一章线空间.ppt

《一章线空间.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一章线空间.ppt（83页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第一章 线性空间,学时：16学时。教学手段：讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。基本内容和教学目的：基本内容：集合、映射的概念；线性空间的定义与简单性质、维数、基与坐标、过渡矩阵的概念；基变换与坐标变换；线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和；线性空间的同构等概念。教学目的：1、掌握集合、映射的概念，线性空间的定义与简单性质。2、理解维数、基与坐标的概念。了解基变换与坐标变换。3、了解线性子空间、子空间的交与和、子空间的直和、线性空间的同构等概念。本章的重点和难点：重点：线性空间的概念，子空间的和，基与维数，基及坐标变换公式。难点：线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间

2、的直和。,6.2 线性空间的定义与性质,一.线性空间的定义,例1 平面（空间）解析几何中的典例：,例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：,例3 Ca,b=f：a,b上连续实函数：,例4（1）数域P是P上的线性空间；（2）数域C是R上的线性空间；（3）数域R非C上的线性空间.,例5（1）数域P上一元多项式环Px；（2）Pxn=f(x)fn 0.,二.基本性质,8条算律 基本法律依据（公理），以2个运算、8条算律为基础推导其它基本性质.以下6条基本性质：,6.2 维数、基、坐标,一.向量的线性相关（无关）,*不经声明，v均表示数域 P 上的线性空间.,二.维数、基、坐标,定义5 V中有n个线性无关

3、的向量，且无多余n个的向量线性无关，则称V是n维的记成dimV=n；若V中有任意多个向量线性无关，则称 V是无限维的，记成dimV=.线性空间V的维数即V作为一个向量组时，该向量组的一个极大无关组所含向量的个数.例1(1)V2：两相交矢量确定此平面 dimV2=2；V3：三相交矢量确定此空间 dimV3=3.(2)Pn=(a1,a2,an)|aiP,i=1,2,n是n维的，e1,e2,en是Pn的一个极大无关组.(3)Rx=f(x)|f(x)是实系数多项式.当 f(x)=a0+anxn,且k0+knxn=0时有k0=kn=0成立，故 1,x,xn,是Rx的一个极大无关组 dimRx=.本教材仅

4、讨论无限维线性空间.,定义6 dimV=n，如果1，2，,n 线性无关，则称1,2,n 为 V 的一组基（或一个基）；V，a11+a22+ann,称 a1,a2,an 为在基1，2，,n 下的坐标，记为（a1,a2,an）.基是 V 中一个极大无关组 V 中有多个基，但维数是唯一确定的；对任意的V，可由基1，2，,n 唯一线性表示（这即说：向量 在该基1，2，,n 下的坐标唯一确定）.证明：据维数及基的定义，1，2，,n 线性相关，即 存在不全为0的 b1,b2,bn,使 b11+b22+bnn+bn+1=0 bn+10(否则，由1，2，,n线性无关将推出b1=b2=bn=0，矛盾)=bn+1

5、-1(-b1)1+(-bn)n)=a11+a22+ann,即可由基1，2，,n 线性表示.,设a11+a22+ann b11+b22+bnn(a1-b1)1+(a2-b2)2+(an-bn)n 0 由基1，2，,n 线性无关可知 a i=b i(i=1,2,n),即表示唯一.基相当于V中的一个度量标准，坐标是V中客观对象（即向量）在给定标准下的一种量的刻画.定理1 1,2,n 是 V 的基 1,2,n 线性无关，且对任意的V，可由1,2,n 线性标出,6.3 基变换与坐标变换,*问题的提出：,dimV=n,例：V2=：始点为坐标原点的平面矢量,*形式书写记号及其性质,*形式记号的运算性质：,一

6、 基变换公式,称如上公式为基 到基 的基变换公式；称A为基 到基 的过渡矩阵,二.坐标变换公式,命题2,坐标变换公式,矩阵表示,坐标旋转公式（平面解析几何）,接前页,三.过渡矩阵,5 线性子空间,一.子空间的概念,1。定义7 W称为数域P上线性空间V的（线性）子空间 1）；2）W 对 V 的两种运算构成P上的线性空间.寻求更简洁的判定V的非空子集W构成V的子空间的充要条件是子空间研究的一个重要问题 定理2 V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性是显然的.现证充分性.据题设 W上存在向量加法、数乘运算，且满足P243算律1),2),5),6),7),8).取k=0,则k=0=0W；取k=1,则

7、k=(1)=W 即算律3),4)成立 W关于V的两种代数运算构成P上的线性空间 据定义7即知W是V的子空间.子空间本身就是一个线性空间 线性空间维数，基，坐标的概念及性质在子空间上仍然成立.设W是V的子空间，则dimWdimV.,补充命题：线性空间V的非空子集W是V的子空间 证明：必要性显然成立，现证充分性.取a=b=1,据题设 取b=0,据题设由定理2即知W是V的子空间.实例：例1-2 取V的子集0，则0是V的子空间，称为V的零子空间；取V的子集V，则V是V的子空间 子空间0和V统称为V的平凡子空间，其余的子空间称为V的非平凡子空间.例3 实系数多项式全体构成之集W是全体实函数构成线性空间的

8、子空间.证明：取任两实系数多项式 f(x)=anxn+a1x+a0,g(x)=bmxm+b1x+b0,不妨设nm,对任意实数c,d,cf(x)+dg(x)=(cbm+d0)xm+(cbn+dan)xn+(cb1+da1)x+(cb0+da0)显然cf(x)+dg(x)仍是实系数多项式，故W是子空间.,例5 线性空间Pn中，齐次线性方程组全部解向量构成之集W是Pn的一个子空间，称为该齐次线性方程组的解空间.证明：用矩阵方程AX=0表示该齐次线性方程组，则W=A=0.对任意的,W,a,bP,A(a+b)=a A+bA=0+0=0,故知a+bW,据补充命题可知，W是Pn的一个子空间.补充例题：过原点

9、的直线是二维平面V2的子空间，过原点的平面是三维几何空间V3的子空间证明：过原点的直线上任意两个矢量的和，任意一个矢量的数乘均仍在该直线上,故符合补充命题的条件，所以过原点的直线是V2的子空间.过原点的平面对矢量加法，数乘运算仍然封闭，故是V3的子空间.这里之所以要求过原点，是为了保证 0=0W成立.,例6 设1,2,rV(V是数域P上的线性空间),则 L(1,2,r)=k11+k22+krr|kiP,i=1,2,r是V的一个子空间.,证明：1,2,r L(1,2,r)L(1,2,r)是V的非空子集.任取=k11+k22+krr,=t11+t22+trr L(1,2,r),任取 a,bP,a+

10、b=(ak1+bt1)+(akr+btr)L(1,2,r)L(1,2,r)是V的一个子空间.例题证明给出如下性质：V的一个子空间若包含向量1,2,r，则包含1,2,r 的一切线性组合，即包含L(1,2,r)为其子空间.例题结论引出如下概念：,补充定义：设1,2,rV(V是数域P上的线性空间),称子空间 L(1,2,r)为 V 的由1,2,r 生成的的子空间；而1,2,r称为该生成子空间的生成元.,二.子空间的性质,6.6 子空间的交与和,一.子空间的交,定理5 V1，V2是V的子空间 V1V2是V的子空间 证明：0 V1，V2 0 V1V2 V1V2是V的非空子集.对任意的,V1V2,V1，V

11、2 对任意的a,bP,a+b V1，V2 a+b V1V2,即 V1V2 是 V 的子空间.由于集合的交运算满足交换律，结合律 子空间的交满足交换律，结合律 线性空间V的s个子空间的交仍是V的子空间，并可表示为：V1V2Vs=.一般讲，子空间的并 V1V2 不一定是V的子空间.,例：二维平面V2中，W=x轴，V=y轴均为V的子空间.如下图所示，向量1W，2V，但1+2却不在WV中.,二.子空间的和定义8 V1，V2是V 的子空间，V的如下子集V1+V 2称为V1与V2的和.V1+V 2=1+21V1，2V2,定理6 V1+V2是V的子空间.,三.基本性质,V3 v1 V2,V3 v1 V2,V

12、3 v1 V2,例1 三维几何空间V3中，V1：过原点的直线；V2：过原点且与V1垂直的平面（如图），则V1V2=0，V1+V2=V3.,例3 在线性空间V中，有以下公式成立：,L(1,s)+L(1,t)=L(1,s,1,t),四.维数公式,定理7 设V1，V2 是V的子空间，则,dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1 V2),V1+V2,V11,n1-m,V1V2 V2 1,2,m 1,n2-m,由维数公式可知，子空间和的维数要比维数的和小。例如：V3中，两张通过原点的不同平面之和是整个三维空间V3，而其维数之和是4，由此说明这两张平面的交是一维的直线。,推论：dimV1

13、+dimV2 n；dimV=n,则 V1V20证明：据题设及维数公式，dim(V1+V2)+dim(V1 V2)=dimV1+dimV2 n.因为V1+V2是V的子空间，故 dim(V1+V2)n dim(V1V2)0 V1V20.,6.7 子空间的直和,一 子空间直和的概念,二.子空间的直和的性质,三.直和概念的推广及性质,6.8 线性空间的同构,一 线性空间同构的概念,定义1 设V，V/是数域P上的线性空间，：VV/称为同构映射，并记VV/，如果 1)是V到V/的双射；2)对任意的,V，(+)=()+()；3)对任意的kP,V,(k)=k().2),3)的意义是保持运算不变，即“和的像等于像的和；数乘的像等于像的数乘”。其几何意义如图示：,V V/()()()=()+(),P P k()k(k)=k(),二.线性空间的性质,0 P P2 P n-1 Pn 线性空间全体,