《梁弯曲变形的计算》PPT课件.ppt

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1、第7章 弯曲变形的计算,7-1 概述,7-2 挠曲线的近似微分方程,7-3 用积分法求弯曲变形,7-4 用叠加法求弯曲变形,7-6 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施,7-5 简单超静定梁,本章主要内容,7-1 概 述,7-2 挠曲线的近似微分方程,1.基本概念,挠曲线方程：,由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计,挠度转角关系为：,挠度w：截面形心在y方向的位移,向上为正,转角：截面绕中性轴转过的角度。,逆钟向为正,2.挠曲线的近似微分方程,推导弯曲正应力时，得到：,忽略剪力对变形的影响,由数学知识可知：,略去高阶小量，得,所以,由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲线的二阶导数符号一致，

2、所以挠曲线的近似微分方程为：,由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角和挠度。,挠曲线的近似微分方程为：,积分一次得转角方程为：,再积分一次得挠度方程为：,积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。,位移边界条件,光滑连续条件,弹簧变形,例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。,解,1）由梁的整体平衡分析可得：,2）写出x截面的弯矩方程,3）列挠曲线近似微分方程并积分,积分一次,再积分一次,7-3 用积分法求弯曲变形,4）由位移边界条件确定积分常数,代入求解,5）确定转角方程和挠度方程,6）确定最大转角和最大挠度,例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最

3、大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。,解,1）由梁整体平衡分析得：,2）弯矩方程,AC 段：,CB 段：,3）列挠曲线近似微分方程并积分,AC 段：,CB 段：,4）由边界条件确定积分常数,代入求解，得,位移边界条件,光滑连续条件,5）确定转角方程和挠度方程,AC 段：,CB 段：,6）确定最大转角和最大挠度,令 得，,令 得，,7-4 用叠加法求弯曲变形,设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为M(x)，转角为，挠度为w，则有：,若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩为，转角为，挠度为，则有：,由弯矩的叠加原理知：,所以，,故,由于梁的边界条件不变，因此,重要结论：梁在

4、若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。,例3 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度wC；B截面的转角B,1）将梁上的载荷分解,2）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。,解,3）应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和,例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C截面的挠度wC和转角C,1）首先，将梁上的载荷变成有表可查的情形,为了利用梁全长承受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长，为了不改变原来载荷作用的效果，在AB 段还需再加上集度相同、方向相反的均布载荷。,解,3）将

5、结果叠加,2）再将处理后的梁分解为简单载荷作用的情形，计算各自C截面的挠度和转角。,7-5 简单超静定梁,1.基本概念：,超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁。,多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束。,超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。,2.求解方法：,解除多余约束，建立相当系统比较变形，列变形协调条件由物理关系建立补充方程利用静力平衡条件求其他约束反力。,相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。,例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。,+,解：分析：此题属于1次超静定问题。,用变形比较法

6、列出变形比较条件,其中，,解得：,F,FB,FA,MA,+,用叠加法解得C处的挠度为：,FB,B,(a),A,C,其中，,B,A,F,FB,FA,MA,+,FB,B,(a),A,C,如果没用顶尖的作用，在刀尖作用点处挠度为：,求得有无顶尖作用时，在刀尖处变形比为：,结论：可见用顶尖可有效地减小工件的变形，因而，在细长轴加工中要设置顶尖，甚至使用跟刀架。,B,A,解,例6 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为EI。,1）判定超静定次数,2）解除多余约束，建立相当系统,3）进行变形比较，列出变形协调条件,4）由物理关系，列出补充方程,所以,5）由整体平衡条件求其他约束反力,例7 梁AB 和BC 在B 处铰

7、接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F=40kN，q=20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。,从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,解,代入得补充方程：,确定A 端约束力：,确定C 端约束力,A、C 端约束力已求出,最后作梁的剪力图和弯矩图,例8：结构如图所示，设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同，拉杆BC的拉压刚度EA为已知，求拉杆BC的轴力。,解：将杆BC移除，则AB,CD均为静定结构，杆BC的未知轴力FN作用在AB、CD梁上，如图（b）、（c）所示。为1次超静定。,对于AB梁：,对于CD梁：,BC杆的伸长：,补充方程：,7-6 梁的刚度条件及提高梁刚

8、度的措施,1.刚度条件,建筑钢梁的许可挠度：,机械传动轴的许可转角：,精密机床的许可转角：,根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B 处转角不超过许用数值。,B,1）由挠度表中查得承受集中载荷的外伸梁B 处的转角为：,解,例8 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角=0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,例7 已知钢制圆轴左端受力为F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。轴承B处的许可转角=0.5。根据刚度要求确定轴的直径d。,B,2）由刚度条件确定轴的直径：,2.提高梁刚度的措施,1）选择合理的截面形状,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变支座形式,2）改善结构形式，减少弯矩数值,改变载荷类型,3）采用超静定结构,1、明确挠曲线、挠度和转角的概念,2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法,3、学会用变形比较法解简单超静定问题,本章小结,一、知识点,二、重点内容,1、掌握计算梁变形的积分法和叠加法,2、学会用变形比较法解简单超静定问题,