《电位及其梯度》PPT课件.ppt

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1、本章，我们引入两个物理量：E 和 U，从电场施力 和 电场作功 两个角度，讨论真空中静止带电体 所激发的电场。然后导出静电场的两个基本定理，揭示静电场的 两个基本性质，最后导出 E 与 U 之关系。,本 章 引 言（Preface）,库仑定律；,场强、电势；,高斯、环路。,本章重点,本 章 内 容,4 电位及其梯度,本节从 电场对电荷作功 的角度，引入电位 U 描述电场性质，导出静电场的 环路定理，揭示静电场的有势性，并导出 与 U 之间的关系。本节重点：电位分布 的计算方法。,(electric potential and its gradient),一、静电力作功的特点二、静电场的环路定理

2、三、电势能四、电势与电势差五、电势分布的计算六、等位面及其性质七、场强与电势梯度的关系 例 题1、例 题2、例题3 例 题4、例题5 课堂小结,4 主要内容：,一、静电力作功的特点,1、点电荷的电场力做功,2、任意带电体的电场力做功,3、推论,一、静电力作功的特点,1、点电荷的电场力做功,q0 试探电荷，,q 场源电荷；,任意路径；,元 功=？,rA,rB,q0,一、静电力作功的特点,1、点电荷的电场力做功,结论：静电力作功只与 的起点和终点位置有关,该结论对任意静电场也成立吗？,一、静电力作功的特点,2、任意带电体的电场力做功,可看成点电荷系：,P,即：静电力作功与路径无关！,一、静电力作功

3、的特点,推论,静电力-保守力,静电场-保守力场,(conservative field),保守性,二、静电场的环路定理（circuital theorem）,1、环路定理的内容,2、环路定理的物理含义：,3、推论：,二、静电场的环路定理（circuital theorem）,1、环路定理的内容,在静电场中，若 q0 沿 闭合路径abcda 运动一周，电场力作功 A=？,作功与路径无关，,静电场环路定理,表述：在静电场中，场强沿任意闭合环路 的积分恒等于零。,称为静电场的“环流”,其中,二、静电场的环路定理（circuital theorem）,2、环路定理的物理含义：,物理含义,揭示了静电场的

4、保守性。,（也叫有势性）,二、静电场的环路定理（circuital theorem）,3、推论：,静电场的电场线不能闭合。,不妨假设电力线闭合，取该电力线为闭合环路L。,证明：用反证法。,在回路L上 与 处处同向，,与环路定理矛盾！,静电场的电场线不能闭合。,三、电势能（electric potential energy）,1、什么是电势能？,2、讨论电势能特点：,例1,三、电势能（electric potential energy）,1、什么是电势能？,静电场力是 保守力，,可以在静电场中引入势能的概念，,称为电势能，用 W 表示。,由功能原理：电场力所做功，应等于 电势能的减少：,选 处为

5、电势能零点，,即 Q，WQ 0，则,电势能公式,三、电势能（electric potential energy）,2、讨论电势能特点：,（1）电势能是电荷与电场所共有的；,（2）电势能是相对的，与零势能点的选择有关。,（3）电势能是标量，有正有负。,（4）W P 的物理意义：,q0 在 P点 所具有的电势能，就等于把它从 P 点移到 的过程中电场力所做的功。,例1,例1：,求试探电荷 q 在点电荷 Q 所产生的静电场中a 点处的电势能。,Q,q,解：,思考：,解:,根据 WA=q UA，,A,B,W-=-qUA,W+=qUB,W=W+W-=q(UB-UA),电偶极子在均匀电场中的电势能？,四、

6、电势与电势差(electric potential difference),1、什么是电势？,2、讨论电势：,3、电势差（电压）,思考：,四、电势与电势差(electric potential difference),1、什么是电势？(electric potential),由,与 q0 无关，,叫作电场在 P 点的电势，U（P）。即,它反映了电场本身的性质。,电势公式,四、电势与电势差(electric potential difference),2、讨论电势：,（1）电势反映了电场本身 的性质；,（2）电势是 标量，有正有负；,（3）沿电力线方向电势逐点降低；,（4）电势是 相对 的，与电

7、势零点 的选择有关；,（5）更一般的表示：,（6）U（P）的物理意义：,它表示把单位正电荷从 P 点沿任意路径移到 的过程中电场力所做的功。,四、电势与电势差(electric potential difference),3、电势差：,电场中两点的电势之差：,电势差是 绝对 的，与 电势零点 的选择无关。,（电压）,电势差的物理意义：,它表示把单位正电荷从 A 点移到 B 点时电场力所做的功。,把 q0 从 A B 电场力所作功:,思考：,五、电势分布的计算,1、点电荷的电势：,2、点电荷系的电势：,3、任意带电体的电势：,例 2、例3、例4、例6,五、电势分布的计算,1、点电荷的电势：,q

8、0,场源：,场点：,正电荷的电势为正，负电荷的电势为负。,推论：,参考点：,即,点电荷电势,五、电势分布的计算,2、点电荷系的电势：,点电荷系：,参考点：,电势叠加原理,表述：,点电荷系在任一点所产生的电势就等于各电荷单独在该点所产生电势的代数和,即,五、电势分布的计算,3、任意带电体的电势：,带电体,电荷元 dq,电荷元 dq 产生的电势,任意带电体的电势,例2 计算电偶极子的远场电势分布。,（已知）,+q,-q,l/2,l/2,O,解：,对于远场，r l，,即,例3 求均匀带电球面的电势分布。,解：,（已知）,q,R,由高斯定理知，电场分布为,当r R 时，,当 r R 时，,例3 求均匀

9、带电球面的电势分布。,解：,（已知）,q,R,电势分布：,U r 曲 线：,R,例5,解：,求电荷线密度为e 的无限长均匀带电直线的电势分布。,由 Gauss theorem 知,若选无限远为参考点，则,没有意义，,选择无限远为参考点是不行的。,若选 r=0 为参考点，则,也没有意义！,选 r=r0 为参考点，则,令r0=1 m，,U-r 曲线：,求半径为 R 带电量为 q 均匀带电圆环轴线上一点P的电势。,解：,方法一：电势叠加法,电荷元 dq,例 4,方法二：场强积分法,轴线上的场强为：,求均匀带电圆盘(已知 R，)轴线上一点 x 处的电势。,解：,R,r,dr,x,P,x,r,O,电荷元

10、r r+dr的细环,dq=2 r d r,例6,六、等位面及其性质(electric field line),1、什么是等位面？,2、等位面的主要性质？,六、等位面及其性质,1、什么是等位面(electric field line)？,等位面,电场中 电势相等的点 连接而成的曲面。,也叫等势面,例如：,正点电荷的等势面,六、等位面及其性质(equipotential surface),1、什么是等位面？,例如：,负点电荷的等势面,一对等量异号点电荷的等势面,两平行带电平板的电场线和等势面,请看动画,等势面与电场线,六、等位面及其性质(electric field line),2、等位面的主要性

11、质？,（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功；,（2）等势面处处与电力线正交：,q 0，E 0，d l 0,（3）等势面稠密处 电场强度大。,一定，,等势面稠密处，,小，,七、场强与电势梯度的关系,1、方向导数,(electric potential gradient),2、电势梯度,3、场强与电势梯度的关系,例 7、例8、例9,4、总结：典型的电势分布,七、场强与电势梯度的关系,1、方向导数,(electric potential gradient),相邻等势面,1 和 2,任意方向矢量,则电势差：,电势增量：,七、场强与电势梯度的关系,1、方向导数,(electric potential g

12、radient),即,这就是说，,场强在任一方向的分量 El，就等于电势 U 对该方向 变化率的 负值。,2 1时，取极限：,叫作电势 U 沿 l 方向的 方向导数。,七、场强与电势梯度的关系,2、电势梯度,(electric potential gradient),规定 指向电势增加的方向。,等势面正法向：,电势 U 沿什么方向的方向导数绝对值最大？,（答：沿 方向），,七、场强与电势梯度电势梯度的关系,2、电势梯度,(electric potential gradient),定义一个新的矢量：,记为,称为 U 沿 方向的 梯度。,电势梯度。,七、场强与电势梯度的关系,3、场强与电势梯度的关

13、系,(electric potential gradient),综合 1 和 2 可得：,七、场强与电势梯度的关系,3、场强与电势梯度的关系,(electric potential gradient),在直角坐标系中：,七、场强与电势梯度的关系,3、场强与电势梯度的关系,(electric potential gradient),在球坐标系中：,七、场强与电势梯度的关系,3、场强与电势梯度的关系,(electric potential gradient),在柱坐标系中：,用梯度法求电偶极子远场的场强分布。,解:,电偶极子的远场电势为：,取球坐标系：,A,/2,E,Er,E,中垂线上（q=p/2）：,延长线上（q=0）：,例7：,半径为 R 带电量为 q 均匀带电圆环轴线上一点P的电势为：,求其轴线上P点的场强,解：,例 8,已知均匀带电圆盘(R，)轴线上一点x处的电势为：,解：,求其轴线上的场强,例 9,总结：要牢记几种典型的电势分布,点电荷：,点电荷系：,电偶极子远场：,（自己总结）,无限长均匀带电直线：,均匀带电圆盘轴线上：,均匀带电球面：,均匀带电圆环轴线上：,课堂小结：,1、静电力作功的特点,与路径无关；,2、环路定理：,3、电势能：,4、电势：,5、电势叠加原理：,课堂小结：,6、方向导数：,7、场强与电势梯度的关系：,