何种启示？如 果希望等式（1）成立，应该附加一个什么样 的条件？下面仍然考察可测集E上的可测函数列 fn，但将一致收敛性条件降低，代之以处处收敛或

5、几乎处处收敛。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,上面的分析暗示我们，既然去掉了 一致收敛性条件，就应该加上控制性条 件，具体地说，假设fn是可测集E上的 可测函数序列，f是E上的函数，满足：（I）fn在E上几乎处处收敛到f，（II）存在E上的Lebesgue可积函数F，使得 对任意n，|fn(x)|F(x)a.e.E。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,问题3：对满足上述条件（I）与（II）的函数序列 fn，等式（1）是否成立？,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,我们仍然暂且假设E是有限测度集，由于 fnf，根据Egoroff定理，对 0，存在 可测集EE，使得：（a

6、）m(E-E);（b）fn在E上一致收敛到f。于是，我们有 lim E fn(x)dx=E limfn(x)dx(3),第19讲 Lebesgue积分的极限定理,由此可见，问题归结为函数序列在E-E上的积分如何变化。回忆一下，对Riemann积分而言，如果f是区间a,b上的可积函数,则对 0,存在0，使得当c,da,b，且d-c 时，有,这一性质通常称之为积分绝对连续性。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,注意到E-E的测度可以充分小，而且函数序列 fn 可以由 F 控制，那么从不等式 E-E|fn(x)|dx E-EF(x)dx（4）及 Riemann 积分的绝对连续性能得到何种启发

7、呢？,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,上述分析启示我们：等式（1）能否成立取决于Lebesgue 可积函数是否具有积分绝对连续性。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,仍然假设E是有限测度集，f(x)是E上的L-可积函数，则|f(x)|也是E上的L-可积函数，因此不妨设f(x)是E上的非负函数。如果f(x)是有界函数，即,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,则由不等式知对 只要 就有,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,于是，问题最终归结为：问题4：若f(x)是E上非负的无界可积函 数，f(x)是否具有积分绝对连 续性？,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,由无界函数积分定义，可以作有界函数列 如下：则 单调递增收敛到f(x)，且。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,于是对任意 存在N，使得进而对E的任意可测子集A，有。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,这说明，只要 便有由 的任意性知f(x)确有积分绝对连续性。,第19讲 Lebesgue积分的极限定理,以上种种分析揭示了一个基本事实,同时也给出了这一事实 的一个大 概的证明思想。这个事实即下面的重要定理:定理(Lebesgue控制收敛定理)设 是可测集E上的可测函数列，F是E上的L-可积函数，满足(1).a.e.E，(2).a.e.E。则f是E上的可积函数，且,