《映射与函数》PPT课件.ppt
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1、第一节 映射与函数,一、集合二、映射三、函数,一、集合1、集合概念 所谓集合(或集)是具有某种特定性质的事物的全体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.,由有限个元素组成的集合,可用列举出它的全体的方法来表示.,凡事物a是集合A的元素记作:;,凡事物a不是集合A的元素记作:;,由无穷多个元素组成的集合,通常用如下记号表示:设M是具有某种性质P的元素x全体组成的,就可表示成:,以后如果没有特别声明,提到的数都是实数.,全体自然数的集合记作 N,即,全体实数的集合记作 R,为排除零的实数集 为全体正实数的集.,全体正整数的集合为,全体整数的集合记作 Z,即,全体有理数的集合记作 Q,数集:元素都是
2、数的集合.,子集:设A、B是两个集合,如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记作(读作A包含于B)或(读作 B 包含 A).,相等:如果集合A与集合B互为子集,即 且,就称集合A与B相等,记作A=B.,例如,设A=1,2,B=2,1,C=x|x2-3x+2=0则A=B=C.,真子集:若 且,则称A是B的真子集,记作,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合,称为A与B的交集(简称交),记作A B,即 A B=x|x A 且 x B;,2、集合的运算,集合的基本运算有以下几种:并、交、差.,设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B 的集合,称为A与B的并集(简称并),记作A B,即
3、 A B=x|x A或 x B;,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合,称为A与B的差集(简称差),记作AB,即 AB=x|x A且 x B.,有时,我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行,所研究的其他集合 A 都是 I 的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集,IA为A的余集或补集,记作.例如,在实数集 R 中,集合A=x|01.,集合的并、交、余运算满足下列法则。(1)交换律,;,(2)结合律()(),()(B C);,(4)对偶律(A B)c=Ac Bc,(A B)c=Ac Bc.,(3)分配律(A B)C=(A C)(B C),(A B)C=(A C)(B C);,3、区间和邻
4、域,区间是用得较多的一类数集,设 a 和 b 都是实数,且 a b.,数集 x|ax b称为开区间,记作(a,b),即(a,b)=x|ax b.a 和 b 称为开区间(a,b)的端点,这里 a(a,b),b(a,b).,数集 x|a x b.称为闭区间,记作 a,b,即,a,b=x|a x b.,a 和 b 也称为闭区间a,b的端点,这里a a,b,b a,b.,类似地可说明:a,b)=x|a x b,(a,b=x|ax b.a,b)和(a,b 都称为半开区间.,以上这些区间都称为有限区间.数 b a 称这些区间的长度.,类似地可以表示无限区间,例 a,+)=x|x a,(,b)=x|x b,
5、邻域:在数轴上,一个以点x0为中心,长度为 的开区间 称为点x0的 邻域x0称为邻域的中心,称为邻域的半径邻域是指开区间:,而元素x 称为元素 y(在映射 f 下)的一个原像;集合 X 称为映射 f 的定义域,记作,即,X 中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域,记作,二、映射1、映射概念 定义:设 X、Y 是两个非空集合,如果存在一个法则 f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素 y 与对应,则称 f 为从 X 到 Y 映射,记作 f:X Y,其中y称为元素 x(在映射 f 下)的像,并 记作 f(x),即 y=f(x),或 f(X),即=f(X)=f(x)|x X
6、.,注意:1、构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域;集合Y,即值域的范围:;对应法则 f,使对每个,有唯一确定的 y=f(x)与之对应,2、对每个,元素 x 的像 y 是唯一的;而对每个,元素 y 的原像不一定是唯一的;映射 f 的 值域 是 Y 的一个子集,即,不一定,例1 设 f:R R,对每个x R,f(x)=显然,f 是一个映射,f 的定义域=R,值域=y|y 0它是 R 的一个真子集 对于 中的元素 y,除 y=0 外,它的原像不是唯一的,如 y=4 的原 像 就 有x=2 和 x=2 两个,例2 设 X=(x,y)|+=1,Y=(x,0)|x|1,f:X Y,对每个(
7、x,y)X,有唯一确定的(x,0)Y 与之对应显然 f 是一个映射,f 的定义域=X,值域=Y 在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到 x 轴的区间 1,1 上,例3 设f:,1,1,对每个x,,f(x)=sin x 这 f 是一个映射,其定义域=,,值域=1,1,设f是从集合X到集合Y的映射,若=Y,即Y 中任一元素 y 都是 X 中某元素的像,则称 f为 X 到 Y 上的映射或满射;若对 X 中任意两个不同元,它们的像,则称 f 为 X 到 Y 的单射;若 f 映射既是单射,又是满射,则称 f 为一一映射(或双射).,映射又称为算子,根据集合X、Y的不同情形,在
8、不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.例如,从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函,从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换,从实数集(或其子集)X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数.,设 f 是X 到Y 的单射,则由定义,对每个,有唯一的,适合 f(x)=y.于是,我们可定义一个从 到X 的新映射g,即 对每个,规定 g(y)=x,这 x 满足 f(x)=y.这个映射 g 称为的 f 的逆映射,记作,其定义域,值域.,2、逆映射与复合映射,设有两个映射 其中.则由映射 g 和 f 可以定出一个从X 到 Z 的对应法则,它将每个 x X 映成 f g(x)Z.显然,这个对应法则确定
9、了一个从X 到 Z 的映射,这个映射称为映射 g 和 f 构成的复合映射,记作,即,构成复合映射的条件是:g的值域必须包含在f 的定义域内,即.否则,不能构成复合映射.,例4 设有映射 g:R 1,1,对每个x R,g(x)=sin x,映射 f:1,1 0,1,对每个u 1,1,则映射g 和f构成的复合映射:R 0,1,对每个x R有,三、函数,1、函数的概念,定义:设数集,则称映射 为定义在D上的函数,通常简记为,其中 x称为自变量,y 称为因变量,D称为定义域,记作,即.,函数定义中,对每个x D,按对应法则 f,总有唯一确定的值 y 与之对应,这个值称为函数f 在x处的函数值,记作f(
10、x),即 y=f(x).因变量 y 与自变量 x 之间的这种依赖关系,通常称为函数关系.函数值f(x)的全体所构成的集合称为为函数f的值域,记作 或f(D),即=f(D)=y|y=f(x),x D.,函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是:定义域 及对应法则 f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.,在函数的定义中,对每个x D,对应的函数值 y 总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x D,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.,有时
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