《曲线积分》PPT课件.ppt

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1、9-5,1,9.5曲线积分,概述：,重积分是对定积分从维数上的推广(指被积函数和积分区域).,而曲线积分和曲面积分则是对积分区域“由平直到弯曲”的推广,教材仅对曲线积分做了简单介绍,主要内容分两部分：,对弧长的曲线积分，这是第一型曲线积分；,对坐标的曲线积分，这是第二型曲线积分,9-5,2,一、第一型曲线积分,实例:曲线形构件的质量,匀质之质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,9-5,3,舍弃物理意义，我们一般有,定义,设是光滑曲线，,是上的连续函数，,在上任插入n个点,其中有代表性一段弧长,作和,记作,即,积分弧段,被积函数,弧长元素,积分和式,9-5,4,如曲线形构件的质量,几点说明：

2、,由于积分变元为曲线弧s，故称对弧长的积分；,当被积函数在上连续时，此曲线积分必存在；,第一型曲线积分有类似于定积分的一些性质,9-5,5,如果曲线是分段光滑或被积函数分段连续时，一定要用性质（）！,第一型曲线积分是与积分弧段的方向无关的，这是与下面将要介绍的第二型曲线积分的最大不同,对空间曲线有类似的性质,下面我们看如何计算,我们以平面曲线弧为例说明,9-5,6,设平面曲线：,则由第一册的知识知道,而当曲线上的点从A移动B时,t的变化范围从变到，注意必须!,把这些代入，即得,再次提醒：必须！,9-5,7,推广:,思考：,9-5,8,例计算曲线积分,解,例,上从(0,0)到(1,2)的一段.,

3、解,9-5,9,例求,其中为圆柱螺线的一段,解,9-5,10,最后，我们指出第一型线积分的几何与物理意义,）的弧长,9-5,11,至于空间曲线弧的转动惯量和重心公式，请自己写出或参考教材,9-5,12,二、第二型曲线积分,实例:变力沿曲线所作的功,常力所作的功,分割,是此段弧上任意一点，,9-5,13,求和,取极限,近似值,精确值,其中 是 n 个小弧段的最大值,9-5,14,注意到,所以变力所做的功可记为,舍弃本例的物理意义，可得第二类曲线积分的定义,见教材 p189,9-5,15,我们在例子中写出的是第二类曲线积分的组合形式,推广,9-5,16,性质,）对积分弧段的可加性，即,）反向积分的

4、变号性,这是与第一类曲线积分不同的！,另外，如果积分弧段是封闭曲线，我们有环路积分的记号（通常逆时针方向为正向）,与方向有关!,注意并不总等于零！,9-5,17,第二类曲线积分的计算,如果积分弧段由参数方程,给出，其中起点和终点对应的参数分别为,则,注意不必有,这是一个定积分！看来计算第二型曲线积分也是化成定积分计算的,9-5,18,对空间曲线弧有类似的计算公式,9-5,19,例计算线积分,其中是摆线,自t到t的一段,解,代入，得,9-5,20,例,解,9-5,21,9-5,22,例3,解,9-5,23,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同，积分结果不同.,那么何时曲线积分只与起点

5、和终点有关，而与积分的路径无关呢？,如果是这样，我们就可以选取较简单的路径进行积分，而使计算大大简化,这就是下面将要讨论的问题,9-5,24,三、第二类曲线积分与路径无关的条件,下面我们从直观的角度讨论线积分与积分路线无关的一些结论,什么叫与路径无关？,如图，是平面上的单连通区域，、是区域内两点，、是区域内连接、的任意两条有向曲线，若,恒成立，则称积分在区域内与路径无关，此时积分值仅依赖始点和终点,9-5,25,一个重要定理（公式）,定理设函数,在闭区域上有连续的,一阶偏导数，而为区域的正向边界，则,此公式叫做Green公式，其中边界是封闭曲线，它的正向是指沿曲线的正向行进时，区域总在你的左侧

6、,Green公式的重要意义在于它沟通了曲线积分与二重积分之间的联系，而且在讨论曲线积分与路线无关的条件时起着不可替代的作用,进一步的说明：,9-5,26,）格林公式不仅对单连通区域是成立的，而且对多连通区域也成立请注意边界的正向,）格林公式的简单应用，主要有简化线积分的计算，简化二重积分的计算及计算平面区域的面积等,）对格林公式,取,则有,如果取,若取,这是用线积分计算平面区域面积的一组公式,9-5,27,例计算,其中,是如图示从到的半径为的一段圆弧,解这可以直接用线积分的方法求解，也可以使用格林公式,则由于,据格林公式,9-5,28,但,故,直接计算,9-5,29,为什么？,这是在讲二重积分

7、时的一个例子,9-5,30,例求椭圆,围成的面积,解,椭圆的参数方程为,由格林公式，得,其中为椭圆所围区域,9-5,31,与路径无关的条件,假定、是单连通区域内从点到的任意两条路径，,若线积分,与积分路径无关，则有,或,为什么？,由格林公式，即知,为何？,由两路径的任意性，知,在内恒成立,9-5,32,从而我们得到：,与积分路径无关的充要条件是,在内恒有,再次由格林公式，如果是区域内的任意闭曲线,则有,我们从另一角度来看另外一个条件,既然与积分路径无关，那么如果我们固定起点,9-5,33,即,这样，我们就有全微分,从而，有,在区域内曲线积分与路径无关的充要条件为：,存在可微函数,9-5,34,

8、因此，在“和在单连通区域内有连续的一阶偏导数”的条件下，以下四个命题是等价的：,这是几个常见的等价命题，它们给我们讨论线积分带来极大方便,我们总可以选取比较简单的积分路线,“单连通区域”的条件非常重要！,正向,9-5,35,例计算,其中是曲线,上从(0,0)到(1,2)的一段弧,解,如果直接计算较繁,这里,此式在全平面内总成立，从而所求积分与路径无关,9-5,36,例验证,在全平面内是某函数的全微分，并求这样一个函数,解,在整个xoy平面上都成立，故为某函数的全微分,我们求其中的一个函数,9-5,37,大家应该验证一下是否成立,如果将问题改为：求微分方程,的通解,思考下面的问题：,应如何解？,答案：,一般地，积分起点不同只影响上述结果中的常数项,这样的方程叫做全微分方程,9-5,38,多 元 函 数积分学结束,